"Introduzione ai Processi Aleatori" 1 Probabilita condizionata a σ-algebre 1.1 Il caso discreto

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Appunti del corso "Introduzione ai Processi Aleatori"
Indice
1 Probabilit(cid:18)a condizionata a (cid:27) algebre
(cid:0)
1.1 Il caso discreto
1.2 Il caso generale
1.3 Distribuzione condizionata
2 Media condizionata a (cid:27) algebre
(cid:0)
2.1 De(cid:12)nizione e propriet(cid:18)a
2.2 Distribuzione e media condizionata
3 Processi stocastici
3.1 Distribuzioni (cid:12)nito dimensionali e teorema di esistenza di Kolmogorov
3.1 Un esempio: il moto browniano o processo di Wiener
(cid:0)
(cid:27)
1 Probabilit(cid:18)a condizionata a algebre
1.1 Il caso discreto
Sia ((cid:10); ;P) uno spazio di probabilit(cid:18)a:
F
(cid:10) spazio campionario;
(cid:15)
(cid:27) algebra di eventi di (cid:10):
(cid:15) F (cid:0)
;(cid:10) ,
(cid:3) ; 2 F
c c
se A allora A [A = (cid:10) A],
(cid:3) 2 F 2 F (cid:0)
1
se An n allora n=1 An ;
(cid:3) f g (cid:26) F [ 2 F
P misura di probabilit(cid:18)a su ((cid:10); ): P : [0;1] tale che
(cid:15) F F !
P((cid:10)) = 1,
(cid:3)(cid:3)
1 1
P( n=1 An) = n=1P(An), se An Am = per ogni n = m ((cid:27) additivit(cid:18)a).
(cid:3)(cid:3) [ \ ; 6 (cid:0)
P
Formula di Bayes: se B , P(B) > 0,
2 F
P(A B)
P(A B) = \
j P(B)
rappresenta la probabilit(cid:18)a del veri(cid:12)carsi dell’evento A nota l’informazione data da B. Si
noti che, al variare di A , P(A B) (cid:18)e una misura di probabilita(cid:18).
2 F j
Ovviamente, la probabilit(cid:18)a di A condizionata al non veri(cid:12)carsi di B (cid:18)e
c
c P(A B )
P(A B ) = \c
j P(B )
1
c
purch(cid:19)e P(B ) > 0. Ci(cid:18)o signi(cid:12)ca che la probabilit(cid:18)a condizionata cambia a seconda del
veri(cid:12)carsi o meno di B. In altre parole, essa dipende dall’osservazione e(cid:11)ettuata, cio(cid:18)e da
! (cid:10), ed il suo valore pu(cid:18)o essere calcolato tramite la formula di Bayes: se 0 < P(B) < 1,
2
essa vale
P(A B) se ! B
f(!) = j c 2 c (1)
( P(A B ) se ! B
j 2
Osservazione 1.1 Ci si potrebbe chiedere quale valore debba essere attribuito alla fun-
zione f quando P(B) = 0 oppure P(B) = 1. In realt(cid:18)a, in tal caso la de(cid:12)nizione di f non
(cid:18)e "ben posta". Infatti, quando P(B) = 0 l’aver osservato B non d(cid:18)a alcuna informazione
riguardo la probabilit(cid:18)a del veri(cid:12)carsi di A, ovvero P(A B). Se invece P(B) = 1, allora
c c j
P(B ) = 0 e quindi in tal caso (cid:18)e P(A B ) a non essere ben de(cid:12)nita. Ne segue che la
j
formula (1) (cid:18)e sempre ben de(cid:12)nita a meno di insiemi di probabilita(cid:18) nulla, cio(cid:18)e quasi certa-
mente (q.c.). Qualoral’insiemesu cui f non (cid:18)e de(cid:12)nita(cid:18)e non vuoto (cio(cid:18)e P(B) = 0 oppure
P(B) = 1, con B = o (cid:10)), su tale insieme il valore di f sar(cid:18)a preso in modo arbitrario.
6 ;
Come vedremo in seguito, la (1) de(cid:12)nisce la probabilit(cid:18)a di A condizionata alla
c
(cid:27) algebra = ;(cid:10);B;B . Si noti che tale probabilit(cid:18)a(cid:18)e una variabile aleatoria (v.a.)
(cid:0) G f; g
reale, ovvero una funzione reale misurabile: se (IR) denota la (cid:27) algebra di Borel
F(cid:0) B (cid:0)
su IR, allora
f : ((cid:10); ) (IR; (IR))
F ! B
(cid:0)1
con f (H) = ! (cid:10) : f(!) H ;per ogni H (IR)
f 2 2 g 2 F 2 B
c
La famiglia di insiemi B;B (cid:18)e una partizione (banale) di (cid:10) e l’idea utilizzata per
f g
costruire la funzione f de(cid:12)nita in (1) consente di generalizzare il concetto di probabilit(cid:18)a
1
condizionata a (cid:27) algebre generate da partizioni qualsiasi nel modo seguente.
(cid:0)
Sia Bi i2I una partizione al piu(cid:18) numerabile di (cid:10):
f g
card(I) card(IN);
(cid:15) (cid:20)
Bi Bj = per ogni i = j;
(cid:15) \ ; 6
i2IBi = (cid:10).
(cid:15) [
Sia la (cid:27) algebra generata da Bi i2I. Si dimostra (esercizio!) che (cid:18)e formata da tutte
G (cid:0) f g G
le possibili unioni degli elementi della partizione:
= G : G = i2IGBi;IG I
G f [ (cid:26) g
1
Data una famiglia di insiemi di (cid:10), ricordiamo che la (cid:27) algebra generata da , in simboli
P (cid:0) P
(cid:27)( ), (cid:18)e la piu(cid:18) piccola (cid:27) algebra contenente . Se X denota una variabile aleatoria su ((cid:10); ), ovvero
P n n(cid:0) n P n F
X : ((cid:10); ) (IR ; (IR )), dove (IR ) denota la (cid:27) algebra di Borel su IR , la (cid:27) algebra generata
F ! B B (cid:0) (cid:0)
da X, in simboli (cid:27)(X), (cid:18)e la piu(cid:18) piccola (cid:27) algebra di eventi di (cid:10) rispetto alla quale X (cid:18)e misurabile.
(cid:0) n
Si puo(cid:18) dimostrare che (cid:27)(X) (cid:18)e costituita dalle controimmagini tramite X dei boreliani di IR : (cid:27)(X) =
(cid:0)1 n
X (H):H (IR ) .
f 2B g
2
Fissato A , sia
2 F
f(!) = P(A Bi) se ! Bi e P(Bi) > 0 (2)
j 2
Posto P(A Bi) = c, con c costante arbitraria, per ogni indice i tale che P(Bi) = 0, la
j
funzione f diviene de(cid:12)nita per ogni ! (cid:10) e si pu(cid:18)o scrivere in modo equivalente
2
f(!) = P(A Bi)1IBi(!) (3)
i2I j
X
oppure
(cid:3)
f(!) = P(A Bi (!)) (4)
j
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
dove i : (cid:10) I, i (!) (cid:18)e quell’indice (unico!) i I tale che ! Bi (i (!) = i se e solo se
! 2 2
! Bi).
2
Alla funzione f si puo(cid:18) dare il seguente signi(cid:12)cato.
La partizione Bi i2I, o in modo equivalente la (cid:27) algebra , si pu(cid:18)o interpretare
f g (cid:0) G
come un possibile esperimento; se un osservatore sa quale elemento Bi della partizione
contiene ! signi(cid:12)ca allora che conosce il risultato dell’esperimento e f(!) d(cid:18)a quindi la
nuova probabilit(cid:18)a dell’evento A nota l’osservazione. Per tale ragione la v.a. f (cid:18)e detta
probabilit(cid:18)a di A condizionata alla (cid:27) algebra ed (cid:18)e usualmente denotata con il
(cid:0) G
simbolo P(A ):
jG
f(!) = P(A )(!)
jG
Ovviamente, P(A ) non (cid:18)e univocamente de(cid:12)nita per quei valori di ! appartenenti ad
jG
insiemi Bi per i qual P(Bi) = 0 e per questo motivo la probabilit(cid:18)a condizionata(cid:18)e de(cid:12)nita
q.c. (si veda l’Osservazione 1.1).
Esempio 1.2 Sia Nt un processo di Poisson di parametro (cid:21). Fissato t > 0, sia
Bi = ! : Nt(!) = i ; i = 0;1;2;:::
f g
Ovviamente Bi i(cid:21)0 (cid:18)e una partizione di (cid:10). Sia la (cid:27) algebra generata da Bi i(cid:21)0:
f g G (cid:0) f g
= (cid:27)(B0;B1;B2;:::) = (cid:27)(Nt)
G
Fissato s < t, calcoliamo P(Ns = k ) per k = 0;1;2;:::, ovvero la probabilit(cid:18)a di
jG
A = ! : Ns(!) = k condizionata alla (cid:27) algebra . Si noti che, interpretando Nt come
f g (cid:0) G
il numero di telefonate arrivate ad un centralino (cid:12)no all’istante t, P(Ns = k )(!) (cid:18)e la
jG
probabilit(cid:18)a che ad un istante (passato) s siano arrivate k telefonate condizionatemente al
numero totale di chiamate Nt(!) pervenute al tempo (presente) t. Infatti, dalla (2),
P(Ns = k )(!) = P(Ns = k Nt = i) quando Nt(!) = i
jG j
Poich(cid:19)e Ns Nt per ogni s < t, P(Ns = k Nt = i) = 0 per ogni i < k, dunque
(cid:20) j
P(Ns = k )(!) = 0 se Nt(!) < k
jG
3
Supponiamo ora i k. In tal caso, dalla formula di Bayes,
(cid:21)
P(Ns = k;Nt = i) P(Ns = k;Nt Ns = i Ns)
P(Ns = k Nt = i) = = (cid:0) (cid:0)
j P(Nt = i) P(Nt = i)
P(Ns = k;Nt Ns = i k)
= (cid:0) (cid:0)
P(Nt = i)
Useremo ora alcune propriet(cid:18)a caratteristiche del processo di Poisson:
gli incrementi sono indipendenti: P(Ns = k;Nt Ns = i k) = P(Ns = k)P(Nt
(cid:15) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ns = i k);
(cid:0)
gli incrementi Nt Ns sono v.a. di Poisson di parametro (cid:21)(t s), per ogni s < t:
(cid:15) (cid:0) (cid:0)
j
((cid:21)(t s)) (cid:0)(cid:21)(t(cid:0)s)
P(Nt Ns = j) = (cid:0) e ; j = 0;1;:::;
(cid:0) j!
per r > 0, Nr (cid:18)e una v.a. di Posson di parametro (cid:21)r:
(cid:15)
j
((cid:21)r) (cid:0)(cid:21)r
P(Nr = j) = e ; j = 0;1;:::;
j!
Allora,
k (i(cid:0)k)
((cid:21)s) (cid:0)(cid:21)s ((cid:21)(t s)) (cid:0)(cid:21)(t(cid:0)s) i! (cid:21)t
P(Ns = k Nt = i) = e (cid:0) e ie
j k! (cid:1) (i k)! (cid:1) ((cid:21)t)
k (cid:0) i(cid:0)k
i s s
= 1
k t (cid:0) t
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
s
che, osserviamo, (cid:18)e una distribuzione binomiale di parametri i e t. Possiamo dunque
scrivere che
Nt(!) s k s Nt(!)(cid:0)k
t 1 t se k 0;1;:::Nt(!)
P(Ns = kjG)(!) = 8 (cid:18) k (cid:19)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:0) (cid:17) 2 f g (5)
>< 0 altrimenti
>:
1.2 Il caso generale
Diamo qui la de(cid:12)nizione formale di probabilit(cid:18)a condizionata ad una (cid:27) algebra e presen-
(cid:0)
tiamo alcuni esempi e propriet(cid:18)a che ne conseguono.
De(cid:12)nizione 1.3 Sia ((cid:10); ;P) uno spazio di probabilit(cid:18)a, A un evento (cid:12)ssato in e
2 F F G
una sotto (cid:27) algebra di . Una versione P(A ) della probabilit(cid:18)a di A condizionata a
(cid:0) F jG
(cid:18)e una v.a. tale che:
G
2
Ovvero, (cid:18)e una (cid:27) algebra di eventi di (cid:10) e .
G (cid:0) G (cid:26)F
4
3
(i) P(A ) (cid:18)e misurabile e integrabile;
jG G(cid:0)
(ii) Per ogni G ,
2 G
P(A )(!)dP(!)= P(A G)
G jG \
Z
o, equivalentemente,
IE[P(A )1IG] = P(A G)
jG \
Occorre subito mostrare l’esistenza di una v.a. che soddis(cid:12) le condizioni richieste e gius-
ti(cid:12)care il termine "versione" introdotto nella de(cid:12)nizione precedente. A tale scopo, sia (cid:22)
la misura su de(cid:12)nita da
G
(cid:22)(G) = P(A G); G
\ 2 G
Se P(G) = 0 allora (cid:22)(G) = 0, cio(cid:18)e (cid:22) (cid:18)e assolutamente continua rispetto a P. Il teorema di
4
Radon{Nicodym assicuraalloral’esistenzadiunafunzionef, misurabilee integrabile,
G(cid:0)
tale che per ogni G ,
2 G
f(!)dP(!)= (cid:22)(G) (6)
G
Z
Bastera(cid:18) dunque porre P(A )(!) = f(!). L’unicit(cid:18)a della funzione f che veri(cid:12)ca la (6)
5 jG
non (cid:18)e per(cid:18)o assicurata . Ci(cid:18)o signi(cid:12)ca che la probabilit(cid:18)a condizionata P(A ) (cid:18)e unica q.c.,
jG
cio(cid:18)e a meno di insiemi di di probabilit(cid:18)a 0, e per tale ragione si usa il termine "versione"
G
della probabilit(cid:18)a condizionata, termine che d’ora in poi verr(cid:18)a omesso.
Esempio 1.4 Se = ;(cid:10) allora P(A )(!) = P(A) (veri(cid:12)care (i) e (ii)!).
G f; g jG
Esempio 1.5 Sia A un evento indipendente da , ovvero P(A G) = P(A)P(G) per
G \
ogni G . In tal caso, P(A )(!) = P(A). Infatti, ogni funzione costante (cid:18)e misurabile
2 G jG
rispetto alla (cid:27) algebra banale ;(cid:10) , dunque rispetto ad ogni (cid:27) algebra. Inoltre,
(cid:0) f; g (cid:0)
P(A G) = P(A)P(G) = P(A)dP(!)
\ G
Z
sicch(cid:19)e anche (ii) (cid:18)e veri(cid:12)cata.
Esempio 1.6 Se in particolare A , allora P(A )(!) = 1IA(!). Infatti, (i) (cid:18)e immedi-
2 G jG
ata. Riguardo (ii), basta osservare che
P(A G) = dP(!) = 1IA(!)dP(!):
\ A\G G
Z Z
3 (cid:0)1
Ovvero, per ogni boreliano H di IR, P(A ) (H) = ! : P(A )(!) H . Si noti che, poich(cid:19)e
(cid:0)1 jG f jG 2 g2 G
P(A )(cid:18)eunav.a., in particolareP(A ) (H) . La misurabilit(cid:18)aesprimedunque la necessita(cid:18)che
jG jG 2F G(cid:0)
la probabilit(cid:18)a condizionata a debba dipendere solo dagli eventi di .
4 G G
(Radon{Nicodym) Sia (cid:23)1 una misura su ((cid:10); ) (cid:12)nita e (cid:27) additiva. Sia (cid:23)2 una misura (o, piu(cid:18) in
G (cid:0)
generale, una carica o misura con segno) de(cid:12)nita sullo stesso spazio, assolutamente continua rispetto a
(cid:23)1. Allora esiste su (cid:10) una funzione f integrabile rispetto a (cid:23)1 tale che (cid:23)2(G) = Gf(!)d(cid:23)1(!) per ogni
G .
25G R
Se g (cid:18)e una funzione misurabile tale che x : g(x) = 0 (cid:18)e un insieme di P misura nulla, f +g
G(cid:0) f 6 g (cid:0)
rimane ancora misurabile, integrabile e veri(cid:12)ca la (6).
G(cid:0)
5
Esempio 1.7 Sia la (cid:27) algebra generata da una partizione Bi i2I al piu(cid:18) numerabile
G (cid:0) f g
di (cid:10) e sia A un evento (cid:12)ssato di . Mostriamo che la formula (2), o equivalentemente
F
(3) e (4), danno e(cid:11)ettivamente la probabilit(cid:18)a di A condizionata a come richiesto dalla
G
De(cid:12)nizione 1.3.
Mostriamo dapprima la misurabilit(cid:18)a. Sia H un boreliano di IR. Dalla (2) segue
G(cid:0)
che
(cid:0)1
! f (H) se e solo se esiste i I t:c: P(A Bi) H
2 2 j 2
Dunque,
(cid:0)1
f (H) = i2JBi; dove J = i I : P(A Bi) H :
[ f 2 j 2 g
Ricordando che (cid:18)e fatta di tutte le possibili unioni degli elementi della partizione, la
G
propriet(cid:18)a (i) segue immediatamente.
Occorre ora veri(cid:12)care (ii). Calcoliamo dunque IE[f 1IG], dove G = i2IGBi . Dalla
[ 2 G
rappresentazione (3) possiamo scrivere f(!)1IG(!) = i2IGP(A Bi)1IBi(!), da cui
j
P
IE[f 1IG] = P(A Bi)P(Bi) = P(A Bi) = P(A i2IGBi) = P(A G)
i2IG j i2IG \ \[ \
X X
Sia Y = (Y1;:::;Yn) un vettore di v.a. reali e sia (cid:27)(Y) (o (cid:27)(Y1;:::;Yn)) la (cid:27) algebra
(cid:0)
generata da Y:
(cid:0)1 n
(cid:27)(Y) = (cid:27)(Y1;:::;Yn) = Y (H); H (IR )
f 2 B g
n n
dove (IR )denotala(cid:27) algebradiBorelsuIR . FissatoA ,siconsiderilaprobabilit(cid:18)a
B (cid:0) 2 F
P(A (cid:27)(Y))(!) di A condizionata alla (cid:27) algebra (cid:27)(Y). In tal caso, vengono usualmente
j (cid:0)
utilizzate le notazioni
P(A Y)(!) oppure P(A Y1;:::;Yn)(!)
j j
per sottolineare il fatto che la probabilit(cid:18)a condizionata dipende da ! solo tramite Y(!) =
(Y1(!);:::;Yn(!)). Infatti, dalla propriet(cid:18)a (i) della De(cid:12)nizione 1.3, la v.a. P(A (cid:27)(Y))(!)
6 7 j
(cid:18)e (cid:27)(Y) misurabile: esiste quindi una funzione boreliana (cid:9) tale che
P(A Y)(!) = (cid:9)(Y(!))
j
o in modo equivalente,
P(A Y1;:::;Yn)(!) = (cid:9)(Y1(!);:::;Yn(!)):
j
La funzione (cid:9) viene denotata
n
(cid:9)(y) = P(A Y = y); y IR
j 2
maattenzioneanonconfondereP(A Y = y)conlaprobabilit(cid:18)adiAcondizionataall’evento
j
Y = y (che, osserviamo, in molti casi di interesse (cid:18)e un evento di probabilit(cid:18)a nulla, per
f g
il quale quindi la probabilita(cid:18) condizionata non (cid:18)e ben de(cid:12)nita, si veda l’Esempio 1.9).
6
Se Z (cid:18)e una v.a. (cid:27)(Y) misurabile allora esiste una funzione (boreliana) tale che Z = (Y).
7 k (cid:0) m (cid:0)1
Una funzione :IR IR (cid:18)e boreliana se (cid:18)e misurabile rispetto alla (cid:27) algebra di Borel: (H)
k !m (cid:0) 2
(IR ) per ogni H (IR ). In questo caso, k =n e m=1.
B 2B
6
Esempio 1.8 Sia N un processo di Poisson e de(cid:12)niamo = (cid:27)(Nt), per t > 0 (cid:12)ssato.
G
Dall’Esempio 1.2 segue allora che, per s < t,
P(Ns = k )(!) = P(Ns = k Nt)(!) = (cid:9)(Nt(!)); k IN
jG j 2
dove (cid:9)(y) = P(Ns = k Nt = y) (cid:18)e data dalla formula (5), i.e.
j
y s k s y(cid:0)k
t 1 t se k 0;1;:::y
P(Ns = kjNt = y) = 8 (cid:18)k(cid:19)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:0) (cid:17) 2 f g
>< 0 altrimenti
>:
Esempio 1.9 Siano X e Y due v.a. reali assolutamente continue: esiste una funzione di
2
densit(cid:18)a di probabilita(cid:18) pX;Y(x;y) : IR [0;+ ) (misurabile) tale che
! 1
P((X;Y) H) = pX;Y(x;y)dxdy (7)
2 H
Z
Posto = (cid:27)(Y), cerchiamo la probabilit(cid:18)a dell’evento A = X (cid:0) condizionata a Y,
G f 2 g
cio(cid:18)e P(X (cid:0) Y)(!) = P(X (cid:0) )(!). De(cid:12)niamo
2 j 2 jG
pX;Y(x;y)
se pY(y) > 0
pXjY(x y) = 8 pY(y)
j >< 0 altrimenti
>:
dove pY(y) (cid:18)e la densit(cid:18)a marginale della v.a. Y: pY(y) = IRpX;Y(x;y)dx. La funzione
pXjY( y) : IR [0;+ ) prende il nome di densit(cid:18)a di XR condizionata a Y, perch(cid:19)e
(cid:1)j ! 1
(cid:12)ssato (cid:0) (IR) e posto
2 B
(cid:9)(y) = pXjY(x y)dx (8)
(cid:0) j
Z
si ha che
P(X (cid:0) Y)(!) = (cid:9)(Y(!)):
2 j
Veri(cid:12)chiamo la validit(cid:18)a delle a(cid:11)ermazioni contenute nella De(cid:12)nizione 1.3.
La Y misurabilit(cid:18)a (cid:18)e immediata. Infatti (cid:9)(y) : IR [0;+ ) (cid:18)e una funzione mis-
(cid:0) ! 1
urabile e quindi (cid:9)(Y(!)) (cid:18)e (cid:27)(Y) misurabile perch(cid:19)e funzione composta di funzioni
G (cid:17) (cid:0)
misurabili. Per quanto riguarda (ii), occorre mostrare che
P( X (cid:0) G) = (cid:9)(Y(!))dP(!) per ogni G (cid:27)(Y)
f 2 g\ G 2
Z
Poich(cid:19)e gli insiemi G (cid:27)(Y) si possono rappresentare nella forma G = ! : Y(!) (cid:3)
2 f 2 g (cid:17)
Y (cid:3) al variare di (cid:3) (IR), utilizzando la legge indotta su IR da Y la condizione su
f 2 g 2 B
scritta equivale a
P( X (cid:0) Y (cid:3) ) P((X;Y) (cid:0) (cid:3) ) = (cid:9)(y)pY(y)dy per ogni (cid:3) (IR)
f 2 g\f 2 g (cid:17) 2 (cid:2) g (cid:3) 2 B
Z
7
Infatti, dalla (7) (con H = (cid:0) (cid:3)), si ha
(cid:2)
pX;Y(x;y)
P((X;Y) (cid:0) (cid:3)) = pX;Y(x;y)dxdy = pY(y)dxdy =
2 (cid:2) (cid:0)(cid:2)(cid:3) (cid:0)(cid:2)(cid:3) pY(y)
Z Z
pX;Y(x;y)
= dx pY(y)dy = (cid:9)(y)pY(y)dy
(cid:3) (cid:0) pY(y) ! (cid:3)
Z Z Z
In tal caso dunque P(X (cid:0) Y = y) = (cid:0)pXjY(x y)dx (e si noti che P(Y = y) = 0, per
2 j j
ogni y!).
R
Riportiamooraalcune propriet(cid:18)aprincipalidellaprobabilit(cid:18)acondizionataa(cid:27) algebre,
(cid:0)
che raccoglieremo in un unico
Teorema 1.10 Per ogni A,
0 P(A ) 1 q:c: (9)
(cid:20) jG (cid:20)
Per ogni successione A1;A2;::: numerabile di insiemi disgiunti
P ( nAn ) = P(An ) q:c: (10)
[ jG n jG
X
Se A B,
(cid:26)
P(B A ) = P(B ) P(A ) q:c: (11)
(cid:0) jG jG (cid:0) jG
Vale la formula di inclusione{esclusione:
P ( nAn ) = P(An ) P(An Am )+::: q:c: (12)
[ jG n jG (cid:0)n<m \ jG
X X
Per ogni successione A1;A2;::: numerabile di insiemi tali che, per ogni n, An An+1
(cid:26)
lim P(An ) = P ( nAn ) q:c: (13)
n!1
jG [ jG
Per ogni successione A1;A2;::: numerabile di insiemi tali che, per ogni n, An+1 An
(cid:26)
lim P(An ) = P ( nAn ) q:c: (14)
n!1
jG \ jG
Se P(A) = 1 [P(A = 0)],
P(A ) = 1 [P(A ) = 0] q:c: (15)
jG jG
1.3 Distribuzione condizionata
Nel paragrafo precedente abbiamo de(cid:12)nito la probabilit(cid:18)a di un evento (cid:12)ssato A
2 F
condizionata ad una (cid:27) algebra . In questa sezione discuteremo l’esistenza di misure di
(cid:0) G
probabilit(cid:18)a condizionate a (cid:27) algebre, l’esistenza cio(cid:18)e di
(cid:0)
P(A )(!); per ! (cid:10) (cid:12)ssato; al variare di A
jG 2 2 F
8
Supponiamo ad esempio che sia la (cid:27) algebra generata da una partizione B1;B2;:::
G (cid:0) f g
di (cid:10) e facciamo l’ipotesi che B1 = , P(B1) = 0 e P(Bi) > 0, per ogni i 2. Fissato
6 ; (cid:21)
A , una versione di P(A ) (cid:18)e
2 F jG
5 se ! B1
P(A )(!) = 2
jG ( P(A Bi) se ! Bi;i 2
j 2 (cid:21)
E(cid:18) facile veri(cid:12)care che, come funzione di A , P(A )(!) (cid:18)e una misura di probabilit(cid:18)a
2 F jG
su solo se ! = B1. Non (cid:18)e per(cid:18)o questo un gran danno: P( )(!) (cid:18)e una misura di
F 2 (cid:1)jG
probabilit(cid:18)a su per ogni ! i(cid:21)2Bi, un insieme che pur non essendo (cid:10) ha almeno
F 2 [
probabilit(cid:18)a 1 (in altre parole, in questo esempio P( )(!) esiste a meno di un insieme di
(cid:1)jG
probabilit(cid:18)a nulla). Inoltre, non (cid:18)e diÆcile modi(cid:12)care la probabilit(cid:18)a su scritta per ottenere
una misura di probabilit(cid:18)a su per ogni !: baster(cid:18)a porre
F
P(A) se ! B1
P(A )(!) = 2
jG ( P(A Bi) se ! Bi;i 2
j 2 (cid:21)
In generale per(cid:18)o non (cid:18)e possibile fare un discorso di questo tipo. Infatti, abbiamo visto
che P(A )(!) (cid:18)e ben posta ((cid:18)e cio(cid:18)e l’unica funzione di ! che veri(cid:12)ca le condizioni della
jG
De(cid:12)nizione 1.3) a meno di insiemi di probabilit(cid:18)a nulla: (cid:12)ssato A , esiste un insieme
2 F
NA (in generale non vuoto) tale che P(A )(!) (cid:18)e ben posta per ogni ! = NA. Ora,
2 F jG 2
volendo far variare A F, otterremmo che P(A )(!) (cid:18)e ben posta per ogni ! = N
2 jG 2 (cid:17)
A2FNA, ovvero P(A )(!) (cid:18)e ben de(cid:12)nita per ! (cid:10) N. Il problema per(cid:18)o (cid:18)e che in
[ jG 2 (cid:0)
questo modo la probabilita(cid:18) condizionata potrebbe non essere piu(cid:18), come funzione di !, un
variabile aleatoria (cosa sulla quale non si transige!). Difatti, l’insieme N de(cid:12)nto sopra
potrebbe non appartenere piu(cid:18) alla (cid:27) algebra di riferimento : sappiamo infatti che (cid:18)e
(cid:0) F F
chiusa sotto unioni numerabilie la cardinalit(cid:18)adi potrebbe non esserlo, cos(cid:18)(cid:16) che N = .
F 8 2 F
Inoltre, qualora N niente assicura che P(N) = 0 , e dunque P(A )(!) potrebbe
2 F jG
non essere de(cid:12)nita su insiemi troppo grandi (di misura non nulla). Potrebbe anche essere
9
N = (cid:10), nel qual caso P(A )(!) non sarebbe de(cid:12)nita per nessun !!
jG
Il problema appena esposto diviene piu(cid:18) semplice, e con soluzione, quando si vuole
studiare la distribuzione di una v.a. X (che in questa trattazione supporremo a valori in
IR) condizionata ad una (cid:27) algebra , ovvero quando la misura di probabilit(cid:18)ache si cerca
(cid:0) G
(cid:18)e data da
(cid:22)(H;!) = P(X H )(!); per ! (cid:10) (cid:12)ssato; al variare di H (IR)
2 jG 2 2 B
La misura di probabilit(cid:18)a (cid:22)( ;!) su (IR; (IR) (cid:18)e detta distribuzione di X condizionata
(cid:1) B
a e il teorema che segue ne assicura l’esistenza:
G
8
L’unione numerabile di insiemi di probabilit(cid:18)a nulla ha probabilita(cid:18) nulla. Come gi(cid:18)a osservato, N =
A2FNA (cid:18)e unione di una quantit(cid:18)a di eventi che potrebbe essere non numerabile, dunque potrebbe avere
[
probabilit(cid:18)a positiva.
9
Esistono esempi in letteratura sull’impossibilita(cid:18) di costruire misure di probabilit(cid:18)a condizionate.
9
Teorema 1.11 Esiste una funzione (cid:22)(H;!), per ! (cid:10) e H (IR), tale che
2 2 B
(D1) per ogni ! (cid:10) (cid:12)ssato, (cid:22)(H;!) (cid:18)e, al variare di H (IR), una misura di
2 2 B
probabilita(cid:18);
(D2) per ogni H (IR) (cid:12)ssato, (cid:22)(H;!) (cid:18)e, al variare di ! (cid:10), una versione di
2 B 2
P(X H )(!).
2 jG
Esempio 1.12 Sia N un processo di Poisson e t > s > 0 due tempi (cid:12)ssati. Dall’Esempio
1.8 segue allora che la distribuzione di Ns condizionata alla (cid:27) algebra generata da Nt (cid:18)e
(cid:0) s
discreta e coincide con una distribuzione binomiale di parametri Nt(!) e t:
k Nt(!)(cid:0)k
Nt(!) s s
(cid:22)( k ;!) = P(Ns = k Nt)(!) = 1 ; k = 0;1;:::Nt(!)
f g j k t (cid:0) t
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Esempio 1.13 Sia = (cid:27)(Y) e supponiamo che le v.a. X e Y soddis(cid:12)no le ipotesi
G
dell’Esempio 1.9. In tal caso,
(cid:22)(H;!) = P(X H Y)(!) = pXjY(x y)dx = pXjY(x Y(!))dx
2 j H j y=Y(!) H j
Z (cid:12) Z
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:0)
(cid:27)
2 Media condizionata a algebre
2.1 De(cid:12)nizione e propriet(cid:18)a
In questo paragrafo, condidereremo per semplicit(cid:18)a v.a. a valori reali.
10
De(cid:12)nizione 2.1 Sia ((cid:10); ;P) uno spazio di probabilit(cid:18)a, X una v.a. integrabile e
F G
una sotto (cid:27) algebra di . Una versione IE[X ] della media di X condizionata a (cid:18)e una
(cid:0) F jG G
v.a. tale che:
(i) IE[X ] (cid:18)e misurabile e integrabile;
jG G(cid:0)
(ii) per ogni G ,
2 G
IE[X ](!)dP(!)= X(!)dP(!)
G jG G
Z Z
o, equivalentemente,
IE[IE[X ] 1IG] = IE[X 1IG]
jG
La de(cid:12)nizione di media condizionata (cid:18)e assai simile a quella di probabilit(cid:18)a condizionata.
Ancora una voltaoccorre provare l’esistenza diuna v.a. che veri(cid:12)chi lecondizionirichieste
nella de(cid:12)nizione precedente. Utilizzeremo nuovamente il teorema di Radon{Nicodym.
De(cid:12)niamo
Q(G) = X(!)dP(!); G
G 2 G
Z
10
Ovvero, E[X ]< .
j j 1
10