Introduzione all'Analisi Qualitativa dei Sistemi Dinamici Discreti e Continui

319 Pages·2016·7.042 MB·Italian

by  Squassina, Marco, Zuccher, Simone

UNITEXT 96
Marco Squassina
Simone Zuccher
Introduzione
all’Analisi
Qualitativa dei
Sistemi Dinamici
Discreti e Continui
UNITEXT – La Matematica per il 3+2
Volume 96
Editor-in-Chief
A.Quarteroni
SeriesEditors
L.Ambrosio
P.Biscari
C.Ciliberto
M.Ledoux
W.J.Runggaldier
www.springer.com/series/5418
Marco Squassina (cid:2) Simone Zuccher
Introduzione all’Analisi
Qualitativa dei Sistemi
Dinamici Discreti e Continui
MarcoSquassina SimoneZuccher
DipartimentodiMatematicaeFisica DipartimentodiInformatica
UniversitàCattolicadelSacroCuore UniversitàdiVerona
Brescia,Italia Verona,Italia
ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2038-5757
UNITEXT–LaMatematicaperil3+2
ISBN978-88-470-5790-6 ISBN978-88-470-5791-3(eBook)
DOI10.1007/978-88-470-5791-3
SpringerMilanHeidelbergNewYorkDordrechtLondon
©Springer-VerlagItalia2016
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Allenostre famiglie,pertutto
Prefazione
Questovolumenascedall’esigenzadiuntestoinlinguaitalianaperlostudioqua-
litativoelementarediequazioniesistemidifferenziali,tipicidegliinsegnamentidi
Sistemi Dinamici, Equazioni Differenziali e Metodi e Modelli Matematici per la
Biologia,presentiinmolticorsidilaureainBiologia,Matematica,MatematicaAp-
plicata,Ingegneria,ScienzeNaturalieMediche.
Perché nutrire interesse verso gli aspetti qualitativi? Le equazioni differenziali
sono usate per descrivere la dinamica di sistemi naturali governati da leggi fisi-
che.Tuttavia,mentreperiproblemitraducibiliinequazioniosistemilineariesiste
una serie di tecniche atte ad esprimere esplicitamente le soluzioni in forma anali-
tica,questononèpossibile,ingenerale,periprobleminonlineari.Perquesticasi
si potrebbe ricorrere ad un approccio di tipo numerico-computazionale, che con-
sentediotteneresoluzioniapprossimateedistudiarnelerelativeproprietà.Imetodi
numerici, tuttavia, risultano piuttosto inefficaci se prima non si riesce a stabilire
l’esistenza o la non esistenza di soluzioni e la loro eventuale unicità o moltepli-
cità. Pertanto, questioni quali limitatezza o illimitatezza delle soluzioni, esistenza
o non esistenza di orbite periodiche, stabilità o instabilità dei punti di equilibrio,
biforcazionedel sistema al variare di un parametro, robustezza del sistema in pre-
senzadiperturbazioni,sonodiprimariaimportanzaepossonoessereaffrontatetra-
mite l’analisi qualitativa senza ricorrere alla soluzione analitica (che per sistemi
nonlineariraramenteesiste)esenzasimulazionenumerica.Inoltre,l’analisiquali-
tativa delle equazioni differenziali è un argomento tecnicamente accessibile anche
agli studenti di primo livello e consente di collegare, combinare ed esercitare no-
zionicheprovengonodall’algebra,dalcalcolodifferenzialedibaseedallageome-
triaelementare,stimolandonotevolmentel’intuizionematematica.Sipuòaffermare
chegliaspettiqualitativicostituiscanounbackgroundindispensabileperaffrontare
un’ampiagammadiinsegnamenti,anchenondirettamentecollegatiallateoriadelle
equazionidifferenziali.
L’opera è costituita da un’ampia collezione di problemi svolti che permette sia
di acquisire elementi di natura teorica tramite dimostrazioni rigorose, sia di svi-
luppare l’attitudine a risolvere problemi nuovi utilizzando nozioni note e richia-
mate all’inizio di ciascun capitolo. Il volume si caratterizza, principalmente, per
vii
viii Prefazione
due aspetti: quello induttivo e quello figurativo. L’approccio induttivo permette al
lettorediapprendereletecnichedell’analisiqualitativaattraversounaseriedipro-
blemi proposti in modo graduale e pensati per introdurre, ciascuno, un particolare
argomento. L’aspetto figurativo è stato particolarmente curato in quanto l’analisi
planarepermette,persuanatura,unarappresentazionecompletadeiritrattidifase.
Il lettore si renderà conto che, anche per problemi non lineari ed apparentemente
complessi,lostudiodipochecaratteristichedibasemediantestrumentisemplicie
la successiva ricomposizione delle informazioni raccolte in una figura permettono
diintuirevelocementel’andamentodellesoluzioni.Perquestimotivicrediamoche
iltestononsianéunlibroditeoriainsensoclassiconéunodiesercitazioni,masi
collochiinposizioneintermediatradiessi.
Poiché l’opera concentra l’attenzione sugli aspetti qualitativi dei problemi dif-
ferenzialiordinari,letecnichediintegrazioneesattanonsonotrattateeperessesi
rimandaillettoreadaltrefonti(sivedano,peresempio,iriferimenti[3,29,31,34]).
Perisistemidinamicidiscretisegnaliamoilriferimento[35],perquellidiscretiin
campocomplesso[18,35],mentreperquellicontinuiesisteun’ottimaletteraturain
Inglese(inparticolareiclassici[5,17]).Percompletezza,inbibliografiasonomen-
zionati altri validi testi dedicati all’analisi qualitativa delle equazioni differenziali,
perlopiùordinarie.
NellaParteIcioccupiamodimodellidiscreti,siaincamporealecheincampo
complesso,ovverodiequazioniesistemialledifferenze,chegiocanounruolofon-
damentaleinnumerosicampi,tracuilabiologiaelafisica,doveirilevamentispe-
rimentalidiunacertagrandezzasonoeffettuatiatempidiscreti.Nelprimocapitolo
vengono presentati alcuni esempi di equazioni alle differenze ad un passo, mentre
nel secondo capitolo consideriamo alcuni sistemi di due equazioni alle differenze
indueincognite.Inentrambelesituazionirestringiamol’attenzionealcasononli-
neare, assumendo che il lettore conosca i metodi risolutivi standard per trattare il
casolineare(sivedanoiriferimenti[18,35]).Particolareattenzioneèdedicataalle
differenzetralenozionidistabilitàlocaleeglobale.Ilcasoscalarediscretoconsente
anchediintrodurresiailconcettodicaostramiteunmodelloclassicounidimensio-
nale,moltosemplice,enotocomeequazionelogistica,sialanozionediesponentedi
Lyapunov.Entrambiquesticoncettisonoripresi,inseguito,periproblemicontinui.
LaParteIsiconcludeconisistemidinamicidiscretiincampocomplesso.
LaParteIIdelvolumeèdedicataalleequazionidifferenzialieaisistemididue
equazioni. Si è dato particolare risalto al caso non lineare, rimandando ai riferi-
menti [8, 29, 31, 34] per il background che riguarda il complesso delle tecniche
risolutivegenerali.Dapprimaconsideriamoalcunistudiqualitatividelproblemadi
Cauchyunidimensionalecomepropedeuticiallasuccessivaanalisideisistemipla-
nari non lineari. Vengono inoltre svolti due classici problemi agli autovalori del
second’ordineconcondizionialcontornodiDirichlet,Neumann,Robineperiodi-
che, nonché alcuni problemi di minimo risolti utilizzando le equazioni di Eulero-
Lagrange per funzionali unidimensionali. Nel caso vettoriale, dopo la classifica-
zionedegliequilibriperisistemilineari,consideriamoalcuniproblemidipendenti
daunparametrorealemostrandocomelecaratteristichedistabilitàdiunpuntodi
equilibriopossanocambiaresostanzialmentealvariaredelparametrostesso.Ilcaso
Prefazione ix
di sistemi non lineari è affrontato sia localmente tramite la linearizzazione del si-
stemanell’intornodelpuntodiequilibriosiaglobalmenteattraversolostudiodelle
curve isocline, che permettono di dedurre la direzione delle traiettorie nell’intero
pianodellefasi,esiaattraversol’utilizzodelteoremadiLyapunovodellecoordi-
nate polari, che spesso forniscono informazioni di carattere globale (sul bacino di
attrazionediunequilibrio).Dopounasezionededicataalleprincipaliproprietàdei
sistemiconservativi,gradiente,eHamiltoniani,vienedatolargospazioall’esistenza
diorbiteperiodicheediciclilimite(teoremadiPoincaré-Bendixon),allaloronon
esistenza(criteriodiDulac),nonchéadalcuniesempichechiarisconoiconcettidi
orbita omoclina ed eteroclina. Tra le varie applicazioni sono considerati, oltre ad
esempiclassicitrattidellafisica(circuiti,pendolo,etc.),modellidicompetizionee
cooperazionetrapopolazionitrattidallabiologia.Unultimocapitoloèdedicatoai
fenomenicaoticichepossonoverificarsiinsistemicontinuibidimensionali(nelcaso
nonautonomo)etridimensionali.Perulterioriapprofondimentirelativiallaseconda
partesirimandaairiferimenti[3–7,9–12,14–17,19–26,30,37–39].
Irequisitinecessariallettoreperlacomprensionediquestotestosonoicontenuti
standarddeicorsidiAnalisiMatematicaIeIIeirudimentifondamentalidiAlgebra
Lineare.Cometestidiriferimentosivedano[8,13,28,29,33].
Gli autori desiderano ringraziare Alessandro Musesti per il contributo alla Se-
zione1.5etutticolorochehannofornitosuggerimentiutiliamigliorarelastesura
delvolume.
Verona,Italia MarcoSquassina
22marzo2016 SimoneZuccher
Indice
PartI EquazionieSistemialleDifferenze
1 Ilcasoscalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Richiamiditeoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Equazionidiscreteadunpasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Stabilitàglobalee2-cicli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Ilmodellologisticoclassico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 LogisticaeinsiemidiCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 InsiemiditipoCantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.2 Lamappaatenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6 Ilmodellologisticoesatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7 EsponentediLyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Ilcasovettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Richiamiditeoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Alcuniesempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Sistemidinamicidiscretiincampocomplesso . . . . . . . . . . . . 65
3.1 Richiamiditeoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Esempielementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 L’iterazionelinearef(z)=az . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.2 L’iterazionequadraticaq(z)=z2 . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 LasferadiRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 LetrasformazionidiMöbius . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 IlmetododiNewtonnelpianocomplesso . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 IlcasoquadraticoedilTeoremadiCayley . . . . . . . . 74
3.4.2 Ilcasocubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.3 Ilcasogeneralezn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 InsiemidiMandelbroteJulia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1 LegametrainsiemidiJuliaeMandelbrot . . . . . . . . . 84
3.5.2 GenerareJ eMalcalcolatore . . . . . . . . . . . . . . 84
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