Introduction to string theory

83 Pages·0.412 MB·English

by  Dolgachev I.

Lecture 1
Quantum Field Theories: An
introduction
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:5) (cid:7) (cid:3)
The string theory is a special case of a quantum field theory (QFT). Any QFT deals
with smooth maps of Riemannian manifolds, th(cid:8)e dimension of is
(cid:3)(cid:11)(cid:10)(cid:12)(cid:7)(cid:14)(cid:13)
the d(cid:9)imension of the theory. We also have an action function defined on the set
Map ofsmoothmaps.(cid:15) AQFTstudiesintegrals
$(cid:14)% (cid:13))(+*
(cid:9)’& &-,
(cid:16)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:21)(cid:23)(cid:22)(cid:25)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:29)(cid:28)(cid:31)(cid:30)! #"
(1.1)
(+*&-, Map .
% (cid:1) (cid:3)(cid:11)(cid:10)/(cid:7)(cid:14)(cid:13)0(cid:5)21
Here stands for some measure on the(cid:9) space of paths, is a parameter (usually
(cid:16)657(cid:22)98/:
verysmall, Planckconstant)and Map isaninsertionfunction. The
number(cid:24) (cid:26)43(cid:0);(cid:1)<(cid:3)=(cid:5)(cid:6)sho(cid:7)uldbeinterpretedastheprobabilityamplitudeofthecontribution
ofthemap totheintegra(cid:15)l. Theintegral
>0?A@ $ED
&
(cid:16)(cid:18)(cid:17)4(cid:19)(cid:21)(cid:23)(cid:22) (cid:24) (cid:26) (cid:28)B(cid:30)C
(1.2)
(cid:3)
Map
(cid:10)#HI(cid:10)KJKJ(cid:31)J4(cid:10)/H(cid:4)(cid:13)
is called the partition function(cid:9)GoF f the theory. In a relativistic QFT, the space has a
Lorentzianmetricofsignature .Thefirstcoordinateisreservedfortime,
therestareforspace. Inthiscas(cid:15)e,theintegral(1.1)isreplacedwith
> (cid:21) @ (cid:16)657(cid:22)98/: % (cid:13)G(;* J
(cid:9)M& &N,
(cid:16)(cid:18)(cid:17)4(cid:19)(cid:21)(cid:23)(cid:22) (cid:24)7L3
(1.3)
Map
(cid:3) (cid:1)(cid:25)(cid:3)P(cid:5)(cid:6)(cid:7)
O &
(cid:7) (cid:1)<(cid:7)T(cid:5)U1
LetQSusRstartwith(cid:8) a -dimensionaltheory.Inthiscase isapoint,so is
apoint and isascalarfunction. TheMinkowskipartitionfunction
ofthetheoryisanintegral (cid:15)
>V@ (cid:16)(cid:18)WB(cid:22)98/: D J
Q
(cid:21) (cid:24)7L3
(1.4)
Following the Harvard lectures of C. Vafa in 1999, let us consider the following
example:
1
2 LECTURE1. QUANTUMFIELDTHEORIES:ANINTRODUCTION
X
Example1.1. Recalltheinte(cid:15)=gr[alexpressionfort(cid:15)ehe[ -function:
(cid:13) @ D @dc D J
XY(cid:9)’Z
\^])_ ] \f]Gg/_ ]
(cid:26)4‘K(cid:24)(cid:27)(cid:26)ba (cid:26)4‘K(cid:24)(cid:27)(cid:26)baih
(1.5)
(cid:13)kj
(cid:9)MZ O
\
ThisintegralisconvergentZlfoRSrm(cid:4)Ren butcanbemeromorphicallyextendedtothe
wholeplanewithpolesat . Wehave o
HdoB(cid:13) @ (cid:13)p(cid:10) oB(cid:13) @ o(cid:27)(cid:10)q(cid:10) (cid:13) @ts u J
XY(cid:9)’Z ZBXY(cid:9)MZ XY(cid:9) Xr(cid:9) c
@ s v
] ]Gw
Bysubstituting in(1[.5),weobtaintheGaussintegral:
(cid:15) (cid:13) u
D @ XY(cid:9) @zy J
] v 8g‘ v
[ (cid:24) (cid:26)4x/aih g (1.6)
‘
(cid:26) v
v v (cid:13)0{
Although in thesubstitution above isa positivereal number,one cansh(cid:9) ow thOat
v (cid:13)Ej (cid:13)
formula(1.(cid:9)6)makeO sense,asaRiemannintegral,foranycomplex withReXY(cid:9)’Z .
v
When Re this is easy to see using the Hankel representation of as a
contourintegralinthecomplexplane. When isapureimaginary,itismoredelicate
v @|u
andwereferto[Kratzer-Franz],1.6.1.2.
Taking ,wecanuse
D~}(cid:20)(cid:127) @ D
]
(cid:24)~(cid:26)(cid:129)(cid:128)(cid:130)aih
1
todefineaprobabilitymeasureon . ItiscalledtheGaussianmeasure.Letuscompute
theintegral [ [
(cid:15) (cid:15)
> (cid:21) (cid:13) @ WB(cid:134) D(cid:27)}(cid:20)(cid:127) @ W WB(cid:134) D J
(cid:9)9(cid:131) Q
[ (cid:24)7L(cid:133)(cid:132) [ (cid:24) (cid:26)(cid:129)(cid:128) h)(cid:135) L6(cid:132)
@ o7(cid:136) (cid:26) (cid:26)
(cid:131) .
Here Wehave [
(cid:15) [
> (cid:13) @ u (cid:13) (cid:142) (cid:13) (cid:143) (cid:136)(cid:130)(cid:149)(cid:151)(cid:150)(cid:13) D J
(cid:9)9(cid:131) (cid:9))F Q (cid:9)i(cid:146)(cid:147)(cid:131)(cid:12)Qb(cid:148) Q
g (cid:143)(cid:145)(cid:144) \
[(cid:138)(cid:137)p(cid:139)(cid:141)(cid:140)
(cid:26)
Obviously, [
(cid:15)
W D @ J
Q Q O
g(cid:153)(cid:152)
[ (cid:26)(cid:20)‘ (cid:24) (cid:26)(cid:154)(cid:128) h
(cid:26)
Also [
(cid:15) o o(cid:158)(cid:157)B(cid:159)(cid:158)(cid:157)K(cid:157)(cid:31)(cid:157) c oB(cid:13)
W D @ H (cid:13)(cid:153)(cid:136) u @ (cid:9) (cid:155)(cid:138)F @
[ Q g(cid:12)(cid:152) (cid:24) (cid:26)(cid:129)(cid:128) h Q XY(cid:9)9(cid:155) c (cid:152) (cid:135)(cid:11)h(cid:156) (cid:9) c(cid:130)u (cid:13) (cid:152)
(cid:26)
3
c (cid:13)#(cid:150)
(cid:9) (cid:155) @V(cid:160) c (cid:13)(cid:153)(cid:136) c(cid:145)u (cid:13) (cid:10)
u c (cid:155) (cid:150) (cid:9) (cid:155) (cid:9) (cid:152)
(cid:152) g(cid:12)(cid:152)
where c (cid:13)#(cid:150) o c c c c
(cid:160) c (cid:13) @ (cid:9) (cid:155) @ (cid:155) (cid:157) (cid:155)£F (cid:157)(cid:31)(cid:157)K(cid:157)
(cid:9) (cid:155) c (cid:150) (cid:150)(cid:25)¡ c;¢ ¡ c ¢ ¡ c7¢
(cid:155) (cid:155)
(cid:152)
c
(cid:155)
isequaltothenumberofwaysto[ arrange objectsinpairs. Thisgivesus
> (cid:13) @ orH (cid:142) o7(cid:13) (cid:143) (cid:143) (cid:160) (cid:149)¥(cid:13)(cid:12)(cid:136) c (cid:149)¥(cid:13)#(cid:150) c(cid:145)u (cid:13) (cid:143) J
(cid:9)M(cid:131) (cid:9)GF (cid:131) (cid:9)M⁄ (cid:9) (cid:9) (cid:148)
g
(cid:143)(cid:145)(cid:144)
(1.7)
(cid:149) ‘
⁄
c (cid:149)
ObservX ethattoarrange objectsinpairsisthesameastomakealabelled3-valent
graph with verticesbyconnecting1-valentverticesofthefollowingdisconnected
graph:
b1 b2 b2n
c1 c2 c2n
a1 a2 a2n
Fig. 1
% (cid:13)
ThisgraphcomeswithlabelXingofeachvertexan(cid:9)9dX anorderingofthethree edges
(cid:13) (cid:159) % (cid:13) @¤c (cid:13) % (cid:13) @
emanĤat(cid:9)MiXngfromthevertex. Let besuchagraph, (cid:9)9X betheĤn(cid:9)MuX mberofitsve(cid:9)9Xrtices
c (cid:149)(cid:151)(cid:10) (cid:13) @ (cid:159)~(cid:149) (cid:149)
andĤ(cid:9)MX be the number of its edges. We have , so that
forsome . Let
(cid:13)(cid:12)« (cid:16)!‹(cid:27)(cid:22) o
' (cid:13) @ (cid:9))F(cid:158)(cid:146)“(cid:131) J
(cid:9)9X % (cid:9)MX (cid:13)#(cid:150) (cid:9) c(cid:130)u (cid:13) ? (cid:16)!‹(cid:27)(cid:22)
Then > (cid:13) @ orH (cid:142) ' (cid:13)p(cid:10)
(cid:9)M(cid:131) (cid:9)MX
‹
(cid:13)
›e(cid:9)9fi
wherethesumistakenoverthesetoflabeledtrivalentgraphs.Let bethenumber
' (cid:13) @ (cid:13) ' (cid:13) (cid:13)
of labelled trivalent graphs whichfl d(cid:9)Mefifine th›Ae(cid:9)Msfiame (cid:9)9uXnlabelled ›Agra(cid:9)9fiph when we forget
aboutthelabelling. Wecanwrite fi ,where isthenumberof
labellingofthesameunlabelled> 3-v(cid:13)al@eno(cid:176)tgH ra(cid:142)pp– h ' . Th(cid:13)#u(cid:10)s
(cid:9)9(cid:131) fl (cid:9)9fi
where the sum is taken with respect to the set of all unlabelled 3-valentgraphs. It is
easytoseethat c (cid:149)¥(cid:13)p(cid:150) (cid:159)-(cid:150)†(cid:13) (cid:143)
›A(cid:9)9fi (cid:13) @ (cid:9) ‡ (cid:9) g(cid:13) (cid:10)
(cid:9)Mfi
Aut
4 LECTURE1. QUANTUMFIELDTHEORIES:ANINTRODUCTION
–
–
sothat (cid:13) (cid:143) c (cid:149)¥(cid:13)#(cid:150) (cid:159)-(cid:150)†(cid:13) (cid:143) (cid:13) « (cid:16) (cid:22)
' fl (cid:9)Mfi (cid:13) @ (cid:9)(cid:9)GcF(cid:158)(cid:149)¥(cid:146)(cid:147)(cid:13)#(cid:131)(cid:150)c(cid:130)gu (cid:13)(cid:9)(cid:148) (cid:143) ‡ (cid:9) (cid:9)9gfi (cid:13) @ (cid:9) c(cid:130)u (cid:9))(cid:13) F(cid:29)? (cid:16)⁄(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:22)(cid:131)‡ (cid:9)Mfi (cid:13) J
Auc t(cid:149) Aut
(cid:13) o7(cid:136) c(cid:145)u
G(cid:9)GF(cid:29)iv⁄~e(cid:146)nanunlabelled3-valentgraphwith vertices,weassigntoeachvertexafactor
, to each edge a factor , then multiply all the factors and divide by the
(cid:143)
number of symmetries of the graph. This g(cid:131)ives the Feynman rules to compute the
g
contributionofthisgraphtothecoefficientat . Forexample,thegraph
(cid:13) @
(cid:9))F(cid:29)⁄(cid:145)(cid:146) F·(cid:181) (cid:148)
g (cid:16) (cid:22) (cid:134) (cid:134)
contributes g ‘ ‘g andthegraph
(cid:128) ‘ (cid:128)
(cid:13) @ J
(cid:9))F(cid:29)⁄(cid:145)(cid:146) (cid:181) F•¶ (cid:131) F
contributes g (cid:16)g (cid:128)‘ (cid:22) (cid:134) ‘ (cid:131) g ‘G‚(cid:12)> (cid:128) (cid:9)9(cid:134) (cid:131) (cid:13) The total coefficient at g is ‘G‚(cid:12)‘)(cid:128)„ (cid:134) . This
coincideswiththecoefficientat in givenbytheformula(1.7).
RecallthatthePrincipleofStationaryPhasesaysthatthemaincontributionstothe
integral (cid:15)~”
(cid:16)(cid:18)WB(cid:22) (cid:13) D
&‰(cid:9)iQ Q
(cid:24)7L6»B…
(cid:190)
(cid:13)
when goestoinfinitycomes¿(cid:192)fr(cid:9)ioQ mintegratingovertheunionofsmallcomapctneigh-
borhoodsofcriticalpoints(cid:13) of . Morepreciselyw% ehavethe(cid:13) followinglemma:
&‰(cid:9)9Q ¿(cid:192)(cid:9)iQ
% (cid:149)
Lemma1.1. Assume hasa compact support and has nocritical points
on . Then,foranynaturalnumber [ ,
(cid:15)
`(cid:18)´6ˆ (cid:143) (cid:16)(cid:18)WB(cid:22) (cid:13) D @ J
(cid:190) &¯(cid:9)9Q Q O
[
[ (cid:24) L6»B…
»7˜
(cid:149) (cid:26) (cid:149) @
O
Proof. Weuseinductionon . Theassertionisobviousfor .Integratingbyparts,
weget [ [
(cid:15) (cid:13) (cid:13) [ (cid:15)
(cid:146) (cid:16)(cid:18)WB(cid:22)7˘ &¯(cid:9)9Q D @ (cid:146) ˘ &‰(cid:9)iQ (cid:16)(cid:18)WB(cid:22)(cid:31)¨ H (cid:16)(cid:18)WB(cid:22) (cid:13) D @
(cid:190) [ (cid:24) L6»B… ¿(cid:192)(cid:9)9Q (cid:13) w#˙ w Q (cid:190) ¿(cid:192)(cid:9)9Q (cid:13) w/˙ (cid:24) L(cid:18)»7… ¨¨ [ [ (cid:24) L6»B… &¯(cid:9)9Q Q
(cid:26)
(cid:26) (cid:26)
[
(cid:15)
(cid:16)6W(cid:31)(cid:22) (cid:13) D J
&‰(cid:9)iQ Q
[ (cid:24)BL6»7…
(cid:143) (cid:26)
(cid:190)
Multiplyingbothsides[ by (cid:135)¯‘ ,weget [
(cid:15) (cid:15) (cid:13)
`(cid:18)´6ˆ (cid:143) (cid:16)(cid:18)WB(cid:22) (cid:13) D @ `6´(cid:18)ˆ (cid:143) (cid:16)(cid:18)W(cid:31)(cid:22)7˘ &‰(cid:9)iQ D J
[ (cid:190) &¯(cid:9)9Q Q (cid:146) [ (cid:190) (cid:13) w Q
(cid:135)‰‘ [ (cid:24) L6»B… [ (cid:24) L(cid:18)»7… (cid:8)(cid:158)(cid:9)iQ w#˙
»7˜ »B˜
(cid:26) ˘ 5(cid:27)(cid:16)(cid:18)WB(cid:22) (cid:26)
(cid:16)6W(cid:31)(cid:22)i(cid:201) w
Applyingtheinductiontothefunction ˙ wegettheassertion.
…
5
(cid:13) (cid:10)KJ(cid:31)JKJ4(cid:10)
¿(cid:192)(cid:9)iQ Q Q(cid:129)˚
(cid:13) (cid:13)
¿(cid:192)(cid:9)9Q Thus if has finitely¿ m(cid:9)9Qany critical points ‘ , we write our¸functioQ n
(cid:13) (cid:13)
as a sum(cid:204)˝of(cid:9)iQfunctions L with support on a compact neig&‰h(cid:9)ibQ orhood L of L
(cid:149)˛j
andafunOction whichhasnocriticalpointsonthesupportof andobtain,for
—
any , [
(cid:15) (cid:15)<ˇ(cid:176)—
(cid:16)6W(cid:31)(cid:22)98/: (cid:13) D @ (cid:142) (cid:16)(cid:18)WB(cid:22)98/: (cid:13) D He(cid:209) (cid:143) (cid:13)pJ
&‰(cid:9)9Q Q &‰(cid:9)iQ Q (cid:9)M.
[ (cid:24)7L(cid:133)… (cid:24)7L6…
(cid:26) L
( @ D HVo D
o HVo
NowletusconsideraQFTindimension1. Usuallywewrite O ,where
(cid:3) 1 @ * (cid:10)Ko @ 1(cid:151)(cid:136)
isthespace-dimension,and isthetime-dimension. AQFTin(cid:210) dimeO nsi,on (cid:8) isthme
quantummechanics. Inthi(cid:0)(cid:211)sc(cid:1)<a(cid:3)(cid:212)se,(cid:5)(cid:213)we(cid:7) take tobe(cid:7) equalto , or ‘
]
parametrizedby . Amap ispathin (infinite,orfinite,oraloop). The
actionisdefinedby (cid:15)
(cid:0) (cid:13))(cid:13) @ (cid:0) (cid:13)#(cid:10)(cid:154)(cid:0)(cid:216) (cid:13))(cid:13) D (cid:10)
(cid:8)(cid:158)(cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9)
] ] ] ]
(cid:17)(cid:215)(cid:214)
(cid:1)(cid:129)(cid:217)(cid:11)(cid:7)f(cid:5)(cid:218)1 (cid:7)
where (cid:214) isa sm(cid:9)o(cid:0) o(cid:9)th(cid:13)p(cid:10)(cid:154)f(cid:0)u(cid:216) n(cid:9) c(cid:13))t(cid:13)iDon defined onthe(cid:3)tangent spaceof (a La-
D (cid:0);(cid:1)(cid:145)(cid:217)(cid:219)(cid:3)=(cid:5)¤(cid:214) (cid:217)(cid:11)(cid:7)] ] ]
grangian). Theexpression isadensityon equaltothecomposition
ofthedifferential (cid:7) @ 1 (cid:143) and(cid:214)(cid:217)(cid:11).(cid:7) @ 1 (cid:143)(cid:221)(cid:220) 1 (cid:143) (cid:9)9(cid:222) (cid:10) (cid:222)(cid:216) (cid:13)
(cid:10) (cid:216) (cid:13) (cid:1)(cid:154)*v (cid:10)(cid:12)(cid:224) (cid:5)Æ1 (cid:143) (cid:13)p(cid:10) (cid:216) (cid:13))(cid:13)
Fo(cid:9)9r(cid:222) ex(cid:222)ample,take (cid:223) , sothat (cid:9)9(cid:223)(cid:176)(cid:9) (cid:223)Y(cid:9) withcoordinates (cid:222) . For
a(cid:223)(cid:176)n(cid:9)y(cid:13) (cid:214) (cid:222)(cid:216) and(cid:223)Ya(cid:216) (cid:9)m(cid:13)ap ,(cid:214) ] ] isobtainedbyreplacing with
] ] (cid:13))(cid:13)
and with . (cid:8)(cid:158)(cid:9)i(cid:223)(cid:176)(cid:9)
]
Acriticalpointofthe(cid:226) functional D sa(cid:226) tisfiestheEuler-Lagrangeequation
(cid:13)p(cid:10) (cid:216) (cid:13))(cid:13) @ (cid:13)#(cid:10) (cid:216) (cid:13))(cid:13)#J
(cid:226)(cid:129)ª(cid:214) (cid:9)i(cid:223)(cid:176)(cid:9) ] (cid:223)Y(cid:9) ] D (cid:226) ª(cid:214)(cid:216) (cid:9)9(cid:223)(cid:176)(cid:9) ] (cid:223)r(cid:9) ]
] (1.8)
L L
Forexample,letustaketheLagr(cid:143)angian
(cid:142) ª(cid:216) F % (cid:9) ª (cid:10)KJ(cid:31)JKJ(cid:20)(cid:10) ª (cid:143) (cid:13)
g
(cid:144)
L ‘ (1.9)
L ‘
Thenwegetfrom(1.8) D (cid:13)
(cid:155) gDQ¯(cid:9) ] @ F0(cid:228) % (cid:9)9Q¯(cid:9) ] (cid:13)(cid:153)(cid:13)#J
] g
Thus a critical path satisfies the Newton Law; it gives the major contribution to the
(cid:10) (cid:7) (cid:10) (cid:3) (cid:10) (cid:10) (cid:13)
partitionQ fuQnctRion. R (cid:229)(cid:230)(cid:9) Q¥(cid:231) Q
(cid:0)+(cid:1)(cid:25)(cid:3)P(cid:5)(cid:6)(cid:7) w (cid:0) ](cid:13) @]Gw (cid:10)G(cid:0) (cid:13) @ ] ]Gw w
Fix and(cid:9) Q (cid:9) . LetQ be the space of smooth maps
] ]Gw w
suchthat (cid:15)(cid:25)Ł . Theintegral
(cid:10) (cid:10) (cid:13) @ (cid:16)!Œ(cid:25)(cid:16) (cid:22)i(cid:22)M8(cid:12): (;*(cid:0) (cid:13)
¸e(cid:9) Q¥(cid:231) Q (cid:9) ,
] ] w w ]
(cid:16) (cid:19)W(cid:130)Ø (cid:201)(cid:133)(cid:19)WB(cid:201)!(cid:22) (cid:24) L3 a (1.10)
a a
Q
canbeinterpretedasthe“probabilityamQplitude”thataparticleintheposition atthe
] w ]Gw
momentoftime movestotheposition atthetime .
6 LECTURE1. QUANTUMFIELDTHEORIES:ANINTRODUCTION
(cid:7) @ 1
%
LetuscomputeitfortheactiondefinedbytheLagrangian(1.9)with . We
(cid:10) (cid:10) (cid:13)
shallassumeth(cid:229)(cid:230)at(cid:9) theQ¯(cid:231)poteQ ntialfunction isequaltozero.
] ] w w
The space is ofcourseinfinite-dimensional and the integrationover
(cid:10) (cid:10) (cid:13)
such a space has to be defi(cid:229)(cid:230)ne(cid:9) d.Q¯L(cid:231) etQus first restrict ourselves to› some special finite-
* (cid:10) ] ]Gw w @ (cid:13)(cid:153)(cid:136)
dimensional subsp,aces o›f . Fix a po(cid:131) sitive(cid:9) inFteger› and subdivide the
] ]Gw @ (cid:10) (cid:10)KJ(cid:31)JKJ(cid:20)(cid:10) (cid:10) @ ]Gw ] @
time interval into equal parts of length by insertingQinter-
mQ (cid:10)eQdgia(cid:10)KtJKeJ(cid:31)J4p(cid:10)oQinº ts(cid:10) Q] º‘ (cid:135)¯‘ @] ]Qg w in*] 1(cid:10)]G(cid:143)]º an]G,ºd(cid:135)¯co‘ nside]Grw.thLeeptauths (cid:0)(cid:236)cho(cid:1)(cid:219)o*s] e(cid:10) ]Gws,om(cid:5)qe 1po(cid:143) instusch‘that
itsrestrictiontoeachinterv(cid:0)al (cid:13)L @ L(cid:135)‰‘ H isQthelinFEeaQ rfunctio(cid:13)#nJ
(cid:9) Q (cid:9) F
] L(cid:135)¯‘ F L ] ]
] ]
L L L
L(cid:135)‰‘ L 1 (cid:143) (cid:13)
(cid:9) º
Itisclearth(cid:204) at(cid:1)th(cid:229)(cid:230)e(cid:9)se(cid:10) tQ¥o(cid:231) fs(cid:10)uQ ch(cid:13)lp(cid:5)(cid:237)ath1sisbijectivewith (cid:26)(cid:20)‘ andso(cid:238) wecanintegrate
] ]Gw w º
a function ov(cid:238)erthis spa› ceto get a number . Now we can
º
define(1.10)asthelimitofintegrals when g(cid:238) oestoinfinity. Howe(cid:239)veºr,thislimit
jæo º
may not e(cid:239) xist. O(cid:240)n(cid:239)˝e(cid:240) of the reasons could be that contains a facto(cid:238)r for some
º 1 (cid:143) (cid:13)
const(cid:239)antº (cid:238) with . Then we can get the limit by redefining , rep(cid:9) lacinº g it
with (cid:26) º . ThisreaD l(cid:143)lyQ mea1ns(cid:143) that(cid:239)werDe(cid:143)deQ finethestandardmeasure on (cid:26)4‘
replacing the measure on by (cid:26)4‘ . This is exactly what we a(cid:9) 1re(cid:143) g(cid:13) ºoing to
do. Also,whenwerestrictthefunctionaltothefinite-dimensionalsp(cid:242)ace(cid:201) (cid:9)(cid:0)(cid:192)(cid:10)N(cid:0)(cid:129)(cid:216) (cid:13) (cid:26)(cid:20)D ‘ of
a (cid:214) ]
piecewiselinearpaths,weshallallowourselvestoreplacetheintegral by
a
itsRiemannsum. Theresultofthisapproximationisbydefinitiontheright-handside
in(1.10). Weshouldimmediatelywarnthereaderthatthedescribedmethodofgiving
avaluetothepathintegralisnottheonlypossible.
Wehave [ [
(cid:15) (cid:15)
(cid:10) (cid:10) (cid:13) @ `(cid:18)´6ˆ JKJKJ * (cid:146)“(cid:155) (cid:142) º (cid:13) D JKJKJ D J
¸=(cid:9) Q¥(cid:231) Q c (cid:9)iQ F˛Q ,(cid:243)(cid:239) º Q Q
] ] w w º [ [ [ (cid:137)p(cid:139)(cid:141)(cid:140) (cid:131) (cid:144) L L(cid:135)¯‘ g (cid:26) g º
˜
(cid:26) (cid:26) L ‘
(cid:10)KJKJ(cid:31)J4(cid:10) 1 (cid:143) D 1 (cid:143) (1.11)
Q Q Q
º
H(cid:239) ere g arevectorsin and L isthestandardmeasurein . Thenumber
shoul[dbechosentoguaranteeconverge[ncein(1.11). Using(1.6)wehave
(cid:15) (cid:15)
(cid:16)6W W (cid:22) (cid:16)(cid:18)W W (cid:22) D @ ˘ W (cid:134) (cid:16)(cid:18)W W (cid:22) D @
(cid:134) Q (cid:134) Q
[ (cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:129)x (cid:156) (cid:26) h h#(cid:26)4x h (cid:26) h g [ (cid:24) (cid:26) g x h (cid:26)k(cid:244) (cid:156)Gıh (cid:244) ˙ h (cid:26)k(cid:246)h (cid:156) (cid:26) h g
(cid:26) (cid:26)
[
(cid:15) u
@ (cid:16)(cid:18)W W (cid:22) W D @ y (cid:16)(cid:18)W W (cid:22) J
(cid:134) Q c v (cid:134)
g
(cid:24) (cid:26) (cid:246)h (cid:156) (cid:26) h [ (cid:24) (cid:26) x h (cid:24) (cid:26) (cid:246)h (cid:156) (cid:26) h
(cid:26)
Next [
(cid:15) v
* (cid:13) v (cid:13) D @
F c (cid:9)9Q F˛Q F (cid:9)iQ F˛QN(cid:247) , Q
(cid:148) g (cid:148) g (cid:148)
[£(cid:137)p(cid:139)(cid:141)(cid:140) ‘
(cid:26)
7
[
(cid:15) (cid:159) v H v c(cid:130)u
@ * ˘ Q Qb(cid:247) (cid:13) D @ y (cid:16)(cid:18)W W(cid:31)ø(cid:153)(cid:22) J
[ł(cid:137)K(cid:139)(cid:141)(cid:140) F c Q (cid:148) F ‘ (cid:159) ˙ g F (cid:159) (cid:9)iQ ‘ FEQb(cid:247) g , Q (cid:148) (cid:159) v (cid:24) (cid:26) (cid:246)(cid:134) (cid:156) (cid:26) h
(cid:26)
Thus [
(cid:15)
* v (cid:13) v (cid:13) v (cid:13) D @
F (cid:9)iQ F˛Q F (cid:9)9Q FEQ F (cid:9)iQ F˛Q (cid:247) , Q
g (cid:148) g (cid:148) g
[œ(cid:137)K(cid:139)<(cid:140) ‘ g g g
(cid:26)
u c(cid:130)u v u v
y y * (cid:13) @ y * (cid:13) J
c v (cid:159) v F (cid:159) (cid:9)iQ FEQb(cid:247) g , (cid:159) v g F (cid:159) (cid:9)iQ FEQb(cid:247) g ,
(cid:137)K(cid:139)<(cid:140) ‘ g (cid:137)p(cid:139)(cid:141)(cid:140) ‘
Con[tinuinginthisway,wefind
(cid:15) u v
* v (cid:142) º (cid:13) D J(cid:31)JKJ D @ y º * (cid:13) (cid:10)
F (cid:9)iQ F˛Q , Q Q v F (cid:9)9Q F˛Q ,
[(cid:138)(cid:137)K(cid:139)(cid:141)(cid:140) (cid:144) L L(cid:135)¯‘ g g º › º (cid:26)4(cid:26)4‘ ‘ (cid:137)K(cid:139)<(cid:140) › ‘ º (cid:135)¯‘ g
(cid:26) L ‘
v @ (cid:136) c J @¤ß (cid:10)
(cid:155) (cid:146)(cid:147)(cid:131) (cid:239) (cid:239)
(cid:152) (cid:156)
where Ifwechoosethe—constant equalto g — h thenwewill
(cid:128) L6(cid:132)(cid:31)(cid:252)
beabletorewrite(1.11)intheform
¸=(cid:9) ] (cid:10) Q¯(cid:231) ] w (cid:10) Q w(cid:13) @(cid:253)ß c(cid:130)u (cid:155)(cid:146)(cid:147)›+(cid:131) (cid:252) h(cid:156) (cid:24)(cid:129)(cid:254) (cid:30)h(cid:1)(cid:244)(cid:0)(cid:201)i(cid:255)(cid:2) (cid:244) "h @œß c(cid:130)u (cid:146)#(cid:9)(cid:155)] w F ] (cid:13) (cid:252) h(cid:156) (cid:24) (cid:254) h (cid:30)(cid:30)(cid:244)(cid:3)(cid:201)(cid:201)9(cid:255)(cid:255) (cid:3)(cid:244)""h J (1.12)
(cid:10) (cid:10) (cid:13)
¸e(cid:9) Q¥(cid:231) Q
1(cid:151)(cid:13) ] ]Gw w (cid:7) D(cid:27)}
We sh(cid:9)all use to define a certain Hermitian operator in the Hilbert
space (cid:214) g (cid:9) (cid:7) (cid:10).D(cid:27)}R(cid:13)ecall that for any manifold with some Lebesgue measure the
g
(cid:214)
space consistsofsquareintegrablecomplexvaluedfunctionsmodulofunc-
tions equal to zero on the complement of a measure zero set. The hermitian inner
productisdefinedby (cid:15)
(cid:4) (cid:10)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7) @ (cid:5) D~} J
¿ ¿fl
(cid:21)
(cid:7) (cid:10) D~} (cid:13)
(cid:9)
g
(cid:214)
Example1.2. Anexampleofanopera(cid:15)torin isaHilbert-Schmidtoperator:
(cid:217) (cid:13) @ (cid:10)(cid:10)(cid:9)-(cid:13) (cid:9)-(cid:13) D(cid:27)} (cid:10)
¿(cid:192)(cid:9)iQ ¸e(cid:9)9Q ¿(cid:192)(cid:9)
(cid:21)
(cid:10)(cid:11)(cid:9)-(cid:13) (cid:7) (cid:220) (cid:7) (cid:10) } (cid:220) } (cid:13) (cid:217)
¸=(cid:9)iQ R (cid:9)
where Q (cid:214) g isthekernelof Q . Inthisformul(cid:9)daw(cid:5) ei¸=nte(cid:9)igQ r(cid:10)(cid:11)a(cid:9)-te(cid:13)
} (cid:217) (cid:13)
keeping fixed. By Fubini’s theore(cid:9)Mm¿ , for almost all , the function
is -integrable. This implies that is well-defined. Using the Cauchy-Schwarz
inequality,onecaneasily(cid:15)checksthat (cid:15) (cid:15)
(cid:217) @ (cid:217) D~}(cid:13)(cid:12) (cid:10)(cid:11)(cid:9)(cid:141)(cid:13) D~}(cid:20)D(cid:27)} (cid:10)
(cid:240)6(cid:240) ¿(cid:151)(cid:240)(cid:18)(cid:240) (cid:240) ¿(cid:151)(cid:240) (cid:240)6(cid:240)¿(cid:151)(cid:240)(cid:18)(cid:240) (cid:240)¸e(cid:9)9Q (cid:240)
g g g g
(cid:21) (cid:21) (cid:21)
8 LECTURE1. QUANTUMFIELDTHEORIES:ANINTRODUCTION
(cid:217)
i.e., isbounded,and (cid:217) (cid:15) (cid:15)
(cid:240)6(cid:240)(cid:217) (cid:240)(cid:18)(cid:240) @(cid:15)(cid:14)(cid:11)(cid:16) (cid:240)6(cid:240) ¿(cid:151)(cid:240)(cid:18)(cid:240)g (cid:12) (cid:240)¸=(cid:9)iQ (cid:10)(cid:11)(cid:9)-(cid:13) (cid:240) D(cid:27)}(cid:20)D~} J
g (cid:144)(cid:17) (cid:140)\ (cid:240)6(cid:240)¿(cid:151)(cid:240)6(cid:240)g (cid:21) (cid:21) g
…
Wehave (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15)
(cid:5)(cid:129)(cid:10))(cid:217) (cid:13) @ ß (cid:9)-(cid:13) (cid:10)(cid:10)(cid:9)-(cid:13) D(cid:27)} (cid:5) (cid:13) D(cid:27)} @ (cid:10)(cid:11)(cid:9)-(cid:13) (cid:9)-(cid:13) (cid:5) (cid:13) D(cid:27)}(cid:20)D(cid:27)} J
(cid:9) ¿ ¿(cid:192)(cid:9) ¸e(cid:9)iQ (cid:9)iQ ¸=(cid:9)iQ ¿(cid:192)(cid:9) (cid:9)9Q
(cid:21) (cid:21) (cid:21) (cid:21)
(cid:252)
ThisshowsthattheHilbert-Schmidtoperatorisself-adjointifandonlyif
(cid:10)(cid:10)(cid:9)-(cid:13) @ (cid:9)(cid:129)(cid:10) (cid:13)
¸=(cid:9)iQ ¸=(cid:9) Q
(cid:7) (cid:220) (cid:7)
outsideasubsetofmeasurezeroin .
Inquantummechanicsoneoftendealswithunboundedoperato(cid:18)rswhicharedefined
( (cid:5) (
only on a dense subspace of a complete separable Hilbert spac(cid:18)e . So let us extend
thenotionofa line(cid:18)aroperatorbyadmittinglinearmaps where isa dense
(cid:217) ( (cid:217)(cid:11)(cid:13)
linearsubspaceof (notetheanalogywithrationalmapsinalgebraicg(cid:9) eometry). For
(cid:217) (cid:217)(cid:20)(cid:19)
suchoperators wecandefinetheadjointoperatorasfollows. Let denotethe
domainofdefinitionof .Theadjointoperator (cid:4) (cid:217) will(cid:13)#(cid:10)(cid:11)b(cid:9)(cid:29)e(cid:7) definedontheset
( (cid:217) (cid:19) (cid:13) @(cid:22)(cid:21) (cid:9) (cid:1) (cid:14)(cid:11)(cid:16) (cid:240) (cid:9)iQ (cid:240) ! J
(cid:9) R(cid:23)(cid:18)
\ (cid:144)(cid:17) W(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)k(cid:16)(cid:28)(cid:27)(cid:154)(cid:22) (cid:240)6(cid:240)Q(cid:192)(cid:240)(cid:18)(cid:240) (cid:30) (cid:31)
(cid:140)
(cid:9) ( (cid:217)(cid:20)(cid:19)(cid:31)(cid:13) ( (cid:217)(cid:11)(cid:13) (cid:5) (cid:4) (cid:217) (cid:13)#(cid:10)(cid:10)(cid:9)(cid:8)(cid:7)
R (cid:9) (cid:9) (cid:18) Q (cid:9)iQ
Take . Since is dense in th(cid:18) e linear functional
" (cid:4) (cid:217) (cid:13)#(cid:10)(cid:10)(cid:9)(cid:8)(cid:7) @ (cid:4) (cid:10)$"%(cid:7) " (cid:217)(cid:20)(cid:19) (cid:9)
extR#en(cid:18)dstoauniqueb(cid:9)ioQ undedlineQarfunctionalon . Thusthereexistsauniquevector
( (cid:217)&(cid:19)p(cid:13) (cid:217) ( (cid:217)(cid:219)(cid:13) @ ( (cid:217)&(cid:19)K(cid:13)
(cid:9) such that (cid:18) . We take for the value of a(cid:9)t . Note(cid:9) that
(cid:217) @ (cid:217)(cid:20)(cid:19) (cid:217)
isnotnecessarydensein . We saythat isself-adjoint if
( (cid:217)(cid:11)(cid:13) (cid:217) ( (cid:217)(cid:219)(cid:13)
and . Wesh(cid:9) allalwaysassumethat cannotbeextended(cid:9) toalinearoperatoron
alargersetthan . No(cid:18)ticethat cannotbeboundedon sinceotherwisewe
(cid:217)œ(cid:1) (cid:5) (cid:217)
cane(cid:18) xtend(cid:18)ittothewhole bycontinuity. Ontheotherhand,aself-adjointoperator
( (cid:217)(cid:219)(cid:13)(@’
(cid:9) (cid:18) is always bounded. For this reason self-adjoint linear operators with
arecalledunboundedlinearope@ rators1. (cid:10) D (cid:13)
(cid:18) (cid:9) Q
g
(cid:214)
Example1.3. Letusconsiderthespace anddefinetheoperator
D
(cid:217) @ @ ¿ J
¿ (cid:146)G¿ w (cid:146) D Q
Obviouslyitisdefinedonthespaceofdifferentiablefunctionswithsquareintegrable
1 (cid:10) D (cid:13) (cid:217)t(cid:1)~((cid:138)(cid:5)
derivative.Thisspacecontainsthe(cid:9) subsQpaceofsmoothfunctionswithcompactsup(cid:18)port
whichisknownt¿;obR e(de(cid:9)n(cid:217)(cid:11)s(cid:13)ein(cid:214) g ¿ R . L(cid:9) 1ket(cid:10)uD sQ s(cid:13) howthattheoperator is
w g
(cid:214)
self-adjoint. Let . Since ,
(cid:15) (cid:15)
(cid:13) (cid:13) D @ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) D
\ a ¿ w (cid:9)9Q ¿(cid:192)(cid:9)iQ Q (cid:240)¿(cid:192)(cid:9) ] (cid:240)g F|(cid:240)¿(cid:192)(cid:9)9O (cid:240)g F \ a ¿(cid:192)(cid:9)9Q ¿ w (cid:9)9Q Q
9
) `6´(cid:18)ˆ * [ ¿(cid:192)(cid:9) (cid:13) (cid:240)¿(cid:192)(cid:9)iQ (cid:13) (cid:240)
] (cid:10)/H ] (cid:13) (cid:31) ] g
isdefinedforall .(cid:9)GLF etting goto ,weseethat a ˜ exists.Since
(cid:10)(cid:10)(cid:5) ( (cid:31) (cid:31)
i¿sintRegrableover ,thisimpliesthatthislimitisequaltozero. Now,forany
,wehave(cid:15) [ (cid:15)
(cid:217) (cid:10)(cid:10)(cid:5)(cid:141)(cid:13) @ `(cid:18)´6ˆ (cid:13) (cid:5) (cid:13) D @ `6´(cid:18)ˆ ß (cid:13) (cid:5) (cid:13) ¨ (cid:13) (cid:5) (cid:13) D @
(cid:9) ¿ [ \ a (cid:146)G¿ w (cid:9)9Q (cid:9)9Q Q [ (cid:146)G¿(cid:192)(cid:9) ] (cid:9)9Q ¨¨(cid:135) [ F \ a (cid:146)G¿(cid:192)(cid:9)iQ w (cid:9)9Q Q
a ˜ a ˜ (cid:26) (cid:252)
(cid:15)
@ `(cid:18)´6ˆ (cid:13) (cid:5) (cid:13) D @ (cid:10)(cid:153)(cid:217)+(cid:5)(cid:141)(cid:13)pJ
[ \ a ¿(cid:192)(cid:9)iQ (cid:146) w (cid:9)iQ Q (cid:9)M¿
(-,t( (cid:217)(cid:20)(cid:19)Ka ˜(cid:13) (cid:217)(cid:20)(cid:19) (cid:217) ( ( @ ( (cid:217)(cid:20)(cid:19)(cid:31)(cid:13)
(cid:9) (cid:9)
Thisshowsthat and isequalto on . Theproofthat
ismore.sub(cid:10)t.leandweomitit. (cid:9) (cid:7) (cid:10) D(cid:27)} (cid:13) (cid:217) (cid:19) (cid:201)
Let . ‘ (cid:5) g b. etwocopiesofthespac¸=e(cid:9)(cid:214)] (cid:10)g Q¥(cid:231) ]GwQ w(cid:13) . Let a a ]b(cid:10)e]GwtheHilbert-Schmidt
operator ‘ g definedbyakern(cid:15) el whichhas asrealparameters:
(cid:217) (cid:13) (cid:13) @ (cid:10) (cid:10) (cid:13) (cid:13) D~} J
(cid:19) (cid:201) (cid:9)’& (cid:9)iQ ¸=(cid:9) ] Q¯(cid:231) ] w Q w &‰(cid:9)iQ w (cid:21)
(cid:21)
a a
Supposeourkernelhasthefollowingproperties:
(M) (cid:15) (cid:201)(cid:201) (cid:15)
(cid:10) (cid:10) (cid:13) @ (cid:10) (cid:10) (cid:13) (cid:10) (cid:10) (cid:13) D~} D (cid:10)
¸e(cid:9) ] Q¯(cid:231) ] ww Q w†w a (cid:21) ¸=(cid:9) ] Q¥(cid:231) ] w Q w ¸e(cid:9) ] w Q w (cid:231) ] ww Q ww (cid:21) ] w ] (cid:30) ] ww (cid:231)
a
(N) (cid:15)
(cid:10) (cid:10) (cid:13) D(cid:27)} @ o
(cid:240)¸=(cid:9) ] Q¥(cid:231) ] w Q w (cid:240)g (cid:21) (cid:231)
(cid:21)
(T) (cid:10) (cid:10) (cid:13) @ (cid:10) (cid:10) (cid:13) @
¸=(cid:9) Q¥(cid:231) Q ¸=(cid:9) Q¥(cid:231) Q F F (cid:231)
] ] w w ] ] w w ] w ] ] w ]
(cid:10)(cid:10)/ ‘ (cid:7) ‘ (cid:10) D~} (cid:13) g g if g g ‘ ‘
& R (cid:9)
g
(C) forany (cid:214) ,(cid:15)thefunction
(cid:5)10 (cid:13) @ / (cid:13) (cid:10) (cid:10) (cid:13) (cid:13) D(cid:27)} D~}32
] (cid:9) ] (cid:9)9Q ¸e(cid:9) ] Q¥(cid:231) ] w Q w &‰(cid:9)9Q w (cid:21)
(cid:21)
j `6´6ˆ 0 (cid:13) @ (cid:4) /0(cid:10) (cid:7)pJ
(cid:201) (cid:9) &
]Gw ] ]
iscontinuousfor and a ˜ ai(cid:135)
¸
(cid:0)e(cid:1)¯* (cid:10) (cid:5)2(cid:7)
When isdefinedbythepathintegral,property(M),istakenasonQeofQtheaxiomsof
(cid:0) (cid:1)¥* (cid:10) (cid:5) (cid:7) ] ]Gww (cid:0) (cid:1)¥* (cid:10) (cid:5)2(cid:7) ww
QFT.Itexpressesthepro, pertythatanyQ pathQ from, to isequQalto
] ]Gw w ]Gw ]Gww w
aQ wswumofpaths ‘ from to andapath g from(cid:217) tQo
. Property(N)saysthatthetotalprobabilityamplitudeofaparticletomovefro(cid:19)m(cid:201)
tosomewhereisequalto1. Noticethatproperty(N)impliesthattheoperator a a is
unitary.Infact, (cid:15)
(cid:217) (cid:157)K(cid:217) / D(cid:27)} @
(cid:19) (cid:201) & (cid:19) (cid:201) (cid:21)
(cid:21)
a a a a
10 LECTURE1. QUANTUMFIELDTHEORIES:ANINTRODUCTION
(cid:15) (cid:15) (cid:15)
ß (cid:10) (cid:10) (cid:13) (cid:13) D(cid:27)} ß (cid:10) (cid:10) (cid:13)4/ (cid:13) D(cid:27)} D~} @
¸=(cid:9) ] Q¯(cid:231) ] w Q w &¯(cid:9)9Q (cid:21) ¸e(cid:9) ] Q¥(cid:231) ] w Q w (cid:9)iQ (cid:21) (cid:21)
(cid:21) (cid:21) (cid:21)
(cid:252) (cid:252)
(cid:15) (cid:15) (cid:15)
(cid:13) ß (cid:10) (cid:10) (cid:13) (cid:10) (cid:10) (cid:13) D(cid:27)} / (cid:13) D(cid:27)} @ (cid:13)(cid:11)/ (cid:13) D~} J
&‰(cid:9)9Q ¸e(cid:9) ] Q¯(cid:231) ] w Q w ¸e(cid:9) ] Q¥(cid:231) ] w Q w (cid:21) (cid:9)iQ (cid:21) &¯(cid:9)9Q (cid:9)9Q (cid:21)
(cid:21) (cid:21) (cid:21)
(cid:252)
Nowweusethe5 fo(cid:9) ll(cid:13)po(cid:10) wiRng17S6to\ ne-vonNeumann’sTheorem:
] ]
T(cid:18) heorem1.1. Let beafamilyof unitaryoperatorsin aHilbertspace
. Assumetha(cid:10)(cid:11)t9 (cid:5) (cid:13) @ (cid:10) (cid:13)49(cid:141)(cid:13) j
8 R:(cid:18) (cid:204)˝(cid:9) (cid:9);8 5˝(cid:9) O
(i) f`6o´(cid:18)ˆrall\ (cid:204)˝(cid:9) (cid:13) @ ,th(cid:9);8e(cid:10)(cid:10)f9(cid:141)u(cid:13)nction] ] ] iscontiniousfor] and
]
a ˜ (cid:135)(cid:10) 1 6 \ (cid:10) ;H (cid:13) @ (cid:13)=< (cid:13)pJ
R 5 (cid:9) 5 (cid:9) 5 (cid:9)
] ]Gw ] ]Gw ] ]Gw
(ii) forall
Then ( @>(cid:21) 8SR(cid:23)(cid:18) (cid:1) `(cid:18)´6ˆ\ 5˝(cid:9) ] (cid:13) F(cid:211)(cid:210) 8 !
] exists
(cid:18) a ˜ (cid:135)
isdensein andtheoperatordefinedby (cid:13)
@ `(cid:18)´6ˆ 5 (cid:9) F(cid:211)(cid:210)
.?8 (cid:146) \ ] 8
]
a ˜ (cid:135)
isself-adjoint. Itsatisfies (cid:13) @ @ (cid:10) { J
5 (cid:9) O
] ]
(cid:24)7La
Applyingthistooursituati(cid:217)onA ,(cid:19) w@ eobta(cid:16)intAh(cid:22)a@ t(cid:10) { \
] ]
(cid:24)(cid:27)(cid:26) L a“(cid:26)ba
a a
. .
(cid:10) (cid:10) (cid:13)
forsome¸elin(cid:9)earQ¥o(cid:231) perQator . Theoperator iscalledtheHamiltonianoperatorasso-
] ]Gw w
ciatedto .
Wewouldliketoapplytheabovetoourfunction (cid:13)
¸e(cid:9) ] (cid:10) Q¯(cid:231) ] w (cid:10) Q w(cid:13) @(cid:253)ß c(cid:130)u (cid:146)#(cid:9)(cid:155)] w F ] (cid:13) h(cid:156) (cid:137)p(cid:139)(cid:141)(cid:140) ˘ (cid:146)’(cid:155)(cid:211)c (cid:9)i(cid:9)Q] ww FF˛]Q(cid:13) g ˙ J
(cid:252) (cid:10) (cid:10) (cid:13)
¸e(cid:9) Q¥(cid:231) Q
] ]Gw w 1 (cid:10) D D (cid:13)
Unfortunatelywecannottakethefunction tob(cid:9) etheQkerQnelofaHilbert-
g g w
(cid:214)
Schmidtoperator.Indeed,itdoesnotbelongtothespace . Inparticular
(cid:10)(cid:11)/ 1(cid:151)(cid:13)
property(N)isnotsatisfied. Onecans&howthat(M)isOK,(T)isobviouslytrue(cid:9)and
g
(cid:214)
(C) is true if one restricts to functions from a certain dense subspace of .
1
Thewayaboutthisisasfollows(see[Rauch]).
1(cid:151)(cid:13)C, 1(cid:151)(cid:13)
First let us recall the notionB(cid:219)(cid:9)of the Fou(cid:9) rier transform in . It is a linear operator
definedontheSchwartzspace (cid:240)Q‰(cid:240)(cid:214) g Q (cid:5) ofsmoothfunctionswithallderivatives
(cid:31)
tendtozerofasterthananypowerof as [ . Itisgivenbytheformula
D (cid:13))(cid:13)(cid:158)(cid:1)@-E (cid:13) @ o (cid:15) H W (cid:13) D J
(cid:9)M&‰(cid:9)iQ &(cid:192)(cid:9)GF s c(cid:145)u &‰(cid:9)9Q Q
[ (cid:24)(cid:27)(cid:26) L
(cid:26)
Herearesomeofthepropertiesofthisoperator: