introduction aux groupes quantiques

100 Pages·2010·0.69 MB·French

INTRODUCTION AUX GROUPES
QUANTIQUES
Julien Bichon
(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)
Laboratoire de MathØmatiques
UniveristØ Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II
Campus des CØzeaux
63177 AubiŁre Cedex
(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
E-mail : [email protected]
Introduction
Ce texte est une introduction aux groupes quantiques, des objets qui gØnØralisent
naturellement les groupes. Il est issu d’un cours de master 2 d’une trentaine d’heures
donnØ (cid:224) l’universitØ Blaise Pascal en 2008.
L’objectif principal est de dØcrire les reprØsentations du groupe quantique SLq(2).
LesprØrequissonttrŁsmodestes,etlesoutilstechniquesnØcessairessontintroduitsdans
des chapitres prØliminaires.
1
Table des matiŁres
1 PrØlude : la dualitØ de Pontryagin 4
2 CatØgories et foncteurs 7
2.1 CatØgories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 DualitØ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 AlgŁbres diagonales et ensembles (cid:28)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Produit tensoriel 18
3.1 Applications bilinØaires et produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Produit tensoriel d’applications linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Produit tensoriel d’algŁbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Vers la notion d’algŁbre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 AlgŁbres dØ(cid:28)nies par gØnØrateurs et relations 28
4.1 L’algŁbre d’un mono(cid:239)de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 PrØsentations par gØnØrateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Le plan quantique et le q-calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 AlgŁbres de Hopf 35
5.1 AlgŁbres et cogŁbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 BigŁbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Antipode et algŁbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5 DualitØ sur les algŁbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Groupes algØbriques et algŁbres de Hopf 53
6.1 Ensembles algØbriques a(cid:30)nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Groupes algØbriques a(cid:30)nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 AlgŁbres de Hopf comatricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Le groupe quantique SL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2
TABLE DES MATI¨RES 3
7 Modules et comodules 65
7.1 Modules sur une algŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Modules sur une algŁbre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Comodules sur une cogŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4 Comodules sur une algŁbre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 Comodules sur une bigŁbre de type (cid:28)ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.6 ReprØsentations de groupes algØbriques et comodules . . . . . . . . . . . 76
7.7 Une des origines du groupe quantique SL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8 CogŁbres et algŁbres de Hopf cosemisimples 80
8.1 Comodules semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2 CogŁbres cosemisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.3 AlgŁbres de Hopf compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9 Les reprØsentations du groupe quantique SLq(2) 91
9.1 Action sur le plan quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Classi(cid:28)cation des reprØsentations irrØductibles et formules de Clebsch-
Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 ComplØments sur les algŁbres de Hopf cosemisimples 97
10.1 Structure des cogŁbres cosemisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.2 Mesure de Haar et relations d’orthogonalitØ . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.3 CaractŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.4 Retour sur les algŁbres de Hopf compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Chapitre 1
PrØlude : la dualitØ de Pontryagin
pour les groupes abØliens (cid:28)nis
SiV estunC-espacevectoriel,onluiassocieclassiquementsondualV∗ = HomC(V,C).
On a une application linØaire injective
i : V −→ V∗∗
V
v 7−→ (φ 7→ φ(v), ∀φ ∈ V∗)
qui est un isomorphisme lorsque V est de dimension (cid:28)nie.
On obtient donc une (cid:16)dualitØ(cid:17) sur les espaces vectoriels de dimension (cid:28)nie, qui est
connue pour rendre bien des services en algŁbre linØaire.
On veut Øtendre cette situation au cas des groupes arbitraires. Soit G un groupe
(multiplicatif). Le candidat naturel pour Œtre le dual de G est le groupe
Gb = Hom(G,C∗)
C∗
oø est le groupe multiplicatif des nombres complexes non nul. La loi de groupe de
Gb est dØ(cid:28)nie par
Gb×Gb −→ Gb
(φ,ψ) 7−→ φ.ψ, φ.ψ(x) = φ(x)ψ(x), ∀x ∈ G,
L(cid:224) encore on a un morphisme de groupe naturel
iG : G −→ Gbb
x 7−→ (φ 7→ φ(x), ∀φ ∈ Gb)
Le groupe Gb Øtant toujours abØlien, on n’a aucun espoir que iG soit un isomorphisme
pour les groupes non abØliens.
Parcontre,pourlesgroupesabØliens(cid:28)nis,onalerØsultatsuivant,quiestl’analogue
de la dualitØ pour les espaces vectoriels de dimension (cid:28)nie.
4
CHAPITRE 1. PR(cid:201)LUDE : LA DUALIT(cid:201) DE PONTRYAGIN 5
ThØorŁme 1.0.1 (DualitØ de Pontryagin pour les groupes abØliens (cid:28)nis) Soit
G un groupe abØlien (cid:28)ni. Le morphisme de groupes prØcØdent
iG : G −→ Gbb
est un isomorphisme.
La preuve est divisØe en plusieurs Øtapes.
∼
(cid:201)tape 1. Soit G un groupe cyclique d’ordre n. Alors G = Gb.
En e(cid:27)et : Soit x ∈ G un gØnØrateur de G : G = hxi. Pour toute racine n-iŁme de
l’unitØ ω ∈ µn, on a un unique morphisme de groupes φω : G −→ µn tel que φω(x) = ω.
Cela donne une application
µn −→ Gb
ω 7−→ φ
ω
qui est un morphisme de groupes, injectif car x engendre G. RØciproquement, si φ ∈ Gb,
on a φ(x)n = φ(xn) = φ(1) = 1, donc φ(x) ∈ µn. Puisque x engendre G, on en dØduit
∼
que φ = φω pour ω = φ(x). Ainsi on a un isomorphisme µn = Gb, et µn Øtant lui mŒme
2iπ
un groupe cyclique (engendrØ par exemple par e n ), on a bien l’isomorphisme annoncØ.
\ ∼
(cid:201)tape 2. Soient G et H des groupes. Alors G×H = Gb×Hb.
En e(cid:27)et : on vØri(cid:28)e que l’application
\
θ : G×H −→ Gb×Hb
φ 7−→ (φ◦i ,φ◦i ),
1 2
oø i1 : G → G×H, g 7→ (g,1) et i2 : H → G×H, h 7→ (1,h), dØsignent les injections
respectives, est un isomorphisme de groupes.
(cid:201)tape 3. Soit G un groupe (cid:28)ni abØlien. Les groupes G et Gb sont isomorphes.
En e(cid:27)et : le thØorŁme de structure des groupes abØliens (cid:28)nis a(cid:30)rme en particulier
que G est isomorphe (cid:224) un produit de groupes cycliques. Il su(cid:30)t donc de combiner les
Øtapes 1 et 2 pour avoir le rØsultat.
(cid:201)tape 4. Soit g ∈ G un groupe abØlien (cid:28)ni. Pour g ∈ G\{1}, il existe φ ∈ Gb tel que
φ(g) 6= 1.
En e(cid:27)et : supposons dans un premier temps G cyclique d’ordre n : G = hxi. On a
g = xk, pour k ∈ {1,...,n−1}. Si ω est une racine primitive n-iŁme de l’unitØ, on a
alors (notations de la preuve de l’Øtape 1) φω(g) = φω(x)k = ωk 6= 1.
Si G n’est pas cyclique, il est isomorphe (cid:224) un produit de groupes cycliques, et le cas
cyclique et l’Øtape 2 donnent le rØsultat.
On peut maintenant dØmontrer le thØorŁme. L’Øtape 4 assure que le morphisme iG
est injectif, et puisque par l’Øtape 3 on a G = |Gb| = |Gbb|, la (cid:28)nitude de G assure que iG
(cid:3)
est un isomorphisme.
CHAPITRE 1. PR(cid:201)LUDE : LA DUALIT(cid:201) DE PONTRYAGIN 6
Pour construire une bonne dualitØ pour les groupes ((cid:28)nis), il faudra sortir de la
catØgorie des groupes et considØrer des objets algØbriques plus gØnØraux : les algŁbres
de Hopf, qui correspondent exactement (cid:224) ce que l’on appelle les groupes quantiques.
On prØcisera d’abord ce que l’on entend exactement par (cid:16)dualitØ(cid:17), ce qui mŁne dans
lechapitre2(cid:224)introduirelelangagedescatØgoriesetfoncteurs.Lechapitre3estconsacrØ
au produit tensoriel, une construction algØbrique primordiale dans notre contexte. Le
chapitre 4 est consacrØ aux prØsentations d’algŁbres par gØnØrateurs et relations.
Commentaires
On peut adapter les constructions de ce paragraphe pour obtenir une dualitØ (tou-
jours appelØe dualitØ de Pontryagin) sur les groupes abØliens localement compacts : voir
par exemple [11].
Chapitre 2
CatØgories et foncteurs
Ce chapitre est une brŁve introduction au langage des catØgories et des foncteurs,
utile dans toutes les branches des mathØmatiques. On introduit seulement les notions
minimales pour nos besoins : formuler la non-existence d’une dualitØ sur les groupes
d’une part, et formaliser la correspondance entre algŁbres et ensembles (espaces).
2.1 CatØgories
DØ(cid:28)nition 2.1.1 Une catØgorie C est la donnØe
a) d’une classe ob(C) d’objets de C,
b) pour tout couple (X,Y) d’objets de C d’un ensemble notØ Hom (X,Y) dont les
C
ØlØments sont appelØs morphismes de X dans Y de C (avec la notation f : X −→ Y
pour f ∈ Hom (X,Y) ) tels que
C
• pour tout triplet (X,Y,Z) d’objets de C, on a une application
Hom (X,Y)×Hom (Y,Z) −→ Hom (X,Z)
C C C
(f,g) 7−→ g◦f
appelØe composition des morphismes, qui est associative;
• pour tout objet X de C, il existe un ØlØment 1 ∈ Hom (X,X), appelØ identitØ
X C
de X (notØ parfois aussi id ), tel que ∀f ∈ Hom (X,Y), on a f ◦ 1 = f et ∀f ∈
X C X
Hom (Y,X), on a 1 ◦f = f.
C X
Exemples. (a) Ens : la catØgorie des ensembles. Les morphismes sont les applications,
la composition est la composition des applications.
(b) Grp : la catØgorie des groupes. Les morphismes sont les morphismes de groupes.
(c) Top : la catØgorie des espaces topologiques. Les morphismes sont les applications
continues.
(d)SoitGungroupe.OnconstruitunecatØgorieC(G)delamaniŁresuivante:ob(C(G)) =
{∗} et HomC(∗,∗) = G. La composition est le produit dans G.
Remarque.OndØsignesouventunecatØgorieparlenomdesesobjets.Enfaitl’essentiel
de l’information est contenue dans les morphismes (voir le dernier exemple).
7
CHAPITRE 2. CAT(cid:201)GORIES ET FONCTEURS 8
DØ(cid:28)nition 2.1.2 Une catØgorie C est dite petite si ob(C) est un ensemble.
Exemple. Ens n’est pas une petite catØgorie.
DØ(cid:28)nition 2.1.3 Soit C une catØgorie. On appelle catØgorie opposØe de C la catØgo-
rie, notØe Cop, dont les objets sont les mŒmes que ceux de C et telle que si X,Y sont
des objets de Cop, on a HomCop(X,Y) = HomC(Y,X).
DØ(cid:28)nition 2.1.4 Soit C une catØgorie. Une sous-catØgorie C0 de C est la donnØe
d’une sous-classe ob(C0) de ob(C) d’objets de C0, et pour tous objets X,Y de C0 d’un
sous-ensemble HomC0(X,Y) de HomC(X,Y), tels que
• si X est un objet de C0, on a 1X ∈ HomC0(X,X);
• si X,Y,Z sont des objets de C0 et si f ∈ HomC0(X,Y), g ∈ HomC0(Y,Z), on a
g◦f ∈ Hom (X,Z)
C0
Une sous-catØgorie C0 de C est dite pleine si pour tous objets X,Y de C0, on a
Hom (X,Y) = Hom (X,Y)
C0 C
Une sous-catØgorie est elle-mŒme, pour la composition induite, une catØgorie.
Exemples. (a) Soit k un corps commutatif. La catØgorie Vectf(k) des k-espaces vec-
toriels de dimension (cid:28)nie est une sous-catØgorie pleine de la catØgorie des k-espaces
vectoriels Vect(k) (les morphismes sont les applications linØaires).
(b) Ab, la catØgorie des groupes abØliens, est une sous-catØgorie pleine de Grp.
DØ(cid:28)nition 2.1.5 Soit C une catØgorie et X un objet de C. On dit que X est un objet
initial (resp. objet (cid:28)nal) de C si pour tout objet A de C l’ensemble Hom (X,A) (resp.
C
Hom (A,X)) est rØduit (cid:224) un ØlØment.
C
Exemples. (a) Le groupe trivial (cid:224) un ØlØment est un objet initial et (cid:28)nal de Grp.
(b) Z est un objet initial dans Ann, la catØgorie des anneaux, alors que l’anneau nul est
un objet (cid:28)nal.
DØ(cid:28)nition 2.1.6 Soient C une catØgorie et f ∈ HomC(X,Y). On dit que f est un
(a) monomorphisme si ∀g,h ∈ Hom (Z,X), on a
C
f ◦g = f ◦h ⇒ g = h
(b) Øpimorphisme si ∀g,h ∈ Hom (X,Z), on a
C
g◦f = h◦f ⇒ g = h
(c) isomorphisme s’il existe g ∈ Hom (Y,X) tel que f ◦g = 1 et g◦f = 1 .
C Y X
Exemples.(a) Dans Ens, Grp ou Vect(k) : monomorphisme = morphisme injectif, Øpi-
morphisme = morphisme surjectif, isomorphisme = morphisme bijectif = monomor-
phisme + Øpimorphisme.
CHAPITRE 2. CAT(cid:201)GORIES ET FONCTEURS 9
(b) Un isomorphisme est un monomorphisme et un Øpimorphisme. La rØciproque n’est
pasvrai:dansAnn,l’inclusionZ ⊂ QestunmonomorphismeetunØpimorphisme,mais
pas un isomorphisme.
Parmi les assertions (a), la seule qui dont la preuve n’est pas facile est qu’un Øpi-
morphisme de groupes est nØcessairement surjectif. Nous utiliserons ce rØsultat dans la
suite, et nous en donnons donc une preuve.
Proposition 2.1.7 Un Øpimorphisme dans la catØgorie des groupes (resp. la catØgorie
des groupes (cid:28)nis) est surjectif.
Preuve. Il faut montrer qu’un morphisme de groupes qui n’est pas surjectif n’est pas
un Øpimorphisme, et donc il su(cid:30)t de montrer que si H $ G est un sous-groupe strict
d’un groupe G, il existe un groupe K et des morphismes de groupes α,β : G −→ K tels
que α|H = β|H et α 6= β.
Si H est un sous-groupe normal de G, on peut prendre α = π : G −→ G/H la
surjection canonique et β le morphisme trivial.
Si [G : H] = 2, le sous-groupe H est nØcessairement normal, donc on peut supposer
[G : H] ≥ 3 et l’existence d’une permutation γ de G/H = {Hx, x ∈ G} dont le seul
point (cid:28)xe est H. On va considØrer le groupe symØtrique de G, K = SG, et le premier
morphisme α : G −→ SG est obtenu en faisant agir G sur lui-mŒme par multiplication :
α(g)(x) = gx, ∀g,x ∈ G. L’idØe, pour construire β : G −→ SG, est de (cid:16)perturber(cid:17) α en
utilisant γ. On procŁde ainsi.
Soit θ : G/H −→ G une application telle que π ◦ θ = idG/H et θ(H) = 1. Tout
ØlØment de G s’Øcrit de maniŁre unique comme produit d’un ØlØment de H et d’un
ØlØment de θ(G/H), car
∀x ∈ G, x = xθ(π(x))−1θ(π(x))
En e(cid:27)et, xθ(π(x))−1 ∈ H car π(x) = π(θ(π(x))), et si hθ(π(x)) = h0θ(π(x0)) pour
x,x0 ∈ G et h,h0 ∈ H, on a π(x) = π(θ(π(x))) = π(θ(π(x0))) = π(x0) et en(cid:28)n h = h0.
Soit λ : G −→ G dØ(cid:28)ni par
∀x ∈ G, λ(x) = xθ(π(x))−1θ(γ(π(x)))
Alors λ est une bijection (unicitØ dans la dØcomposition prØcØdente) et ∀x ∈ G, λ(x) =
x ⇐⇒ x ∈ H (car H est le seul point (cid:28)xe de γ).
Soit alors β : G −→ SG, β(g) = λ−1◦α(g)◦λ. Il est clair que β est un morphisme de
groupes et on vØri(cid:28)e sans problŁme que α(g) = β(g) ⇐⇒ g ∈ H. On a bien construit
les morphismes α,β dØsirØs, et la preuve fonctionne aussi dans la catØgorie des groupes
(cid:28)nis car si G est (cid:28)ni, le groupe symØtrique SG l’est aussi. (cid:3)
Proposition 2.1.8 Un objet initial (resp. (cid:28)nal) d’une catØgorie est, s’il existe, unique
(cid:224) isomorphisme prŁs.