Introductory quantum optics: solutions manual

161 Pages·2005·0.85 MB·English

by  Gerry C.C., Knight P.L.

Adil Benmoussa
Solutions Manual
To
INTRODUCTORY QUANTUM OPTICS
By C. C. Gerry and P. L. Knight
May 15, 2005
2
Table of Contents
Table of Contents 3
1 Introduction 7
2 Field Quantization 9
2.1 problem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 problem 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 problem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 problem 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 problem 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 problem 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Problem 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Problem 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Problem 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Problem 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.11 Problem 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.12 Problem 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Problem 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Coherent States 25
3.1 Problem 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Problem 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Problem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Problem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Problem 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Problem 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Problem 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
4 CONTENTS
3.8 Problem 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Problem 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Problem 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Problem 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.12 Problem 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13 Problem 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.14 Problem 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Emission and Absorption of Radiation by Atoms 45
4.1 Problem 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Problem 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Problem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Problem 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Problem 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Problem 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Problem 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Problem 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9 Problem 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10 Problem 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11 Problem 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.12 Problem 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.13 Problem 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Quantum Coherence Functions 71
5.1 Problem 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Problem 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Problem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Problem 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Problem 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Interferometry 79
6.1 Problem 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Problem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Problem 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Problem 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Problem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
CONTENTS 5
6.6 Problem 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.7 Problem 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.8 Problem 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.9 Problem 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.10 Problem 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.11 Problem 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Nonclassical Light 91
7.1 Problem 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Problem 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Problem 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 Problem 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.5 Problem 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.6 Problem 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7 Problem 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.8 Problem 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.9 Problem 7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.10 Problem 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.11 Problem 7.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.12 Problem 7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.13 Problem 7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.14 Problem 7.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.15 Problem 7.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.16 Problem 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.17 Problem 7.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.18 Problem 7.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.19 Problem 7.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.20 Problem 7.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8 Dissipative Interactions 129
8.1 Problem 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Problem 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3 Problem 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.4 Problem 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5 Problem 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Problem 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 CONTENTS
8.7 Problem 8.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.8 Problem 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Optical Test of Quantum Mechanics 139
9.1 Problem 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2 Problem 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Problem 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.4 Problem 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10 Experiments in Cavity QED and with Trapped Ions 145
10.1 Problem 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2 Problem 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Problem 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.4 Problem 10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5 Problem 10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.6 Problem 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7 Problem 10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11 Applications of Entanglement 153
11.1 Problem 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2 Problem 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.3 Problem 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.4 Problem 11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.5 Problem 11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.6 Problem 11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.7 Problem 11.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.8 Problem 11.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.9 Problem 11.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.10Problem 11.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chapter 1
Introduction
7
8 CHAPTER 1. INTRODUCTION
Chapter 2
Field Quantization
2.1 problem 2.1
Eq. (2.5) has the form
(cid:115)
2ω2
E (z,t) = q(t)sin(kz), (2.1.1)
x
Vε
0
and Eq. (2.2)
∂E
∇×B = µ ε . (2.1.2)
0 0
∂t
Both equations lead to
(cid:115)
2ω2
−∂ B = µ ε q˙(t)sin(kz), (2.1.3)
z y 0 0
Vε
0
which itself leads to Eq. (2.6)
(cid:115)
µ ε 2ω2
0 0
B (z,t) = q˙(t)cos(kz). (2.1.4)
y
k Vε
0
2.2 problem 2.2
(cid:90) (cid:183) (cid:184)
1 1
H = dV ε E2(z,t)+ B2(z,t) . (2.2.1)
2 0 x µ y
0
9
10 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION
From the previous problem
(cid:115)
2ω2
E (z,t) = q(t)sin(kz), (2.2.2)
x
Vε
0
so
2ω2
ε E2(z,t) = q2(t)sin2(kz). (2.2.3)
0 x V
Also (cid:115)
µ ε 2ω2
0 0
B (z,t) = q˙(t)cos(kz), (2.2.4)
y
k Vε
0
and
1 2
B2(z,t) = p2(t)cos2(kz), (2.2.5)
µ y V
0
where we have used that c2 = (µ ε )−1, p(t) = q˙(t), and ck = ω. Eq. 2.2.1
0 0
becomes then
(cid:90)
1 (cid:163) (cid:164)
H = dV ω2q2(t)sin2(kz)+p2(t)cos2(kz) . (2.2.6)
V
Using these simple trigonometric identities cos2x = 1+cos2x and sin2x =
2
1−cos2x, we can simplify equation 2.2.6 further to:
2
(cid:90)
1 (cid:163) (cid:164)
H = dV ω2q2(t)(1+cos2kz)+p2(t)(1−cos2kz) . (2.2.7)
2V
(cid:82)
Becauseoftheperiodicboundariesbothcosinetermsdropout,also 1 dV =
V
1 and we end up by
1 (cid:161) (cid:162)
H = p2 +w2q2 . (2.2.8)
2
It is easy to see that this Hamiltonian has the form of a simple harmonic
oscillator.
2.3 problem 2.3
Let f be a function defined as:
f(λ) = eiλAˆBˆe−iλAˆ. (2.3.1)