Introduction aux groupes et algèbres de Lie [Lecture notes]

55 Pages·2005·0.44 MB·French

by  Antoine Chambert-Loir

INTRODUCTION AUX GROUPES ET ALGÈBRES DE LIE
Coursdemaster2àl’UniversitédeRennes1(2004–2005)
AntoineChambert-Loir
AntoineChambert-Loir
IRMAR,CampusdeBeaulieu,35042RennesCedex.
E-mail:[email protected]
Url:http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Versiondu21juin2005
CONTENTS
1. GroupesdeLie;théorèmedeCartan........................................................ 5
§1. Notiondevariétédifférentielle.......................................................... 5
§2. Fibrétangent.......................................................................... 7
§3. GroupesdeLie“généraux”.............................................................. 11
§4. Sous-groupesfermésd’ungroupedeLie................................................. 15
§5. Exemplesclassiques.................................................................... 17
§6. HomomorphismescontinusdegroupesdeLie........................................... 19
2. Représentations........................................................................... 21
§1. Premièresnotions...................................................................... 21
§2. Opérateursd’entrelacement,représentationsirréductibles................................ 21
§3. Représentationssemi-simples.......................................................... 23
§4. ThéorèmesdeBurnsideetdeSchur..................................................... 25
§5. Représentationsd’algèbresdeLie....................................................... 26
§6. Unexemple:sl (C)etSL (C)............................................................ 27
2 2
3. Représentationsdesgroupescompacts..................................................... 33
§1. MesuredeHaar........................................................................ 33
§2. Généralitéssurlesreprésentationscontinuesdesgroupestopologiques.................... 35
§3. Unitarisation.......................................................................... 36
§4. Coefficientsmatriciels,caractères....................................................... 37
§5. LethéorèmedePeter-Weyl............................................................. 40
§6. DémonstrationduthéorèmedePeter-Weyl.............................................. 44
4. Géométrie“globale”desgroupesdeLie..................................................... 47
§1. Rappelssurlathéoriedesrevêtementsetdugroupefondamental......................... 47
§2. GroupesdeLiesimplementconnexes................................................... 49
§3. LethéorèmedeFrobenius.............................................................. 51
§4. CorrespondancegroupesetalgèbresdeLie.............................................. 52
Index........................................................................................ 55

CHAPTER 1
GROUPES DE LIE; THÉORÈME DE CARTAN
§1. Notiondevariétédifférentielle
1.1. Atlas. — Ilyadeuxfaçonsd’approcherlanotiondevariété. Danslepointdevue“atlas”,onse
donneunespacetopologiqueM(1),unrecouvrementouvert(U )deM et,pourtouti,unhoméomor-
i
phismeϕ :U →Ω oùΩ estunouvertdeRn. Lesϕ sontappeléscarteslocalesetlesU ouvertsde
i i i i i i
cartes.Onimposeenoutrequepourtoutcouple(i,j),lacomposition
ϕ−1 ϕ
ϕ :ϕ (U ∩U )−−i→U ∩U −−→j ϕ (U ∩U )
i,j i i j i j j i j
soitundifféomorphismedeclasseC∞.Onpeutdemanderseulementquecesdifféomorphismessoient
declasseCk,oudansl’autresens,exigerquecesoientdesdifféomorphismesanalytiquesréels(cequ’on
noteparfoisCω);celadéfinitlanotiondevariétédeclasseCk,oudevariétéanalytiqueréelle.
Surunetellevariété,lecalculdifférentiel(C∞,Ck,voireanalytique)gardeunsens.SiUestunouvert
deM,onditeneffetqu’unefonction f :U→RestC∞ sipourtoutecarte(U ,ϕ ),lafonction f ◦ϕ−1
i i i
surl’ouvertΩ ∩ϕ (U∩U )deRnsoitdeclasseC∞.
i i i
De la même façon, on peut définir la notion d’application C∞ d’une variété dans une autre : les
applicationsqu’onpeutécriredansdescartessontC∞. D’oùaussilanotiond’isomorphisme(difféo-
morphisme)devariétés,etc.
1.2. Faisceaux. — Celanousamèneaupointdevue“faisceaux”danslequelunevariétéestladonnée
d’unespacetopologiqueM et,pourtoutouvertU⊂M,d’unensembledefonctionscontinuesC∞(U),
vérifiantlespropriétéssuivantes:
– soitUunouvertdeMet f :U→R;lafonction f estC∞sietseulementsipourtoutx∈V,ilexiste
unvoisinageU dexcontenudansUtelque f| soitC∞surU (propriétédefaisceau);
x Ux x
– pourtoutpointx∈M,ilexisteunvoisinageU ⊂Metunhoméomorphismeϕ :U →Ω ,oùΩ
x x x x x
estunouvertdeRn,desortequepourtoutU⊂U ettoutefonction f :U→R, f appartientàC∞(U)si
x
etseulementsi f ◦ϕ−1appartientàC∞(ϕ (U)).
x x
Uneapplicationcontinueϕ: M →N entredeuxvariétésestditeC∞ sipourtoutouvertV ∈N et
toutefonction f ∈C∞(V),lafonction f ◦ϕappartientàC∞(ϕ−1(V)).
Ilestpratiquededéfinirl’ensembleC∞ desgermesdefonctionsC∞enunpointxd’unevariétéM.
M,x
C’estuncouple(U,f)oùUestunvoisinageouvertdexetf unefonctionC∞surU,modulolarelation
d’équivalence:(U,f)∼(V,g)s’ilexisteunvoisinageW dexcontenudansU∩V telque f| =g| (“f
W W
etg coïncidentsurunvoisinagedex”).
(1)L’usageveutqu’onserestreigneauxespacesséparés—deuxpointsdistinctsontdesvoisinagesouvertsdisjoints—etparacom-
pacts—toutrecouvrementouvertadmetunraffinementlocalementfini.
6 CHAPTER1.GROUPESDELIE;THÉORÈMEDECARTAN
1.3. Cesdeuxpointsdevuesontéquivalents. SoitM unevariétédéfinieparunatlas. Lefaisceaudes
fonctionsC∞surMvérifielesaxiomesci-dessus:qu’unefonctionsoitC∞sevérifiedansunouvertde
carte,etdansuntelouvert,identifiéàunouvertdeRn,lesfonctionsC∞sontexactementlesfonctions
C∞usuelles.
Inversement, soit M une variété définie par le point de vue faisceaux. On considère le recouvre-
ment ouvert de M formé des voisinagesU dans le deuxième alinéa définissant C∞. Montrons que
x M
les(U ,ϕ )formentunatlas. Ilsuffitdevérifierquel’homéomorphismeψ =ϕ ◦ϕ−1, del’ouvert
x x x,y x y
V =ϕ (U ∩U )deΩ surl’ouvertV =ϕ (U ∩U )deΩ ,estundifféomorphisme. Parhypothèse,
y y x y y x x x y x
lesfonctions y ,...,y sontC∞ surV ,donclesfonctions y ◦ϕ sontC∞ surU ∩U . Parsuite,les
1 n y j y x y
fonctionsψ∗ (y )=y ◦ψ sontC∞surV . D’aprèslelemmeci-dessous,celamontrequelescom-
x,y j j x,y x
posantesdeψ sontdesfonctionsC∞.Demême,lescomposantesdeϕ ◦ϕ−1sontdesfonctionsC∞.
x,y y x
Ilenrésultequeϕ ◦ϕ−1estunC∞-difféomorphisme.
y x
LEMME1.4. — SoitU unouvertdeRn,V unouvertdeRm et f :U →V uneapplication. Onécrit f =
(f ,...,f ),oùlesf sontdesfonctionsdeUdansR.Onalespropriétéséquivalentes,oùk∈{0,1,...,∞,ω}.
1 m j
a) l’application f estdeclasseCk ;
b) lesfonctions f sontdeclasseCk ;
j
c) pourtoutefonctionϕ:V →R,ϕ◦f estdeclasseCk.
Ladémonstrationestlaisséeenexercice.
1.5. Sous-variétés. — Soit Ω un ouvert de Rn et soit X une partie de Ω. S’il existe n−p fonctions
f1,...,fn−p∈C∞(Ω)tellesque
a) X estlelieuoù f1,...,fn−ps’annulent;
b) entoutpointxdeX,lamatricedesdérivéespartielles¡∂fi¢estderangn−p,
∂xj
onditalorsqueX estunesous-variétédedimensionp. Plusgénéralement,onditqueX estunesous-
variétédedimensionpsitoutpointxdeΩpossèdeunvoisinageU telqueX∩U soitunesous-variété
dedimensionp deU ausensprécédent. Unesous-variétéestautomatiquementfermée;lefaitd’être
unesous-variétéeststablepardifféomorphismedel’espaceambient.
Onditalorsqu’unepartieNd’unevariétéMestunesous-variétésipourtoutecarte(U,ϕ),ϕ(N∩U)
estunesous-variétédeϕ(U).
SiN estunesous-variétéd’unevariétéM,N estmuniedemanièrenaturelled’unestructuredevar-
iété: onpeutoubiendéfinirdescoordonnéeslocales,etdoncdescartes,vialethéorèmed’inversion
locale,oubiendéfinirlefaisceaudesfonctionsC∞ surN enposantqu’unefonction f définiesurun
ouvertUdeN estC∞sielleest,localementsurcetouvert,larestrictiond’unefonctionC∞définiesur
unvoisinagedeUdansM.
1.6. Produits. — SiMetNsontdeuxvariétésdedimensionsmetn,leurproduitM×Nestmunid’une
structurenaturelledevariété,dontladimensionestm+n.Si(U ,ϕ )estunatlasdeMet(V ,ψ )estun
i i j j
atlasdeN,lafamille(U ×V ,(ϕ ,ψ ))estunatlasdeM×N.
i j i j
1.7. Variétésanalytiquesréellesoucomplexes. — SoitM unevariétéquiestdéfinieàl’aidedecartes
(U ,ϕ )tellesquelesΩ soientdesouvertsdeRn(resp.Cn)ettellesquelesdifféomorphismesϕ soient
i i i i,j
desapplicationsanalytiques(c’est-à-diredéveloppableensérieentièreauvoisinagedetoutpoint).On
peutalorsdéfinirsurM lefaisceauO desfonctionsanalytiques: unefonction f surunouvertdeM
M
àvaleursréelles(resp.complexes)seraditeanalytiquesipourtouti,lafonction f ◦ϕ−1surϕ (U ∩M)
i i i
l’est. Alors,lecouple(M,O )estlocalementisomorpheaucoupleforméd’unouvertdeRn (resp.Cn)
M
etdufaisceaudesfonctionsanalytiquessurcetouvert. Onditquec’estunevariétéanalytiqueréelle
(resp. complexe)dedimensionn. Inversement,donnons-nousuntelcouple. Celapermetdedéfinirla
notiond’applicationanalytiqueversunouvertdeRn (resp. Cn)etdoncdecarteanalytique,d’oùune
descriptionentermesd’atlas.
§2.FIBRÉTANGENT 7
Soit M une variété analytique réelle de dimension n. Comme les fonctions analytiques sont C∞,
onpeutdéfinirlefaisceauC∞ desfonctionsquidansune(oudanstoute)carte,s’exprimentparune
M
fonctionC∞. Lecouple(M,C∞)estalorslocalementisomorpheaucoupleforméd’unouvertdeRn
M
etdufaisceaudesfonctionsC∞surcetouvert,cequimunitMd’unestructuredevariétédifférentielle
réellededimensionn.
Soit M une variété analytique complexe de dimension n. Comme les fonctions analytiques com-
plexessontanalytiquesréelles,onpeutdéfinirlefaisceauCωdesfonctionsquidansune(oudanstoute)
M
carte,s’exprimentparunefonctionanalytiqueréelle.Lecouple(M,Cω)estalorsunevariétéanalytique
M
réellededimension2n.OnpeutaussiconsidérerlefaisceaudesfonctionsC∞surM;lecouple(M,C∞)
M
estunevariétédifférentielleréellededimension2n.
§2. Fibrétangent
Onselimitepourl’instantaucasdesvariétésdifférentiellesréelles.Lesmodificationàapporterdans
lecasdesvariétésanalytiquescomplexessontindiquéesàlafindeceparagraphe.
2.1. Vecteurs tangents. — Il y a plusieurs façons équivalentes de définir un vecteur tangent en un
pointxd’unevariétéM.
Laplusabstraite:c’estunedérivationenx,c’est-à-direuneapplicationR-linéaireX:C∞ →Rtelle
M,x
queX(fg)=f(x)X(g)+g(x)X(f).
Onpeutaussidéfinirunvecteurtangentcommeuneclassed’équivalencedegermedecourbeγ:I→
M,oùIestunvoisinagede0dansRetγuneapplicationC∞tellequeγ(0)=x.Larelationd’équivalence
estlasuivante: (I,γ)∼(J,θ)sipourtoutefonction f ∈C∞ ,ona(f ◦γ)0(0)=(f ◦θ)0(0). Celaéquivaut
M,x
aussiàdirequepourunecarteϕ:U→Ωcontenantx,(ϕ◦γ)0(0)=(ϕ◦θ)0(0)(etcelaestalorsvraipour
toutecarte...).
Ladernière,àlafoisbizarreetcommode:unvecteurtangentenunpointξdeRnestunvecteurdeRn
(“poséenx”,sicelaavaitunsens);unvecteurtangentenpointx deM estladonnée,pourtoutecarte
(U,ϕ)d’unvecteurXϕenϕ(x)telquel’onait,si(U,ϕ)et(V,ψ)sontdeuxcartescontenantx,
Xϕ=(ϕ◦ψ−1)0(x)(Xψ) où (ϕ◦ψ−1):ψ(U∩V)→ϕ(V∩U).
Ilsuffitainsidesedonnerunvecteurtangentdansunecartepourendéduiresavaleurdanslesautres.
Esquissonsladémonstrationdel’équivalencedecesnotions.OnpeutsupposerqueMestunouvert
deRn.Si(I,γ)estungermedecourbeenx,ondéfinitunedérivationenxparlaformulef 7→(f ◦γ)0(0).
LevecteurtangentenunpointdeRndecoordonnées(a ,...,a )correspondàladérivationa ∂ +···+
1 n 1∂x1
a ∂ .Inversement,soitDunedérivationenxsurRn.Si f estunefonctionC∞surunvoisinagedex,
n∂xn
Z 1 n
f(y)=f(x)+ f0(x+t(y−x))(y−x)dt=f(x)+Xg (y)(y −x ),
j j j
0 j=1
avecg (y)=R1 ∂f (x+t(y−x))dt.Lesfonctionsg sontC∞etl’onag (x)= ∂f (x).Parsuite,
j 0 ∂xj j j ∂xj
D(f)=0+jX=n1¡D(gj)(yj−xj)|y=x+gj(x)D(yj−xj)¢=jX=n1D(yj)∂∂xfj(x).
Parsuite,toutedérivationestassociéeàunvecteurtangent.Enfin,ilestfacile,dansunouvertdeRn,de
prolongerunvecteurtangentenungermedecourbedéfinissantlamêmedérivation(prendreuneligne
droite!);pourunevariété,onfaitdemêmeenchoisissantunecarte.
2.2. OnnoteT M l’ensembledesvecteurstangentsenunpoint x d’unevariétéM. C’estunespace
x
vectorieldedimensiondimM;onl’appelleespacetangentdeMenx.
Unmorphismedevariétés f : M→N possède,entoutpointx∈M,unedifférentielleT f : T M→
x x
T Ndéfinieparlaformule
f(x)
T f(X)(ϕ)=X(ϕ◦f),
x
8 CHAPTER1.GROUPESDELIE;THÉORÈMEDECARTAN
siϕestunefonctionC∞surNdansunvoisinagedef(x)etX unedérivationenx.SiX estlaclassed’un
germedecourbe(I,γ),T f(X)estlaclassedugerme(I,f ◦γ).Dansdescartes(U,ϕ)deMet(V,ψ)deN,
x
f induitunefonctionC∞,F=ψ◦f ◦ϕ−1ϕ(U)→ψ(V)etl’onaF0(ϕ(x))(Xϕ)=Yψ,siXϕestl’expression
duvecteurtangentX danslacarte(U,ϕ)etYψestl’expressionduvecteurtangentY =Txf(X)dansla
carte(V,ψ).
Si f :M→Netg:N→Psontdesmorphismesdevariétés,leurcomposéeg◦f l’estetl’ona
T (g◦f)=T (g)◦T (f):T M→T P.
x f(x) x x g(f(x))
2.3. Immersions,submersions. — Soit f : N→M unmorphismedevariétés. Onditque f estuneim-
mersion(resp.unesubmersion)siT f estinjective(resp.surjective)entoutpointxdeN.
x
Soit M une variété. Si N est une sous-variété de M, l’injection canonique i de N dans M est une
immersion.Soit(f )unefamilledefonctionsdéfinissantN dansM;l’espacetangentàN enunpointx
j
s’identifiealorsàl’intersectiondesnoyauxdesdifférentiellesT f :T M→R.
x j x
Uncouple(N,i)forméd’unevariétéNetd’uneimmersioninjectivei:N→Mestappelésous-variété
immergéedeM. Onprendragardequesonimagen’estpasnécessairementunesous-variétédeM (à
moinsquei nesoitpropre).
SoitMunevariétéetsoit f :N→Munesubmersion.Ilrésulteduthéorèmedesfonctionsimplicites
quepourtoutpointydeM,l’imageréciproque f−1(y)estunesous-variétédeN.
2.4. Champsdevecteurs. — Unchampdevecteurs(disonsdeclasseC∞,maisladéfinitiongénéraleest
analogue)surunouvertU deRn n’estriend’autrequ’uneapplicationC∞ deU dansRn. SoitM une
variété. UnchampdevecteurssurunouvertU deM estladonnée,entoutpointx∈U,d’unvecteur
tangentXx enx,desortequepourtoutecarte(V,ϕ),l’applicationx7→(Txϕ)−1(Xϕ(x))deV dansRnsoit
unchampdevecteursC∞surV.
UntelchampdevecteursXdéfinitparlaformuleX(f)=(x7→X (f)unendomorphismeR-linéaireX
x
deC∞(U)danslui-mêmequivérifielarelationX(fg)=gX(f)+fX(g).Inversementunetelleapplica-
tiondéfinitununiquechampdevecteurs.
Soit f :M→Nundifféomorphisme.Ladifférentiellede f s’étendalorsenuneapplicationnotéeTf
ou f∗ deschampsdevecteurssurM versleschampsdevecteurssurN, parlaformule f∗(X)(f(x))=
(Txf)(X), oùX estunchampdevecteurssurM et x ∈M. Ona(g◦f)∗=g∗◦f∗, si g: N →P estun
seconddifféomorphismedevariétés.
Soit f : M →N un difféomorphisme local, c’est-à-dire que tout point x ∈M possède un voisinage
ouvertV telque f| soitundifféomorphismedeU surV = f(U ). PourtoutchampdevecteursX
x Ux ∗ x x x
sur N, on peut alors définir un champ, noté f (X), dont la restriction à l’ouvert U est le champ
x
(d(ifff|éUoxm)−o1)r∗p(hXis|Vmx)e.loScialge:tNl’o→naP(ge◦stf)u∗n=sfe∗co◦ngd∗.difféomorphisme local, la composition g ◦f est un
∗
Si f estundifféomorphisme,lesapplications f et f∗sontinversesl’unedel’autre.
2.5. Crochet de Lie. — Soit X et Y deux champs de vecteurs sur un ouvertU d’une variété M. Soit
[X,Y]: f 7→X(Y(f))−Y(X(f))l’endomorphismeX◦Y −Y ◦X deC∞(U). C’estencoreunchampde
vecteurs.Eneffet,si f etg sontdeuxfonctionsC∞,ona
[X,Y](fg)=X(Y(fg))−Y(X(fg))=X(fY(g)+gY(f))−Y(fX(g)+gX(f))
=¡X(f)Y(g)+fX(Y(g))+X(g)Y(f)+gX(Y(f))¢
−¡Y(f)X(g)+fY(X(g))+Y(g)X(f)+gY(X(f))¢
=f¡X(Y(g))−Y(X(g))¢+g¡X(Y(f))−Y(X(f))¢
=f[X,Y](g)+g[X,Y](f),
sibienque[X,Y]estunchampdevecteurssurU.Onl’appellelecrochetdeLiedeschampsX etY.
Si f :M→Nestundifféomorphismedevariétés,ona f∗([X,Y])=[f∗(X),f∗(Y)].Si f :N→Mestun
difféomorphismelocal,ona f∗([X,Y])=[f∗(X),f∗(Y)].
§2.FIBRÉTANGENT 9
Onaaussil’identitédeJacobi:siX,Y etZ sontdeschampsdevecteurssurunevariétéM,
[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.
Voilàlepremierexempled’algèbredeLie,certespasleplussimple,cardedimensioninfinie.
DÉFINITION. — On appelle algèbre de Lie la donnée d’un espace vectoriel V et d’une application bil-
inéaireV×V →V notée(X,Y)7→[X,Y],appeléecrochet,telleque:
– pourtoutX∈V,[X,X]=0(lecrochetestalterné);
– pourtousX,Y,Z dansV,[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0(identitédeJacobi).
Notonsqu’ilrésultedelapropriétéd’alternanceque[X,Y]=−[Y,X]pourtousX etY dansV.
2.6. Soit f :M→N unmorphismedevariétés.SoitX unchampdevecteurssurMetsoitY unchamp
devecteurssurN.NousdironsqueleschampsX etY sontf-associéssipourtoutx∈M,onaT f(X )=
x x
Y .Celaéquivautàcequepourtoutefonctionϕ∈C∞(N),onaitl’égalitéX(ϕ◦f)=Y(ϕ)◦f,comme
f(x)
lemontrentlesrelations,oùx∈X,
X(ϕ◦f)(x)=X (ϕ◦f)=(T f)(X )(ϕ)(=∗)Y (ϕ)=Y(ϕ)(f(x))
x x x f(x)
danslesquellesl’égalité(∗)estladéfinitionmêmepourX etY d’être f-associés.
SiX estunchampdevecteurssurM,iln’existepasnécessairementdechampY surN telqueX et
Y soient f-associés;s’ilenexiste,iln’estpasforcémentunique.Si f estundifféomorphisme,lechamp
f∗(X)estl’uniquechampdevecteurssurNquisoit f-associéàX;si f estundifféomorphismelocal,le
∗
champdevecteurs f (Y)estl’uniquechampsurX quisoit f-associéàY.
PROPOSITION2.7. — Soit f : M→N unmorphismedevariétésdifférentielles,soitX1etX2deschamps
devecteurssurM;soitY etY deschampsdevecteurssurN. SupposonsqueX etY d’unepart,etX et
1 2 1 1 2
Y d’autrepartsoient f-associés.Alors:
2
a) pourtoutcoupledenombresréels(λ ,λ ),leschampsdevecteursλ X +λ X etλ Y +λ Y sont
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
f-associés.
b) leschampsdevecteurs[X ,X ]et[Y ,Y ]sont f-associés.
1 2 1 2
La relation pour deux champs de vecteurs d’être f-associés est ainsi compatible aux structures
d’algèbresdeLiedesespacesdechampsdevecteurssurMetN.
Proof. — Lapremièrepartieestévidente;démontronslaseconde.Soitϕ∈C∞(N).Ona
[X ,X ](ϕ◦f)=X (X (ϕ◦f))−X (X (ϕ◦f))
1 2 1 2 2 1
=X (Y (ϕ)◦f)−X (Y (ϕ)◦f) carX etY sont f-associés
1 2 2 1 i i
=Y (Y (ϕ))◦f −Y (Y (ϕ))◦f
1 2 2 1
=[Y ,Y ](ϕ)◦f,
1 2
cequimontreque[X ,X ]et[Y ,Y ]sont f-associés.
1 2 1 2
2.8. Flots. — SoitMunevariétédifférentielleetsoitX unchampdevecteurssurM.Intégrerlechamp
devecteursX àpartirdelaconditioninitialex ∈M,c’estchercherunecourbeparamétréeγ: I →M
0
tellequeγ(0)=x etγ0(t)=X(γ(t))pourtoutt ∈I. EnutilisantlethéorèmedeCauchy-Lipschitzdans
0
descartes,onvoitqu’ilexisteuneuniquesolutionmaximale(I,γ),définiesurunintervalleouvertdeR.
OnditqueγestunecourbeintégraleduchampdevecteursX. SiM estcompacte(plusgénéralement,
silechampX estàsupportcompact),onaI=R:lasolutionestdéfiniepourtouttemps.
LeflotduchampdevecteursX estl’applicationΦ qui,à(t,x)∈R×Massocie,sielleexiste,lavaleur
X
entdel’uniquecourbeintégralemaximaledeXquivautxautemps0.IlestdéfinisurunvoisinageD(X)
de{0}×MdansR×Metl’applicationD(X)×MestC∞,commelemontrelethéorèmesurladépendance
10 CHAPTER1.GROUPESDELIE;THÉORÈMEDECARTAN
dessolutionsd’équationsdifférentiellesenlasolutioninitiale. SupposonsqueΦ soitdéfinien(t,x).
X
AlorsΦ estdéfinien(t+u,x)sietseulementsiilestdéfinien(u,Φ (t,x))etl’onaalors
X X
Φ (t+u,x)=Φ (u,Φ (t,x)).
X X X
Enparticulier,siM estcompacte,onaD(X)=R×M etl’équationprécédentevautpourtousréelst,u
ettoutx∈M.
Lethéorèmesurlessolutionsd’équationsdifférentiellesdépendantd’unparamètreentraîneaussi
quesiX estunchampdevecteursdépendantdemanièreC∞d’unparamètres∈S(Sestunevariété),
s
lasolutionmaximaleγ dépenddes demanièreC∞. SiM estcompacte,ilenrésulteraparexemple
s
unefonctionγ: S×R×X →X tellequeγ(s,·)soitpourtout s ∈S unecourbeintégraleduchampde
vecteursX .
s
Demême,lesflotsΦ s’organisentenuneapplicationC∞d’unvoisinagede{0}×M×SdansR×M×S
Xs
dansM.SiMestcompacte,cetteapplicationestdéfiniesurR×M×S.
2.9. Soit f : M→N unmorphismedevariétésdifférentielles,soitX unchampdevecteurssurM etY
unchampdevecteurssurN. NotonsΦX etΦY leursflots. OnsupposequeX etY sont f-associés. Si
t t
x∈M,l’applicationγ: t 7→ΦX(x)estsolutiondel’équationdifférentielleγ0(t)=X(γ(t)),avecγ(0)=x.
t
Parsuite,l’application f ◦γvérifie
(f ◦γ)0(t)=Tγ(t)f(γ0(t))=Tγ(t)f(X(γ(t))=Y(f(γ(t)),
puisqueleschampsXetY sontf-asociés.Commef◦γ(0)=f(x),l’unicitédelasolutiond’uneéquation
différentielleentraîneque f(γ(t))=ΦY(f(x)),d’oùlarelation
t
f ◦ΦX =ΦY ◦f.
t t
Si f estundifféomorphismelocal,onaX=f∗(Y)etcetteformuleserécrit
Φf∗Y =f−1◦ΦY ◦f.
t t
2.10. SoitXetY deuxchampsdevecteurssurunevariétéM.NotonsΦX leflotassociéàX;auvoisinage
t
detoutpointdeM,ΦX estdéfinipour|t|assezpetitetestundifféomorphismelocal.Parsuite,lechamp
t
devecteur(ΦX)∗Y estbiendéfini,localementsurMetpour|t|assezpetit.Nousallonsmontrerque
t
(2.11) ddt(ΦXt )∗Y|t=0=[X,Y].
(LepremiermembreestappelédérivéedeLieduchampY parrapportauchampX.)
Posonseneffet,pour(s,t)∈R2et f ∈C∞(M),
α(s,t)=Y(f ◦ΦX)◦ΦX.
s t
Onaα(0,t)=Y(f)◦ΦX,d’où
t
∂
α(0,0)=X(Y(f)).
∂t
Onaaussiα(s,0)=Y(f ◦ΦX),d’où
s
∂
α(0,0)=Y(X(f)).
∂s
Finalement,auvoisinagede0,
∂ ∂
α(−t,t)=α(0,0)−t α(0,0)+t α(0,0)+O(t2)=Y(f)+t[X,Y](f)+O(t2).
∂s ∂t
Comme
α(−t,t)=Y(f ◦ΦX−t)◦ΦXt =((ΦXt )∗)(f),
celamontreque
ddt((ΦXt )∗)(f)|t=0=[X,Y](f),
d’oùlarelation(2.11).