Introduzione alla Teoria Quantistica dei Campi

394 Pages·2007·3.08 MB·Italian

Introduzione alla Teoria
Quantistica dei Campi
Manlio De Domenico
Univerist(cid:181)adeglistudidiCatania
DipartimentodiFisicaeAstronomia
2
Indice
I Teoria relativistica e teoria quantistica 13
1 Fondamenti matematici 15
1.1 Elementi di calcolo difierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Sviluppi in serie e trasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 La – di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Notazione 4 vettoriale e tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . 23
¡
1.4.1 Cenni sui 4 vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
¡
1.4.2 Cenni di algebra tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Campi vettoriali e tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Derivata di un campo vettoriale. . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3 Derivata di un campo tensoriale . . . . . . . . . . . . 28
1.5.4 Simboli di Christofiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.5 Derivata covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Algebra dei 4-vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 Il gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Prodotto scalare e vettoriale . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3 Operatori 4-vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.4 Teoremi di Gauss e Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Elementi di meccanica analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Equazioni di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.2 Equazioni canoniche di Hamilton . . . . . . . . . . . . 39
1.7.3 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8 Algebra di Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8.1 Gruppo delle matrici di Lie . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8.2 Gruppi SL(n;R) e SL(n;C) . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.3 Gruppi O(n) e SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.4 Gruppi U(n) e SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
4 INDICE
1.8.5 Gruppi R0;C0;S1;R;Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8.6 Gruppo E(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8.7 Gruppi e algebra di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Elettrodinamica relativistica 45
2.1 Cinematica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Quadrivelocit(cid:181)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.2 Quadriaccelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Dinamica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Lagrangiana relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Il quadrimpulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Moto di particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Campo di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Moto di particella in campo e.m. . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Il tensore del campo e.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8 Invarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Seconda quantizzazione 61
3.1 Teoria delle particelle indistinguibili . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Sistema di 2 particelle identiche. . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Sistema di N particelle identiche . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Numeri di occupazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Bosoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Operatori di creazione e distruzione . . . . . . . . . . 71
3.3.2 Operatori di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 Operatori di creazione e distruzione . . . . . . . . . . 74
3.4.2 Operatori di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Operatori in seconda quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1 Osservabili dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Meccanica quantistica relativistica 79
4.1 Principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Lo schema di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Da Schr˜oedinger ad Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 L’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
INDICE 5
4.4.1 Soluzioni di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2 Matrici di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.3 Algebra delle matrici (cid:176)„ . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.4 Algebra della matrice (cid:176)5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.5 Algebra del tensore antisimmetrico di Ricci . . . . . . 92
4.4.6 Rappresentazione di Pauli e Dirac . . . . . . . . . . . 92
4.5 Cambiamenti di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Trasformazioni di Parit(cid:181)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.8 Proiezioni chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.9 Elettrodinamica di fermioni a massa nulla . . . . . . . . . . . 97
4.10 Trasformazioni di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.10.1 Dinamica di particella a massa nulla . . . . . . . . . . 99
4.10.2 Dinamica di particella a massa non nulla . . . . . . . 99
4.11 Stati di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.11.1 Caso di massa nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.12 Normalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.13 Simmetrie discrete e teorema . . . . . . . . . . . . . . . 104
CPT
II Dalla teoria dei campi classica alla teoria quan-
tistica dei campi 107
5 Campi, simmetrie e conservazioni 109
5.1 Deflnizione di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 Lagrangiana covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2 Lagrangiana covariante di campo . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 Campo scalare spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.4 Campo di Dirac spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2
5.2.5 Campo di Proca spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.1 Applicazione relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.2 Teorema di Noether in QFT. . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.3 Applicazione quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4.1 £„ del campo e.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
”
5.4.2 Correnti di spin per il campo e.m. . . . . . . . . . . . 127
5.4.3 £„ del campo di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
”
5.4.4 Correnti di spin per il campo di Dirac . . . . . . . . . 129
6 INDICE
5.4.5 £„ del campo di Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
”
5.5 Simmetrizzazione di £„ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
”
5.6 Simmetrie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6.1 Simmetria U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6.2 Simmetrie SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.7 Regole di commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.7.1 Meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.7.2 Regole canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 Teoria di campo gravitazionale 139
7 QFT 141
7.1 Regole di commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 Procedura di quantizzazione del campo. . . . . . . . . . . . . 142
7.2.1 Campo scalare reale spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.2 Campo scalare complesso spin-0 . . . . . . . . . . . . 147
7.2.3 Campo di Dirac spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2
7.2.4 Campo di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.5 Campo di Proca spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3 Il propagatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.1 Campo scalare reale spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.2 Campo scalare complesso spin-0 . . . . . . . . . . . . 161
7.3.3 Campo di Dirac spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2
7.3.4 Campo di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3.5 Campo di Proca spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3.6 Propagatori di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4 Contrazioni di campi e teorema di Wick . . . . . . . . . . . . 166
7.5 Simmetrie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.5.1 Campo scalare spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.5.2 Campo di Dirac spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2
7.5.3 Campo di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.5.4 Campo di Proca spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8 QED e teoria elettrodebole 181
8.1 Teoria perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Teorie '3 e '4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 Diagrammi di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.4.1 Invarianti cinematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.4.2 Scattering e+e „+„ . . . . . . . . . . . . . . . 196
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INDICE 7
8.4.3 Scattering di e in un potenziale . . . . . . . . . . . . 204
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8.4.4 Scattering di e+ in un potenziale . . . . . . . . . . . . 208
8.4.5 Scattering e e+ e e+ . . . . . . . . . . . . . . . . 209
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8.4.6 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.4.7 Scattering Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.4.8 Annichilazione e e+ (cid:176)(cid:176) . . . . . . . . . . . . . . . 232
¡
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8.4.9 Scattering e e e e . . . . . . . . . . . . . . . . 237
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8.4.10 Scattering e e+ e e+ . . . . . . . . . . . . . . . . 241
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8.5 Teoria elettrodebole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.5.1 Scattering e+e „+„ . . . . . . . . . . . . . . . 244
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8.5.2 Il bosone W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.5.3 Introduzione ai decadimenti . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.5.4 Decadimento di „ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9 QCD 251
9.1 Forza forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.2 Modello a partoni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.3 Modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.3.1 Barioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.3.2 Mesoni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.4 Modello perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.4.1 Rinormalizzazione delle cariche . . . . . . . . . . . . . 262
9.5 Modello a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.6 Transizioni di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
III Gauge theories e modello standard 277
10 Teorie di gauge 279
10.1 QED e simmetria U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.2 Teoria elettrodebole e simmetria SU(2) . . . . . . . . . . . . 282
10.2.1 Il campo di Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.2.2 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.2.3 Teoria di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.2.4 Il modello GWS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.3 Rottura spontanea della simmetria . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.3.1 Meccanismo SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.3.2 Modello (cid:190);…. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.3.3 Il meccanismo di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.4 Teoria elettrodebole in SU(2) U(1) . . . . . . . . . . . . . 306
›
8 INDICE
10.5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.5.1 Teoria di Cabibbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.5.2 QCD e simmetria SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.5.3 Matrice CKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11 Regole di Feynman 323
11.1 `4 theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
¡
11.2 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.3 Non-Abelian gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.4 Teoria di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.5 Modello (cid:190) … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
¡
11.6 Teoria elettrodebole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12 Modello standard 329
12.1 Grande uniflcazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.2 Modello standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.2.1 Decadimenti di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . 333
12.2.2 violation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
CP
12.3 Neutrini di Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
12.4 Supersimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
12.5 MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
IV Teoria quantistica dei campi con metodo fun-
zionale 351
13 Path integral 353
13.1 Metodo funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
13.1.1 Meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
13.2 Quantizzazione del campo scalare reale spin-0 . . . . . . . . . 359
13.2.1 Regole di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
13.2.2 Derivata funzionale e generatore funzionale . . . . . . 365
13.2.3 Analogie con la meccanica statistica . . . . . . . . . . 367
13.3 Quantizzazione del campo di Maxwell . . . . . . . . . . . . . 369
13.4 Rottura spontanea della simmetria . . . . . . . . . . . . . . . 372
13.4.1 Calcolo del potenziale e–cace . . . . . . . . . . . . . . 375
14 Rinormalizzazione 381
14.1 Classiflcazione delle divergenze ultraviolette . . . . . . . . . . 381
14.2 Teoria perturbativa rinormalizzata . . . . . . . . . . . . . . . 387
14.3 Rinormalizzazione ’4 theory one-loop . . . . . . . . . . . . . 389
¡
INDICE 9
14.4 Rinormalizzazione della QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10 INDICE
Prefazione
da fare (ringraziamenti etc,e come (cid:181)e stato scritto )