Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance

172 Pages·2012·0.91 MB·French

Introduction au calcul stochastique
appliqué à la finance
Damien Lamberton Bernard Lapeyre

Avant-Propos
Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif.
Les premières concernent la correction d’erreurs plus ou moins importantes. L’erreur la plus
sérieuseétait uneaffirmation fausseconcernant les intégrales stochastiques(voir le résumédes
propriétésdel’intégralestochastiqueàlafindelasection4.1duchapitre3etl’exercice15,qui
nousaétéinspirépar MarcYOR).
Nous avons ajouté quelques sujets de problèmes à la fin du chapitre 4. Ces problèmes per-
mettentd’introduireetdetraiterdiversexemplesd’optionsexotiques.
Nous avons complété labibliographiedequelques titres récents,en particuliersur lethème
desmarchésincomplets,lechapitre7 nefaisantqu’effleurerlesujet.
Enfin, nous avons récrit les programmes de simulation et d’analyse numérique dans le lan-
gageC quiserépanddeplusenplusdans lesbanques.
Nous remercions les collègues qui nous ont signalé des erreurs ou des coquilles. Il en reste
hélas sûrement et nous espérons que les lecteurs de cette nouvelle édition voudront bien nous
les signaler.
DamienLambertonetBernardLapeyre.

Table des matières
Introduction 9
1 Leproblèmedesoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Lanotiond’arbitrageetlarelationdeparitécall-put . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 LemodèledeBlack-Scholesetses extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Plandulivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Modèles discrets 13
1 Leformalismedesmodèlesdiscrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Lesactifsfinanciers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Lesstratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Stratégiesadmissiblesetarbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Martingalesetarbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Martingalesettransforméesdemartingales . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Marchésfinanciers viables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Marchéscompletsetévaluationdesoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Marchéscomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Evaluationetcouverturedesactifsconditionnelsdanslesmarchéscom-
plets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Première approchedesoptionsaméricaines . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Problèmecorrigé : lemodèledeCox,RossetRubinstein . . . . . . . . . . . . 23
2 Problème d’arrêtoptimal etoptionsaméricaines 27
1 Notiondetempsd’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 EnveloppedeSnell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Décompositiondessurmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 EnveloppedeSnelletchaînesdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Applicationauxoptionsaméricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Exerciceetcouverturedesoptions américaines . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Options américainesetoptions européennes . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Mouvementbrownien etéquations différentielles stochastiques 39
1 Généralitéssur lesprocessus àtempscontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Lemouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Martingalesàtempscontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Intégralestochastiqueetcalculd’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Constructiondel’intégralestochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Calculd’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5
6 TABLEDESMATIÈRES
4.3 Exemplesd’utilisationdelaformuled’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Formuled’Itô multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Equationsdifférentiellesstochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Théorèmed’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Leprocessus d’Ornstein-Ulhenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Equationsdifférentiellesstochastiquesàvaleursvectorielles . . . . . . 59
5.4 Propriété de Markov des solutions d’équations différentielles stochas-
tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Modèle deBlack etScholes 67
1 Descriptiondu modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.1 L’évolution descours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2 Lesstratégiesautofinancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Changementdeprobabilité.Théorèmedereprésentationdesmartingales . . . . 69
2.1 Probabilitéséquivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 ThéorèmedeGirsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3 Théorèmedereprésentationdesmartingalesbrowniennes . . . . . . . . 70
3 EvaluationetcouverturedesoptionsdanslemodèledeBlack etScholes . . . . 71
3.1 Uneprobabilitésouslaquelle S˜ estunemartingale . . . . . . . . . . 71
t
3.2 Pricing . . . . . . . . . . . (cid:16). . (cid:17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Couverturedescallsetdesputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 OptionsaméricainesdanslemodèledeBlack-Scholes . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 Evaluationdesoptionsaméricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Puts perpétuels,prix critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Evaluationdes optionsetéquations auxdérivées partielles 95
1 Calculsdeprix d’optionseuropéennespourles modèlesdediffusion . . . . . . 95
1.1 Générateurinfinitésimald’unediffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.2 Calculsd’espérancesetéquationsauxdérivéespartielles . . . . . . . . 98
1.3 Lecas dumodèledeBlack etScholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.4 Equationauxdérivéespartiellessurunouvertbornéetcalculd’espérance101
2 Résolutionnumériquedeséquationsparaboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2 Laméthodedesdifférencesfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3 Leproblèmedesoptions américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1 Formulationdu problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Leput américaindans lemodèledeBlacketScholes . . . . . . . . . . 109
3.3 Laméthodebinomialepourlecalculdu putaméricain . . . . . . . . . 113
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Modèles detauxd’intérêt 117
1 Principesdelamodélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.1 Notiondecourbedestaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.2 Courbe destaux enavenirincertain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.3 Options surobligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2 Quelquesmodèlesusuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1 Lemodèle deVasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
TABLEDESMATIÈRES 7
2.2 Lemodèle deCox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.3 Autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Modèles d’actifsavecsauts 133
1 ProcessusdePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 Descriptiondel’évolutiondel’actifrisqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3 Evaluationetcouverturedesoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1 Lesstratégiesadmissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3 Prixdescalls etdesputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4 Couverturedescallsetdesputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 Simulationet alogrithmespour les modèlesfinanciers 149
1 Simulationetmodèlesfinanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.1 LaméthodedeMonteCarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.2 Simulation d’uneloi uniformesur[0;1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.3 Simulation desvariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.4 Simulation deprocessusstochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2 Quelquesalgorithmesutiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.1 Approximationdelafonctionderépartitiond’unegaussienne . . . . . 155
2.2 ImplémentationinformatiquedelaméthodedeBrennanetSchwartz . . 156
2.3 L’algorithmedeCoxRosspour lecalculduprix d’uneoptionaméricaine157
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Appendice 161
1 Variablesaléatoiresgaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.1 Gaussiennesréelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.2 Vecteursgaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2 Espéranceconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.1 Exemplesdesous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.2 Propriétésdel’espéranceconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3 Calculsd’espérancesconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3 Théorèmedeséparationdesconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Bibliographie 167

Introduction
Si,àl’égarddeplusieursquestionstraitéesdanscetteétude,
j’ai comparé les résultats de l’observation à ceux de la
théorie, ce n’était pas pour vérifier des formules établies
par les méthodes mathématiques,mais pourmontrerseule-
ment que le marché, à son insu, obéit à une loi qui le do-
mine :laloi dela probabilité.
L. BACHELIER,ThéoriedelaSpéculation(1900)
Le but dece livreest defournirune introductionaux techniquesprobabilistes nécessairesà
lacompréhensiondesmodèlesfinancierslespluscourants.Lesspécialistesdelafinanceonten
effet recours, depuis quelques années, à des outils mathématiques de plus en plus sophistiqués
(martingales,intégralestochastique)pour ladescriptiondesphénomènes etlamise aupointde
méthodesdecalcul.
En réalité, l’intervention du calcul des probabilités en modélisation financiére n’est pas ré-
cente : c’est en tentant de bâtir une “théorie de la spéculation” que Bachelier [Bac00] a décou-
vert,audébutdusiècle,l’objetmathématiqueappeléaujourd’hui“mouvementbrownien”.Mais
elle a pris une dimension nouvelle à partir de 1973, avec les travaux de Black-Scholes [BS73]
et Merton [Mer73] sur l’évaluation (“pricing” en anglais) et la couverture des options. Depuis,
tandisquesedéveloppaientlesmarchésd’options,lesméthodesdeBlack-ScholesetMertonont
étéperfectionnées,tantauniveaudelagénéralitéquedelaclartéetdelarigueurmathématique
etlathéorieparaîtsuffisammentavancéepour tenterdelarendreaccessibleàdesétudiants.
1 Le problème des options
Notreexposéestprincipalementcentrésurleproblèmedesoptions,quiaétélemoteurdela
théorieet restel’exemplele plusfrappant dela pertinencedes méthodesde calculstochastique
enfinance.Uneoptionestuntitredonnantàsondétenteurledroit,etnonl’obligationd’acheter
ou de vendre (selon qu’il s’agit d’une option d’achat ou de vente) une certaine quantité d’un
actif financier, à une date convenue et à un prix fixé d’avance. La description précise d’une
optionsefait àpartirdesélémentssuivants:
– la nature de l’option : on parle, suivant la terminologie anglo-saxonne, de call pour une
optiond’achat etdeput pouruneoptiondevente.
– l’actifsous-jacent, sur lequel portel’option : dans lapratique, il peut s’agird’uneaction,
d’uneobligation,d’unedeviseetc.
– lemontant,c’est-à-direlaquantitéd’actifsous-jacentà acheterou àvendre.
– l’échéance ou date d’expiration, qui limite la durée de vie de l’option; si l’option peut
êtreexercéeàn’importequelinstantprécédantl’échéance,onparled’optionaméricaine,
sil’option nepeutêtreexercéequ’àl’échéance,on parled’optioneuropéenne.
10 INTRODUCTIONAUCALCULSTOCHASTIQUEPOURLAFINANCE
– leprixd’exercice,quiestleprix(fixéd’avance)auquelsefaitlatransactionencasd’exer-
cicedel’option.
L’option, elle même, a un prix, appelé la prime. Lorsque l’option est cotée sur un marché or-
ganisé, la prime est donnée par le marché. En l’absence de cotation, le problème du calcul de
la prime se pose. Et, même pour une option cotée, il peut être intéressant de disposer d’une
formuleou d’unmodèle permettantdedétecterd’éventuellesanomaliesdemarché.
Examinons,pourfixerlesidées,lecasd’uncalleuropéen,d’échéanceT,suruneaction,dont
lecoursàladatetestdonnéparS .SoitKleprixd’exercice.Ilestclairquesi,àl’échéanceT,
t
leprixKestsupérieuraucoursS ,ledétenteurdel’optionn’apasintérêtàexercer.Parcontre,
T
si S > K, l’exercice de l’option permet à son détenteur de réaliser un profit égal à S -K, en
T T
achetantl’actionauprixKetenlarevendantsurlemarchéaucoursS .Onvoitqu’àl’échéance,
T
lavaleurdu callestdonnéeparlaquantité:
(S -K) = max(S -K;0):
T + T
Pourlevendeurdel’option,ils’agit,encasd’exercice,d’êtreenmesuredefourniruneactionau
prixK,et,parconséquentdepouvoirproduireàl’échéanceunerichesseégaleà(S -K) .Au
T +
moment de la ventede l’option, qu’on prendra pour origine des temps, le cours S est inconnu
T
etdeuxquestions seposent:
1. Combien faut-il faire payer à l’acheteur de l’option, autrement dit comment évaluer à
l’instant t = 0 une richesse (S - K) disponible à la date T ? C’est le problème du
T +
pricing.
2. Comment le vendeur, qui touche la prime à l’instant 0, parviendra-t-il à produire la ri-
chesse(S -K) àladateT ?C’est leproblème delacouverture.
T +
2 La notion d’arbitrage et la relation de parité call-put
La réponse aux deux questions qui précèdent ne peut se faire qu’à partir d’un minimum
d’hypothèses de modélisation. L’hypothèse de base, retenue dans tous les modèles, est que,
dans un marché suffisamment fluide, il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage, c’est-à-dire qu’il
est impossible de faire des profits sans prendre de risques. Nous traduirons cette hypothèse en
termes mathématiques dans le chapitre 1. Pour l’instant, nous nous contenterons de montrer
comment, à partir de cette simple hypothèse, on peut établir des relations entre les prix d’un
calletd’unput européendemêmeéchéanceT etdemême prixd’exerciceK,sur uneactionde
coursS àl’instant t.Nous supposeronsqu’il est possibled’emprunterou deplacerdel’argent
t
àun tauxconstantr.
Désignons par C et P les prix respectifs du call et du put à l’instant t. En l’absence d’op-
t t
portunité d’arbitrage, on a la relation suivante,valable à tout instant t < T et appelée “relation
deparitécall-put”:
C -P = S -Ke-r(T-t):
t t t
Pour faire comprendre la notion d’arbitrage, montrons comment on pourrait réaliser un profit
sansrisque sion avait,parexemple:
C -P > S -Ke-r(T-t):
t t t
Al’instantt,onachèteuneactionetunputetonvenduncall.Cetteopérationdégage,àl’instant
t,un profitnetégalà
C -P -S :
t t t