Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale

268 Pages·2008·9.27 MB·Italian

by  Piermarco Cannarsa

a Daniele^ Maria Cristina e Raffaele
Piermarco Cannarsa
Teresa D'Aprile
Intro duzione alia
teoria della misura
e all'analisi funzionale
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PlERMARCO CANNARSA
Dipartimento di Matematica, Universita"Tor Vergata", Roma
TERESA D'APRILE
Dipartimento di Matematica, Universita"Tor Vergata", Roma
ISBN 978-88-470-0701-7 SpringerMilan Berlin Heidelberg New York
e-ISBN 978-88-470-0702-4
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Prefazione
Proprio la ricerca del senso, I'elogio del dubbio, il meraviglioso fascino della
ricerca mi avevano catturato nelle pagine di uno del miei diari. L'autore era
un matematico, cresciuto alia scuola di Renato Caccioppoli. Aveva convis-
suto con i numeri e con I'inquietudine febbrile della scoperta degli infiniti.
Gli astronomi li frequentano, li cercano, li studiano. I filosofi li immaginano,
li raccontano, li inventano. I matematici li rendono vivi, ci si avvicinano e
li toccano.
WALTER VELTRONI, La scoperta delValha
Questo libro si propone di avvicinare il lettore a teorie che svolgono un ruolo
centrale nella matematica moderna, quali V integrazione e V analisi funzionale.
Nella loro essenza, queste teorie sono estensioni di concetti che si incontrano
nei corsi di base di matematica - e, sempre piu frequentemente, anche nella
formazione pre-universitaria - quali quello di vettori ortogonali, trasformazio-
ni linear! tra spazi euclidei e integrale di funzioni reali di variabile reale. In che
cosa consiste allora I'estensione? Nel fatto che 1'ambiente in cui si fanno vivere
questi concetti diviene via via piu generale: I'ortogonalita negli spazi di Hil-
bert, le trasformazioni lineari negli spazi di Banach, 1'integrazione negli spazi
di misura. Queste sono strutture che si spogliano delle caratteristiche parti-
colari della retta reale o del piano cartesiano, mettendo in evidenza i requisiti
fondamentali che occorrono per studiare le proprieta che ci interesseranno di
volta in volta.
A questo punto e bene richiamare I'attenzione del lettore sul fatto che
queste generalizzazioni non sono fini a se stesse, ne sono dettate da soli motivi
estetici: procedendo in questo modo, come e tipico fare in matematica, da un
lato si riassumono una grande quantita di risultati, talvolta classici, in pochi
enunciati di portata molto generale che si dimostrano con argomenti essenziali,
dall'altro si scoprono nuovi fenomeni e proprieta che altrimenti sarebbero
totalmente al di la della portata delle nostre indagini. Nelle pagine che seguono
VI Prefazione
abbiamo cercato di comunicare al lettore I'interesse per quest a operazione
culturale, illustrandola con numerosi esempi e applicazioni. Tra queste ultime,
ci place ricordare la deduzione del teorema di approssimazione di Weierstrass
per funzioni continue dalle proprieta del prodotto di convoluzione.
Le ripetute riforme degli ordinamenti didattici di questi ultimi anni hanno
modificato profondamente la struttura dei corsi di studio. Di conseguenza, si
e reso necessario ridistribuire e aggiornare i contenuti degli insegnamenti per
renderli piii funzionali ad una rapida e matura acquisizione da parte degli stu-
dent i. Inoltre, I'accresciuta autonomia didattica degli atenei ha portato come
conseguenza un divario notevole tra corsi di laurea di sedi diverse. Anche di
queste considerazioni si e tenuto conto nella stesura di questo testo. Da una
parte, esso e rivolto a studenti di corsi di laurea magistrale in matematica, ai
quali si propone di fornire conoscenze avanzate che dovrebbero far parte della
cultura standard di chi voglia proseguire con lo studio di questa disciplina.
Dall'altra, esso aspira ad essere di supporto a studenti e ricercatori di materie
diverse dalla matematica, non presupponendo la conoscenza preliminare di
argomenti che possono risultare specialistici, quali I'integrazione di Lebesgue
in R"^ o i risultati di compattezza per famiglie di funzioni continue. Le ap-
pendici di fine trattazione spaziano su una variegata list a di argomenti, dalla
funzione distanza al principio di Ekeland, rendendo il testo completamente
autosufficiente per chiunque disponga delle nozioni di base di algebra lineare
e analisi matematica.
Un altro aspetto che ci preme sottolineare e che le due direttrici di base
di questo testo, cioe I'integrazione e I'analisi funzionale, non sono argomenti
indipendenti e giustapposti, ma teorie profondamente legate fra loro. Carat-
teristiche, queste, che si evidenziano spesso negli esempi e negli esercizi, di cui
presentiamo un'offerta piuttosto ampia e spesso corredata da generosi suggeri-
menti risolutivi. Volendo trattare i due argomenti in un unico corso, e possibile
coprire buona parte dei capitoli dal primo al sesto in un unico semestre, forse
con un po' di impegno da parte degli studenti. Volendo invece ripartire il ma-
teriale su due semestri, si possono aggiungere alcuni degli argomenti contenuti
nella terza parte, che comprende la teoria delle funzioni a variazione limitata
(di una variabile reale) e delle funzioni assolutamente continue, le misure con
segno, il teorema di Radon-Nikodym, la caratterizzazione dei duali degli spazi
di Lebesgue e alcuni cenni alia teoria delle funzioni multivoche.
Alio stesso tempo, il libro si presta, in larga misura, ad una presentazione
indipendente dei due argomenti - scelta a volte obbligata dall'architettura
dei corsi. I capitoli dal primo al quarto potranno allora fornire tutto il ma-
teriale necessario per un corso di teoria dell'integrazione rivolto non solo a
studenti indirizzati verso I'analisi matematica. Ad esempio, la teoria della mi-
sura e sviluppata in astratto, per arrivare rapidamente al classico teorema
di estensione delle funzioni d'insieme numerabilmente additive, strumento di
uso frequentissimo in probabilita. I capitoli quinto e sesto costituiscono una
introduzione all'analisi funzionale in cui si pone I'accento sugli aspetti geo-
metrici degli spazi infinito-dimensionali. Per far si che questa parte del testo.
Prefazione VII
depurata dagli esempi ambientati in spazi di misura, possa essere ospitata in
corsi di laurea sia triennale che magistrale, abbiamo curato abbastanza a fon-
do la presentazione degli spazi i'^ i quali, non richiedendo particolari nozioni
di teoria dell'integrazione, fanno capire con immediatezza i fenomeni nuovi
che si presentano in dimensione infinita.
In conclusione, vogliamo esprimere la nostra gratitudine verso tutti coloro
che hanno contribuito alia realizzazione di quest'opera. In particolare, siamo
molto riconoscenti a Giuseppe Da Prato che ha dato origine alia stesura di
questo testo fornendoci utilissime ispirazioni sia per la scelta dei contenuti
che per le metodologie. Ringraziamo I'amico Giro Giliberto per averci inco-
raggiato a far evolvere degli appunti di lezione - da noi redatti inizialmente
in inglese - in un libro vero, scritto finalmente nella nostra lingua madre, e
per averci messo in contatto con quella interlocutrice squisita che si e rivelata
essere Francesca Bonadei. Siamo grati agli studenti del corso di Gomplementi
di Analisi Matematica dell'Universita di Roma "Tor Vergata" che hanno letto
versioni preliminari del testo e hanno affrontato molti degli esercizi che qui
proponiamo. Infine, un grazie di cuore (e molto di piu) a Garlo Sinestrari e
Francesca Tovena, che ci sono stati vicini con i loro preziosi consigli e la loro
impagabile pazienza.
Roma, gennaio 2008 Piermarco Cannarsa
Teresa D'Aprile
Indice
Parte I Misura e integrazione
Spazi di misura 3
1.1 Algebre e cr-algebre di insiemi 4
1.1.1 Notazioni e preliminari 4
1.1.2 Algebre e cr-algebre 5
1.2 Misure 7
1.2.1 Funzioni additive e cr-additive 7
1.2.2 Spazi di misura 10
1.2.3 Lemma di Borel-Cantelli 12
1.3 Teorema di estensione 12
1.3.1 Classi monotone 13
1.3.2 Misure esterne 15
1.4 Misure di Borel in R^ 19
1.4.1 Misura di Lebesgue in [0,1) 19
1.4.2 Misura di Lebesgue in R 21
1.4.3 Misura di Lebesgue in R^ 24
1.4.4 Esempi 26
1.4.5 Regolarita delle misure di Radon 28
Integrazione 35
2.1 Funzioni misurabili 36
2.1.1 Immagine inversa di una funzione 36
2.1.2 Funzioni misurabili e funzioni di Borel 36
2.2 Convergenza quasi ovunque 42
2.3 Approssimazione con funzioni continue 44
2.4 Integrale di funzioni di Borel 47
2.4.1 Integrale di funzioni semplici positive 47
2.4.2 Funzione di ripartizione 48
2.4.3 Integrale archimedeo 50
2.4.4 Integrale di funzioni di Borel positive 53
X Indice
2.4.5 Integrale di funzioni con segno variabile 59
2.5 Convergenza di integral! 63
2.5.1 Convergenza dominata 64
2.5.2 Sommabilita uniforme 67
2.5.3 Integral! dipendenti da parametro 70
3 Spazi LP 75
3.1 Spazi J5f^(X,/x) e L^(X,/i) 75
3.2 Spazio L^(X, /x) 83
3.3 Convergenza in misura 87
3.4 Convergenza e approssimazione in L^ 89
3.4.1 Risultati di convergenza 89
3.4.2 Sottoinsiemi densi in L^ 92
4 Misure prodotto 97
4.1 Spazi prodotto 97
4.1.1 Misura prodotto 97
4.1.2 Teorema di Fubini-Tonelli 101
4.2 Compattezza in L^ 104
4.3 Convoluzione e approssimazione 108
4.3.1 Prodotto di convoluzione 108
4.3.2 Approssimazione con funzioni regolari 112
Parte II Analisi funzionale
5 Spazi di Hilbert 121
5.1 Definizioni ed esempi 122
5.2 Proiezione ortogonale 125
5.2.1 Proiezione su un insieme convesso chiuso 126
5.2.2 Proiezione su un sottospazio chiuso 128
5.3 Teorema di Rappresentazione di Riesz 132
5.3.1 Funzionali linear! limitat! 132
5.3.2 Teorema di Riesz 133
5.4 Succession! e has! ortonormali 137
5.4.1 Disuguaglianza di Bessel 138
5.4.2 Bas! ortonormali 139
5.4.3 Completezza del sistema trigonometrico 142
6 Spazi di Banach 147
6.1 Definizioni e esempi 148
6.2 Operator! linear! limitat! 150
6.2.1 II Principio di Limitatezza Uniforme 153
6.2.2 II Teorema dell'Applicazione Aperta 155
6.3 Funzionali linear! limitat! 159
Indice XI
6.3.1 II Teorema di Hahn-Banach 159
6.3.2 Separazione di insiemi convessi 164
6.3.3 II duale di ^^ 169
6.4 Convergenza debole e riflessivita 173
6.4.1 Spazi riflessivi 173
6.4.2 Convergenza debole e proprieta di Bolzano-Weierstrass 176
Parte III Capitoli sceiti
7 Funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente
continue 189
7.1 Funzioni monotone 190
7.1.1 Derivabilita delle funzioni monotone 191
7.2 Funzioni a variazione limitata 196
7.3 Funzioni assolutamente continue 201
8 Misure con segno 211
8.1 Confronto fra misure 212
8.2 Decomposizione di Lebesgue 213
8.2.1 II caso di misure finite 213
8.2.2 II caso generale 216
8.3 Misure con segno 218
8.3.1 Variazione totale 219
8.3.2 Teorema di Radon-Nikodym 221
8.3.3 Decomposizione di Hahn 222
8.4 II duale di LP{X, //) 224
9 Funzioni multivoche 229
9.1 Definizioni e esempi 229
9.2 Esistenza di una selezione sommabile 231
Appendici
A Funzione distanza 237
B Funzioni semicontinue 243
C Spazi normati di dimensione flnita 247
D Lemma di Baire 251
E Famiglie relativamente compatte di funzioni continue 253
F Trasformata di Legendre 255