Investigation of Accuracy Speed and Stability of Hyper-Reduction Techniques

114 Pages·2016·9.44 MB·English

by  Thej Kiran Ravichandran

Department of Precision and Microsystems Engineering
Investigation of Accuracy, Speed and Stability of Hyper-Reduction
Techniques for Nonlinear FE
Thej Kiran Ravichandran
Report no : EM 2016.038
Coach & : Dr.ir R.A.J. van Ostayen
Professor
Specialisation : Engineering Mechanics
Type of report : MSc Thesis
Date : 29-08-2016
Challengethefuture

Investigation of Accuracy Speed
and Stability of
Hyper-Reduction Techniques
for Nonlinear FE
by
Thej Kiran Ravichandran
toobtainthedegreeofMasterofScience
attheDelftUniversityofTechnology,
tobedefendedpubliclyonMondayAugust29,2016at13:45hrs.
Studentnumber: 4412486
Projectduration: December10,2015–August29,2016
Supervisors: Dr.ir.R.A.J.vanOstayen, TUDelft
Prof.dr.ir.D.J.Rixen, TUMunich
Ir.J.Rutzmoser TUMunich
Thesiscommittee: Dr.ir.R.A.J.vanOstayen, 3ME,TUDelft
Dr.ir.P.T.L.M.vanWoerkom, 3ME,TUDelft
Dr.ir.F.Alijani, 3ME,TUDelft
Dr.ir.S.Shroff, AE, TUDelft
Anelectronicversionofthisthesisisavailableathttp://repository.tudelft.nl/.

Abstract
ThefieldofHyper-reductionforNonlinearFiniteElementMethodattemptstoaddressthelargedurations
duetorepeatedevaluationandassemblyoftheinternalforceandJacobian.Stability,accuracyandspeedare
threeaspectsofthesemethodsthathasbeendealtwithinthisthesis.Therearetwomethodsthatarepopular
withintheFEMframework,theseare,DEIManditvariants,andECSW.
Byconstruction,DEIMisquiteunstableandhasconvergenceissues,astheLagrangianstructureisnotpre-
servedduringhyper-reduction. ArecentpaperbyChaturantabut,preservesthestructurewhileusingDEIM
and hence assures stability and passivity of the hyper-reduced model in the context of reducing internal
forcesthatarescalar-valued. WiththisthesisthepossibilityofrestoringthestructureinthecontextofFEM,
i.e.,reductionofvector-valuedinternalforcesisinvestigated.Itisfoundthat,theextensionofstructurepre-
servingDEIMtoFEM,didnotworkasexpected,owingtocertaincharacteristicsofFEM.
InDEIM,traditionallythedegreesoffreedoms(dofs)atwhichtheinternalforceisevaluatedisequaltothe
numberofforcemodes.Theeffectofhavingmorenumberofevaluationsascomparedtoforcemodesisin-
vestigated.Itisfoundthatincreaseinthenumberofevaluationsdoesimproveaccuracyandalsotheresulting
stability,withincreasesinthecomputationtime.
ECSWisarecenthyper-reductiontechnique,andisstableasaresultofthepreservationoftheLagrangian
structure.Thepropertiesofthismethodareinvestigated.Asaconclusiontothisthesis,astudyisperformed
onthedifferentmethodsacrossfiveexamplesofvariedcomplexity.ItisfoundthatUDEIMwithnodalcollo-
cationperformswellwithaccuracy,speedandstabilityacrossallexamples.
iii

Acknowledgement
IwouldlikeexpressmygratitudetoProfessorRonvanOstayen,fortakingmeunderhiswingforthisthesis.I
thankRonforhisvaluablefeedbackandconstantsupportthroughthesemonths.
IamgratefultoProfessorDanielJRixen,forgivingmetheopportunitytoworkatTUMunichinhisinstitute.
Thelearninghasbeenamazing.Iamreallythankfultotheseverallongdiscussionswehad.
IwouldalsoliketothankJohannesRutzmoser,doctoralcandidateatthesameinstituteinTUMunich,for
thecountlesshoursofdiscussion,thenumerousteachingsandfeedback. Themostinterestinglearningfor
me apart from the theoretical aspect of this thesis was the programming part. Part of the learnings were,
regardingthenuancesofwritingcleanmodularcode,thatwilleasytodebugandonethatcanbeusedby
others.
FinallyI’dliketothankmyfamilyandfriendsallaroundtheworld,forallthelove,supportandpatience.
v

Contents
1 Introduction 1
1.1 ResearchOutline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Abbreviations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Overviewofcomingchapters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 NonlinearFiniteElementMethod 5
2.1 MechanicsofContinuousbodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Boundaryvaluedproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Constitutiverelation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Principleofminimumpotentialenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 FEMforNonlinearElasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Modelorderreduction 11
3.1 GalerkinProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Properorthogonaldecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 ProblemswithcomplexityofGalerkinapproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Hyper-ReductionandDEIM 15
4.1 IntroductiontoDEIM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 DEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 UDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 SUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 symUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6 ModificationstosymUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.7 Varyingthecollocationdofs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 ECSW 35
6 Implementation 37
6.1 Architecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 ApplicationandResults 41
7.1 Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Barproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2.1 ComparisonofCollocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2.2 ComparingSUDEIMandUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2.3 ComparingUDEIM,SUDEIMandECSW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2.4 Hyper-reductionelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2.5 Convergenceissues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2.6 Varyingthenumberofmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2.7 Statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 C-shapedbow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3.1 ComparisonofCollocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3.2 ComparingSUDEIMandUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3.3 ComparingUDEIM,SUDEIMandECSW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3.4 Hyper-reductionelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3.5 Convergenceissues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3.6 Varyingthenumberofmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3.7 Statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
vii
viii Contents
7.4 SnapThrough. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4.1 ComparisonofCollocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4.2 ComparingSUDEIMandUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.3 ComparingUDEIM,SUDEIMandECSW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.4 Hyper-reductionelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4.6 Varyingthenumberofmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4.7 Statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.5 Finray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.5.1 ComparisonofCollocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.5.2 ComparingSUDEIMandUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5.3 ComparingUDEIM,SUDEIMandECSW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.5.4 Hyper-reductionelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.5.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.6 Varyingthenumberofmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.7 Statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.6 3DGate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.6.1 ComparisonofCollocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.6.2 ComparingSUDEIMandUDEIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.6.3 ComparingUDEIM,SUDEIMandECSW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.6.4 Hyper-reductionelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.6.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.6.6 Varyingthenumberofmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.6.7 Statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.7 PropertiesofECSW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8 Conclusion 91
Bibliography 95
A AppendixAppendix 97
A.1 Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2 C-shapedbow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.3 Snap-throughbeam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.4 Finray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.5 3dGate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102