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«MANLIO ROSSI-DORIA» Collana a cura del Centro per la Formazione in Economia e Politica dello Sviluppo Rurale e del Dipartimento di Economia e Politica Agraria dell’Università di Napoli Federico II 6 Nella stessa collana: 1. Qualità e valorizzazione nel mercato dei prodotti agroalimentari tipici, a cura di F. de Stefano, 2000. 2. L’economia agrobiologica in Campania: un difficile percorso, a cura di F. de Stefano, G. Cicia e T. del Giudice, 2000. 3. Istituzioni, capitale umano e sviluppo del Mezzogiorno, a cura di M.R. Carrillo e A. Zazzaro, 2001. 4. Introduzione alla statistica per le applicazioni economiche. Vol. I, Statistica descrittiva, C. Vitale 2002. 5. Aspetti economici e prospettive dela coltivazione della patata in Italia, a cura di P. Lombardi, 2002 6. Introduzione alla statistica per le applicazioni economiche. Vol. II, Probabilità e Statistica, C. Vitale 2002. In preparazione: O. W. MAIETTA, L’analisi quantitativa dell’efficienza. Tecniche di base ed estensioni recenti. COSIMO VITALE INTRODUZIONE ALLA STATISTICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE Volume secondo PROBABILITÀ E STATISTICA Edizioni Scientifiche Italiane VITALE Cosimo Introduzione alla statistica per le applicazioni economiche vol. II, Probabilità e statistica. Collana: «Manlio Rossi - Doria, a cura del Centro per la Formazione in Economia e Politica dello Sviluppo Rurale e del Dipartimento di Economia e Politica Agraria dell’Università di Napoli Federico II, 4 Napoli: Edizioni Scientifiche Italiane, 2002 pp. X+302; cm 24 ISBN 88-495-0552-3 © 2002 by Edizioni Scientifiche Italiane s.p.a. 80121 Napoli, via Chiatamone 7 00185 Roma, via dei Taurini 27 Internet: www.esispa.com E-mail: [email protected] I diritti di traduzione, riproduzione e adattamento totale o parziale e con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i Paesi. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, comma 4 della legge 22 aprile 1941, n. 633 ovvero dell’accordo stipulato tra SIAE , AIE, SNS e CNA, CONFARTIGIANATO, CASA, CLAAI, CONFCOMMERCIO, CONFESERCENTI il 18 dicembre 2000. Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione Delle Opere dell’ingegno (AIDRO) Via delle Erbe, 2 – 20121 Milano Tel. E fax 02-809506; e-mail: [email protected] INDICE Capitolo 1 Introduzione al calcolo delle probabilità 1.1 Introduzione 1 1.2 I concetti primitivi del calcolo delle probabilità 4 Prova Evento Probabilità 1.3 I postulati del calcolo delle probabilità 5 Primo postulato Secondo postulato Terzo postulato Quarto postulato Quinto postulato 1.4 La misura della probabilità 20 1.5 Il teorema di Bayes 26 Capitolo 2 Le variabili casuali 2.1 Introduzione 31 2.2 Variabili casuali discrete e distribuzioni di frequenza 34 La media aritmetica La varianza Il momento di ordine r L'indice di asimmetria L'indice di curtosi 2.3 Le variabili casuali doppie discrete 38 Momento misto di ordine 1,1 La covarianza La correlazione Momenti condizionati 2.4 Le variabili casuali continue 41 VIII Indice La media La varianza La mediana L'indice di asimmetria L'indice di curtosi 2.5 Le variabili casuali doppie continue 52 Momento misto di ordine 1,1 La covarianza Momenti condizionati Capitolo 3 Variabili casuali di uso comune 3.1 La variabile casuale uniforme 57 La uniforme discreta La uniforme continua 3.2 La variabile casuale binomiale 63 3.3 La variabile casuale di Poisson 70 3.4 La variabile casuale Normale 75 3.5 Alcune v.c. derivate dalla Normale 89 La v.c. Chi-quadrato La v.c. T di Student La v.c. F di Fisher La v.c. Lognormale 3.6 La variabile casuale Normale doppia 100 3.7 Alcuni teoremi limite 103 Alcune leggi di convergenza Il teorema del limite centrale La disuguaglianza di Chebychev Capitolo 4 Elementi di teoria della stima parametrica 4.1 Introduzione 113 4.2 La stima parametrica 114 4.3 Cenni di teoria delle decisioni 116 Metodo del mini-max Metodo dell'area minima Metodo delle proprietà ottimali 4.4 Alcune proprietà ottimali degli stimatori 119 La sufficienza La non distorsione L'efficienza La consistenza 4.5 Alcuni metodi di costruzione delle stime 131 Metodo dei momenti Indice IX Metodo dei minimi quadrati Metodo di massima verosimiglianza 4.6 La distribuzione di probabilità di alcuni stimatori campionari 139 Distribuzione di probabilità della media campionaria Distribuzione di probabilità dei percentili campionari Distribuzione di probabilità della varianza campionaria Distribuzione di probabilità della correlazione campionaria 4.7 Due metodi di inferenza basati sul ricampionamento 148 La procedura jakknife La procedura bootstrap Capitolo 5 Introduzione al test delle ipotesi 5.1 Introduzione 155 5.2 Il lemma di Neyman Pearson 158 5.3 Test basato sul rapporto di verosimiglianza. Caso di Ho semplice 160 5.4 Test basato sul rapporto di verosimiglianza. Caso di Ho complessa 164 5.5 Particolari test basati su MLR 165 Test sulla media Test sulla differenza fra medie Test su una proporzione Test sul confronto di 2 proporzioni Test su dati appaiati Test sulla varianza Confronto fra due varianze Test sul coefficiente di correlazione 5.6 Alcuni test non parametrici 192 Test di adattamento Test sull'indipendenza Test di Wilcoxon Test dei segni 5.7 Cenni agli intervalli di confidenza 210 Intervallo di confidenza per la media Intervallo di confidenza per una percentuale Intervallo di confidenza per la varianza Intervallo di confidenza per la correlazione Capitolo 6 Il modello di regressione 6.1 Introduzione 217 6.2 La costruzione del modello di regressione 219 6.3 Il modello di regressione lineare semplice 220 X Indice 6.4 La stima dei parametri del modello 223 6.5 Proprietà delle stime dei minimi quadrati 237 6.6 La verifica del modello di regressione 240 Test sui parametri del modello Misura della bontà di adattamento Analisi dei residui 6.7 Modello di regressione non lineare 254 Modelli non lineari nelle esplicative Modelli non lineari ma linearizzabili Modelli non linearizzabili 6.8 Modello di regressione lineare in forma matriciale 258 Appendice 263 Tavole statistiche 264 Bibliografia 293 Indice analitico 297 Capitolo 1 INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ 1.1 Introduzione Nei capitoli riportati nel Volume I: Statistica Descrittiva, abbiamo illustrato una serie di strumenti statistici idonei per descrivere fenomeni che si suppongo- no completamente noti. In altri termini ritenevamo di operare in un universo certo : l’incertezza è bandita, si possono solo raccogliere e sintetizzare informa- zioni e derivare le eventuali relazioni esistenti fra più fenomeni. Un universo c o- sì fatto viene anche detto deterministico : una causa produce sempre e sicura- mente gli stessi effetti, gli stessi risultati. In altri termini è come se si vivesse in un mondo regolato da un orologio perfetto capace di misurare in modo preciso ed indiscutibile il trascorrere del tempo. In questo e nei capitoli che seguono ci occuperemo di un mondo dominato dall’incertezza : niente è sicuro, tutto è incerto per la presenza costante di ele- menti aleatori, casuali. In un universo deterministico la ripetizione di un dato esperimento produce sempre gli stessi risultati, una implicazione importante di tale concezione è che le stesse leggi valgono in qualsiasi tempo, anzi è come se si potesse ritornare i n- dietro nel tempo per potere ripetere esattamente l’esperimento ed ottenere esattamente lo stesso risultato. In tale universo vale la reversibilità temporale si può viaggiare avanti ed indietro nel tempo a proprio piacimento, quanto meno da un punto di vista teorico. In un mondo dominato dall’incertezza, invece, la ripetizione di uno stesso esperimento non è detto che produca identici risultati e come conseguenza non è possibile ipotizzare l’irreversibilità temporale dato che in tal caso è impossibile essere certi di ritrovare lo stesso preciso evento che si è verificato in un tempo precedente. Il tempo ha una determinata direzione in accordo con il secondo principio della termodinamica. D’altro lato, per potere ipotizzare un mondo dominato dall’incertezza, dalla 2 Capitolo 1 casualità, dall’aleatorietà, è necessario spiegare come questa incertezza nasce e perché non è controllabile quanto meno da un punto di vista teorico. Un modo per definire il caso è quello di supporre che tutto ciò che esiste evolve, si modifica nel tempo irreversibile e nella loro evoluzione i risultati generati sono molto sensibili alle condizioni iniziali, cioè alle condizioni da cui si è partiti per gene- rare tutta la successione di fenomeni effettivamente realizzati. In altri termini, nel mondo della casualità, i fenomeni sono generati da sistemi dinamici, cioè siste- mi di forze che evolvono nel tempo, e questi sistemi sono estremamente sensi- bili alle condizioni iniziali: piccolissime variazioni nelle condizioni iniziali produ- cono, dopo un tempo più o meno lungo, effetti completamente diversi. E’ questa sensibilità ciò che rende incerti i risultati ottenuti da esperimenti che, in apparenza, sembrano identici. Questo perché, nella realtà, è praticamente i m- possibile ricreare esattamente le condizioni iniziali di un sistema e se il sistema è sensibile alle condizioni di partenza dopo qualche di tempo i risultati che si ot- tengono dalla catena di reazioni e contro reazioni diventano del tutto impreve- dibili. E’ interessante osservare che essendo gli eventi il risultato di sistemi d i- namici è impossibile verificare se e quali eventi sono simultanei. Il caso quindi è frutto della non conoscenza esatta, della ignoranza delle condizioni iniziali. Se fossi- mo in grado di conoscere, misurare e riprodurre in modo esatto le condizioni iniziali saremmo in grado di prevedere qualsiasi fenomeno. E’ la nostra limita- tezza di umani che non ci permette e non ci permetterà mai di capire e preve- dere esattamente i fenomeni. Insomma, galleggiamo in un mondo d’incertezza solo perché siamo limitati: il caso non è intrinseco ai fenomeni ma è il concen- trato della nostra limitatezza, della nostra ignoranza. Esempio 1 Se si lancia una moneta il risultato può essere testa o croce, ma è impossibile predire con sicurezza che il lancio di una data moneta in un dato momento dia come risultato, per esem- pio, testa. Questo è dovuto al fatto che il risultato generato dal sistema di forze che lo gover- nano è molto sensibile alle condizioni di partenza: posizione iniziale della moneta, circonferen- za, peso e spessore della moneta, forza impressa alla moneta, forza di gravità operante in quel punto ed in quel tempo, condizioni climatiche esistenti al momento del lancio, e così via. Nella figura seguente è schematizzato, a sinistra, il caso di sistema sensibile alle condizioni iniziali ove la pallina sottoposta ad una spinta scivolerà lungo una qualsiasi direzione della semisfera per fermarsi in uno qualsiasi dei punti della superficie sottostante. Il punto in cui la pallina si ferma è estremamente sensibile alle condizioni iniziali (forza impressa, sua direzione ecc.) e quindi non è possibile prevedere con certezza dove questa va a fermarsi. Nella stessa figura, a destra, è schematizzato il caso di un sistema indipendente dalle condizioni iniziali: il punto in cui la pallina si ferma è sempre lo stesso qualsiasi siano le condizioni iniziali.
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