Introduction à l’arithmétique des algèbres de quaternions [preprint]

35 Pages·2004·0.261 MB·French

by  Isabelle Pays, Jean-Pierre Tignol

Introduction `a l’arithm´etique des alg`ebres de
quaternions
Isabelle Pays Jean-Pierre Tignol
Universit´e de Mons-Hainaut Universit´e Catholique de Louvain
B-7000 Mons B-1348 Louvain-la-Neuve
Lesprobl`emesdiophantiens,quiconsistent`atrouverlessolutionsennombresentiersde
certaines ´equations, sont parmi les plus fascinants et les plus anciens des math´ematiques,
et leur attrait ne s’est pas affaibli au cours des si`ecles, jusqu’`a l’´epoque actuelle. On
peut citer par exemple l’´equation X2 + Y2 = Z2, dont les Babyloniens connaissaient
d´ej`a un grand nombre de solutions, ou la c´el`ebre ´equation de Fermat Xn + Yn = Zn,
ou la d´emonstration de la conjecture de Mordell par Faltings en 1983. Certains de ces
probl`emes, qui concernent plus particuli`erement les formes quadratiques binaires, ont
donn´e naissance, entre les mains d’Euler, de Gauss, Kummer et Dedekind, `a une par-
tie importante de la th´eorie alg´ebrique des nombres. Euler avait d´ej`a observ´e que pour
r´esoudre les ´equations du type
X2 +Y2 = n,
il y avait avantage `a adjoindre `a l’anneau des entiers une racine carr´ee de −1, de mani`ere
`a factoriser le premier membre :
√ √
X2 +Y2 = (X + −1 Y)(X − −1 Y),
et `a transformer le probl`eme initial en un probl`eme de factorisation dans Z[i] :
√ √
n = (X + −1 Y)(X − −1 Y).
Une solution compl`ete s’obtient alors `a partir des propri´et´es arithm´etiques de Z[i] (voir
par exemple [7, Theorem 366]).
En 1886, Rudolf Lipschitz eut l’id´ee d’utiliser le mˆeme genre de proc´ed´e pour des
formes quadratiques quaternaires; on peut en effet factoriser par exemple :
X2 +Y2 +Z2 +T2 = (X +iY +jZ +kT)(X −iY −jZ −kT),
`a condition que les ´el´ements i,j,k satisfassent les relations :
i2 = j2 = k2 = −1 ij = k = −ji.
L’anneau Z[i,j,k] est alors non commutatif; c’est un sous-anneau de l’alg`ebre des qua-
ternions d´ecouverte par Hamilton en 1843. Un peu plus tard, Adolf Hurwitz montrait
que la th´eorie d´evelopp´ee par Lipschitz pouvait se simplifier de mani`ere tr`es significa-
tive si l’on admettait parmi les quaternions “entiers” le quaternion 1+i+j+k. Au d´ebut du
2
1
vingti`eme si`ecle, la notion d’anneau d’entiers (ou ordre) dans une alg`ebre non commuta-
tive est progressivement d´egag´ee en vue de jouer le mˆeme rˆole que les anneaux d’entiers
dans les corps de nombres. Apr`es ˆetre apparue `a l’´etat d’´ebauche dans le livre de Dick-
son [5, Chap.10], cette “arithm´etique non commutative” a connu un d´eveloppement tr`es
rapide, aboutissant en une dizaine d’ann´ees `a un r´esultat spectaculaire : la classification
des alg`ebres simples sur les corps de nombres par Brauer, Hasse, Noether et Albert, au
d´ebut des ann´ees 30 (voir le livre de Deuring [4, Chap.6]). Depuis, la th´eorie des ordres a
poursuivi sa croissance vigoureuse, trouvant mˆeme r´ecemment des applications pratiques
dans l’´elaboration de r´eseaux t´el´ephoniques (voir [2]).
Le but de ce travail est de pr´esenter les fondements de “l’arithm´etique non commu-
tative”, en introduisant la notion d’ordre dans une alg`ebre de quaternions et les notions
qui lui sont associ´ees, telles que discriminant, id´eal, quotient. L’objectif qui sert de fil
conducteur `a cette introduction est de pr´esenter une d´emonstration du th´eor`eme de La-
grange suivant lequel tout entier positif est somme de quatre carr´es. Il s’agit en r´ealit´e
plutˆot d’un pr´etexte pour donner au lecteur une visite guid´ee des bases d’une th´eorie qui
s’est d´evelopp´ee bien au-del`a de cette application particuli`ere. Au lecteur qui est press´e de
d´ecouvrircettejolied´emonstrationduth´eor`emedeLagrangeetquirisquedes’impatienter
en chemin, nous ne pouvons que recommander de consulter l’un des nombreux ouvrages
ou` celle-ci apparaˆıt sous une forme d´epouill´ee, par exemple [3, Chap.1], [7, Theorem 369]
ou [12, section 5.7].
Nous avons pris le parti de limiter notre discussion aux ordres des alg`ebres de qua-
ternions rationnelles, de mani`ere `a disposer d’hypoth`eses qui apportent certaines sim-
plifications sans d´enaturer les id´ees essentielles. Chaque section est suivie de notes qui
indiquent certains prolongements des r´esultats pr´esent´es. Nous esp´erons ainsi faciliter au
lecteur l’abord de textes plus avanc´es, tels que les livres de Reiner [11] ou de Vign´eras
[13].
Pour limiter les pr´e-requis autant que possible, nous commen¸cons par une ´etude
alg´ebrique des alg`ebres de quaternions. La deuxi`eme section introduit la notion d’ordre
dans les alg`ebres de quaternions rationnelles et la troisi`eme celles d’id´eaux et de quotients,
le principal r´esultat donnant des indications sur la structure du quotient d’un ordre par
l’id´eal des multiples d’un nombre premier. Ce r´esultat est utilis´e dans la section suivante
pour d´emontrer le th´eor`eme de Lagrange et plus g´en´eralement pour montrer que tout en-
tier positif est repr´esent´e par la forme norme d’un ordre principal, dans le cas ou` celle-ci
est d´efinie positive.
Ces notes reproduisent, avec un certain nombre de compl´ements, le texte du cours
donn´e `a Locarno en avril 1989 dans le cadre du CERFIM par le second auteur. Celui-ci
tient `a remercier le CERFIM, et en particulier Remo Moresi, pour son hospitalit´e, et
ses auditeurs pour leur patience et l’int´erˆet qu’ils ont bien voulu lui t´emoigner. Georges
Elencwajg, David Leep, Pasquale Mammone et Paul Van Praag ont bien voulu nous faire
partdeleurscommentairessuruneversionpr´eliminairedecetexte;nouslesenremercions
vivement.
2
1 Alg`ebres de quaternions
1. D´efinition : Soit F un corps commutatif de caract´eristique diff´erente de 2 (c’est-
`a-dire que 1 + 1 6= 0 dans F). On appelle alg`ebre de quaternions sur F toute alg`ebre
(associative) sur F admettant une base de quatre ´el´ements, not´es 1, i, j, k, qui satisfont
les relations suivantes : 1 est l’´el´ement neutre pour la multiplication, et
i2 = a.1, j2 = b.1, ij = k = −ji,
pour certains ´el´ements non nuls a,b ∈ F. Une telle alg`ebre est not´ee (a,b) . L’´el´ement 1
F
est g´en´eralement omis dans les produits; en particulier, on note habituellement f.1 = f
pour tout f ∈ F, ce qui conduit `a identifier F `a un sous-corps de (a,b) .
F
Bien suˆr, un choix arbitraire de produits d’´el´ements de base ne d´efinit g´en´eralement
pas une structure d’alg`ebre associative sur un espace vectoriel; si par exemple on avait
pos´e : j2 = i + b.1 au lieu de j2 = b.1, les relations conduiraient `a une contradiction
puisque de j(j2 − b.1) = (j2 − b.1)j on d´eduirait : ji = ij alors que l’on demande par
ailleurs ij = −ji; il faudrait donc avoir ij = ji = 0, d’ou` ab.1 = i2j2 = (ij)2 = 0, ce
qui contredit l’hypoth`ese que a et b sont non nuls. Pour justifier la d´efinition ci-dessus, et
prouver l’existence d’alg`ebres de quaternions (a,b) quels que soient les´el´ements a,b 6= 0,
F
ilsuffitdeconsid´ererdansl’alg`ebreM (F)desmatricescarr´eesd’ordre4surF lesmatrices
4
suivantes :
 
1 0 0 0
 0 1 0 0 
I est la matrice unit´e : I =  ,
 0 0 1 0 
0 0 0 1
     
0 a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 −ab
 1 0 0 0   0 0 0 −b   0 0 b 0 
I =  ,J =  ,K =  .
 0 0 0 a   1 0 0 0   0 −a 0 0 
0 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0
Unev´erificationdirectemontrequelesmatricesI,I,J etK satisfontlesrelationsrequises
ci-dessus de 1,i,j,k. Ainsi, la sous-alg`ebre de M (F) form´ee des combinaisons lin´eaires
4
de I,I,J et K est une alg`ebre de quaternions (a,b) .
F
Voici un exemple ou` la construction d’une alg`ebre de quaternions redonne une alg`ebre
bien connue par ailleurs : l’alg`ebre de quaternions (1,1) est isomorphe `a l’alg`ebre M (F)
F 2
des matrices carr´ees d’ordre 2 sur F. Pour le voir, il suffit de trouver une base 1, i, j, k
de M (F) dont les ´el´ements satisfont les relations ci-dessus, avec a = b = 1. Bien suˆr, 1
2
est la matrice unit´e :
(cid:18) (cid:19)
1 0
1 = ;
0 1
pour i et j, on peut prendre par exemple :
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0 0 1
i = ; j = .
0 −1 1 0
Vu les relations ci-dessus, on doit prendre alors
(cid:18) (cid:19)
0 1
k = ij = .
−1 0
3
Une v´erification directe montre que les matrices 1, i, j, k ci-dessus forment bien une base
de M (F), et qu’elles satisfont les relations :
2
i2 = 1; j2 = 1; k = −ji.
D`es lors, comme annonc´e, M (F) ’ (1,1) .
2 F
2. Conjugaison, trace et norme : Le conjugu´e d’un quaternion
x = x +x i+x j +x k ∈ (a,b)
0 1 2 3 F
est le quaternion
x = x −x i−x j −x k ∈ (a,b) .
0 1 2 3 F
La conjugaison est donc un op´erateur F-lin´eaire sur l’alg`ebre (a,b) , et les quaternions
F
invariants sous cet op´erateur sont ceux qui appartiennent `a F. Il est clair ´egalement que
x = x
pour tout x ∈ (a,b) . Un calcul direct montre de plus que, pour x,y ∈ (a,b) ,
F F
x.y = y.x.
D`es lors, pour tout x ∈ (a,b) , les quaternions
F
T(x) = x+x et N(x) = xx,
quel’onappellerespectivementtraceetnormedex,sontdes´el´ementsdeF.Explicitement,
pour x = x +x i+x j +x k ∈ (a,b) , on trouve :
0 1 2 3 F
T(x) = 2x et N(x) = x2 −ax2 −bx2 +abx2.
0 0 1 2 3
Les propri´et´es de la conjugaison entraˆınent les propri´et´es suivantes pour la trace et la
norme : T est une application F-lin´eaire de (a,b) vers F, c’est-`a-dire que
F
T(fx+gy) = fT(x)+gT(y)
pour f,g ∈ F et x,y ∈ (a,b) , et
F
N(xy) = N(x)N(y)
pour x,y ∈ (a,b) .
F
Consid´erons, `a titre d’exemple, l’alg`ebre de quaternions (1,1) , que l’on a identifi´ee
F
`a l’alg`ebre de matrices M (F) `a la fin du num´ero pr´ec´edent, par le choix de certaines
2
matrices i, j et k :
(cid:18) (cid:19)
x +x x +x
x +x i+x j +x k = 0 1 2 3 ,
0 1 2 3 x −x x −x
2 3 0 1
d’ou`, inversement, toute matrice d’ordre 2 s’identifie `a un quaternion de (1,1) :
F
(cid:18) (cid:19)
a b a+d a−d b+c b−c
= + i+ j + k.
c d 2 2 2 2
4
Sous cette identification, la conjugaison de (1,1) correspond `a l’op´erateur suivant sur
F
M (F) :
2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a b d −b
= ,
c d −c a
de sorte que la trace et la norme sont donn´ees par :
(cid:18)(cid:18) (cid:19)(cid:19) (cid:18)(cid:18) (cid:19)(cid:19)
a b a b
T = a+d et N = ad−bc.
c d c d
La trace est donc la trace usuelle des matrices d’ordre 2, et la norme est le d´eterminant.
La propri´et´e qu’une matrice est inversible si et seulement si son d´eterminant est non nul
admet un analogue dans les alg`ebres de quaternions g´en´erales :
Proposition 1 Un quaternion x ∈ (a,b) est inversible si et seulement si sa norme
F
N(x) ∈ F est non nulle.
D´emonstration: Si N(x) 6= 0, alors N(x)−1x est l’inverse de x, comme le montre un
calcul direct. R´eciproquement, si x est inversible, alors de la relation xx−1 = 1 on d´eduit :
N(x)N(x−1) = N(1) = 1,
ce qui montre que N(x) 6= 0.
3. Structure des alg`ebres de quaternions : A toute alg`ebre de quaternions A = (a,b) on
F
associe la quadrique Q d’´equation :
A
Q : X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0.
A 0 1 2 3
L’ensemble Q (F) des points de cette quadrique dans F4 est donc l’ensemble des quadru-
A
plets (x ,x ,x ,x ) ∈ F4 tels que N(x +x i+x j +x k) = 0. En identifiant A `a F4 au
0 1 2 3 0 1 2 3
moyendelabasestandard(1,i,j,k),c’est-`a-direenidentifiantx = x +x i+x j+x k ∈ A
0 1 2 3
au quadruplet (x ,x ,x ,x ) ∈ F4, on peut donc aussi ´ecrire :
0 1 2 3
Q (F) = {x ∈ A | N(x) = 0}.
A
La structure de l’alg`ebre A d´epend de la mani`ere suivante de l’ensemble Q (F) :
A
Th´eor`eme 1 Si Q (F) = {0} (= {(0,0,0,0)}), alors A est une alg`ebre `a division (ou,
A
en d’autres termes, un corps non commutatif); si Q (F) 6= {0}, alors A est isomorphe `a
A
l’alg`ebre M (F) des matrices carr´ees d’ordre 2.
2
D´emonstration: La premi`ere affirmation est claire, car si Q (F) = {0}, alors la norme
A
de tout ´el´ement non nul de A est non nulle, donc, vu la proposition 1, tout ´el´ement non
nuldeAestinversible.Pour´etablirlasecondeaffirmation,nousauronsbesoindequelques
r´esultats pr´eliminaires :
Lemme 1 Q (F) ne contient pas de sous-F-espace vectoriel de dimension strictement
A
sup´erieure `a 2.
5
D´emonstration: Soit B la forme bilin´eaire sur F4 associ´ee `a la quadrique Q :
A
B(x,y) = x y −ax y −bx y +abx y
0 0 1 1 2 2 3 3
pour x = (x ,x ,x ,x ) et y = (y ,y ,y ,y ). (De mani`ere ´equivalente, en identifiant F4
0 1 2 3 0 1 2 3
`a A, on peut d´efinir B comme la forme bilin´eaire associ´ee `a la forme quadratique N sur
A :
1 1
B(x,y) = [N(x+y)−N(x)−N(y)] = (xy +yx).)
2 2
Dire qu’un sous-espace V est contenu dans Q (F) revient `a dire que la forme quadratique
A
N, donc aussi la forme bilin´eaire B, s’annule sur V ; le sous-espace V est alors contenu
dans son orthogonal V⊥ pour la forme B, d’ou`
dimV ≤ dimV⊥.
Or, comme B est non d´eg´en´er´ee, on a
dimV⊥ = dimA−dimV;
d`es lors, si V ⊆ Q (F), alors 2dimV ≤ dimA = 4.
A
Pour achever la d´emonstration du th´eor`eme 1, nous aurons encore besoin du lemme
suivant :
Lemme 2 Pour tout x ∈ A, x 6= 0, on peut trouver y ∈ A tel que N(xy +yx) 6= 0.
D´emonstration: Soit x = x +x i+x j +x k; un calcul direct donne :
0 1 2 3
xi+ix = 2(x i+x a),
0 1
donc N(xi+ix) = −4a(x2−ax2). Cela prouve que l’on peut choisir y = i si x2−ax2 6= 0.
0 1 0 1
De mˆeme, N(xj+jx) = −4b(x2−bx2), de sorte que l’on peut choisir y = j si x2−bx2 6= 0,
0 2 0 2
et on peut choisir y = k si x2 +abx2 6= 0. Le seul cas ou` l’on n’a pas encore choisi y est
0 3
donc celui ou`
x2 = ax2 = bx2 = −abx2;
0 1 2 3
mais alors
N(x) = x2 −ax2 −bx2 +abx2 = −2x2,
0 1 2 3 0
donc N(x) 6= 0, sinon les relations pr´ec´edentes donnent : x = x = x = x = 0, d’ou`
0 1 2 3
x = 0, contrairement `a l’hypoth`ese. On peut alors choisir y = 1.
Nous pouvons `a pr´esent terminer la d´emonstration du th´eor`eme 1. Supposons donc
que Q (F) 6= {0}; il s’agit de montrer que A est isomorphe `a M (F). Consid´erons pour
A 2
cela un ´el´ement q 6= 0 dans Q (F), et le sous-espace vectoriel
A
Aq = {xq | x ∈ A} ⊆ A.
Ce sous-espace est contenu dans Q (F), car de N(q) = 0 on d´eduit :
A
N(xq) = N(x)N(q) = 0.
6
La proposition 1 montre alors que dimAq ≤ 2. Consid´erons encore l’application
λ : A → End Aq
F
qui envoie tout ´el´ement x ∈ A sur la multiplication `a gauche par x :
λ : Aq → Aq
x
yq 7→ xyq.
L’ application λ est un homomorphisme d’alg`ebres. D`es lors, si x est dans le noyau Ker λ,
alors, quel que soit l’´el´ement y ∈ A, on a aussi
N(xy +yx) = (xy +yx)(xy +yx) ∈ Ker λ,
puisque
λ = (λ λ +λ λ )λ ,
N(xy+yx) x y y x (xy+yx)
et que le second membre est nul si λ = 0. Si x 6= 0, on peut, d’apr`es le lemme pr´ec´edent,
x
trouver y ∈ A tel que N(xy+yx) 6= 0; alors le noyau de λ contient un ´el´ement non nul de
F, ce qui est impossible. Cette contradiction montre que l’homomorphisme λ est injectif;
par cons´equent,
dimA ≤ dimEnd (Aq).
F
Par ailleurs, comme dimAq ≤ 2, on a
dimEnd (Aq) ≤ 4 = dimA;
F
d`es lors, dimEnd (Aq) = dimA. Cela entraˆıne que dimAq = 2 et que λ est un isomor-
F
phisme :
A ’ End (Aq).
F
Comme le choix d’une base de Aq permet d’´etablir un isomorphisme entre End (Aq) et
F
M (F), le th´eor`eme est d´emontr´e.
2
4. Corps de base particuliers : L’exemple classique d’une alg`ebre de quaternions `a division
est duˆ `a Hamilton (1843) : c’est (−1,−1) . Il s’agit bien d’une alg`ebre `a division, d’apr`es
R
le th´eor`eme 1, puisque la quadrique correspondante
X2 +X2 +X2 +X2 = 0
0 1 2 3
n’a pas de point non nul dans R4. Il n’est pas difficile de voir que toute alg`ebre de
quaternions sur R est isomorphe soit `a (−1,−1) , soit `a M (R); en effet, si a > 0 ou
R 2
b > 0, alors la quadrique
X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0
0 1 2 3
admet des points non nuls dans R4, et l’alg`ebre (a,b) est donc isomorphe `a M (R). Par
√R √ 2√
ailleurs, si a < 0 et b < 0, alors les ´el´ements i0 = −ai, j0 = −bj et k0 = abk de
(a,b) satisfont :
R
i02 = j02 = k02 = −1 et i0j0 = k0 = −j0i0,
donc (1,i0,j0,k0) est base d’une alg`ebre de quaternions (−1,−1) . Par cons´equent,
R
7
(a,b) ’ M (R) si a > 0 ou b > 0
R 2
(a,b) ’ (−1,−1) si a < 0 et b < 0.
R R
Le th´eor`eme 1 permet aussi de voir que, pour certains choix du corps de base F, toute
alg`ebre de quaternions (a,b) est isomorphe `a M (F) :
F 2
Corollaire 1 Toute alg`ebre de quaternions sur le corps C des nombres complexes ou sur
un corps fini est isomorphe `a l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre 2.
D´emonstration: Quels que soient les nombres complexes a,b non nuls, la quadrique
X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0
0 1 2 3
√
poss`ede des points non nuls dans C4 (par exemple ( a,1,0,0)); on en d´eduit, par le
th´eor`eme 1, que toute alg`ebre de quaternions (a,b) est isomorphe `a M (C).
C 2
Le principe de la d´emonstration est le mˆeme pour les corps finis. Soit F le corps fini
q
`a q ´el´ements (avec q impair, puisque la caract´eristique est toujours suppos´ee diff´erente de
2); il s’agit de prouver que pour a,b ∈ F× (= F r{0}), la quadrique
q q
X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0
0 1 2 3
poss`ede des points non nuls dans F4. Commen¸cons par compter le nombre de carr´es de
q
F : l’ensemble des carr´es non nuls est l’image de l’homomorphisme d’´el´evation au carr´e :
q
F× → F×
q q
x 7→ x2.
Comme le noyau de cet homomorphisme compte deux ´el´ements (`a savoir +1 et −1), le
nombre d’´el´ements de l’image est la moiti´e du nombre d’´el´ements de F×; il y a donc
q
q−1 carr´es non nuls dans F . En ajoutant 0, on trouve q+1 carr´es au total. Le nombre
2 q 2
d’´el´ements de chacun des ensembles
{x2 −a | x ∈ F } ⊆ F et {bx2 | x ∈ F } ⊆ F
0 0 q q 2 2 q q
est donc q+1. D`es lors, ces ensembles ne peuvent pas ˆetre disjoints, et l’on peut trouver
2
x ,x ∈ F tels que
0 2 q
x2 −a = bx2.
0 2
Le point (x ,1,x ,0) est alors sur la quadrique.
0 2
Sur le corps Q des nombres rationnels (qui nous occupera particuli`erement dans la
suite), il est clair qu’il existe des alg`ebres de quaternions `a division; en effet, puisque la
quadrique
X2 +X2 +X2 +X2 = 0
0 1 2 3
n’a pas de point non nul dans R4, elle n’en a pas non plus dans Q4, donc l’alg`ebre
(−1,−1) est `a division. Il convient de remarquer que le raisonnement par lequel on a
Q
prouv´e ci-dessus que toute alg`ebre de quaternions sur R est isomorphe `a M (R) ou `a
2
(−1,−1) ne s’applique pas sur Q, car les nombres rationnels positifs ne sont pas tous
R
des carr´es. On peut d’ailleurs montrer qu’il y a des nombres rationnels a,b > 0 tels
que l’alg`ebre (a,b) soit `a division. La classification des alg`ebres de quaternions sur Q
Q
est beaucoup plus malais´ee que sur R; on verra plus loin que les classes d’isomorphie
d’alg`ebres de quaternions sur Q sont en correspondance bi-univoque avec les nombres
rationnels positifs qui sont produits de nombres premiers deux `a deux distincts. (Voir les
notes de la section 2).
8
5. Notes : Les relations entre l’alg`ebre de quaternions A et la quadrique Q se prolongent
A
bien au-del`a de ce que l’on a fait voir ci-dessus. On pourra s’amuser `a prouver, `a titre
d’exercice, que la quadrique Q , consid´er´ee comme quadrique projective dans l’espace
A
projectif `a trois dimensions, est doublement r´egl´ee, les droites passant par un point q
´etant les id´eaux `a gauche et `a droite Aq et qA. (Voir aussi l’article de Witt [14]).
Pourplusded´etailssurlesalg`ebresdequaternions,onconsulteraavecprofitlepremier
chapitredulivredeBlanchard[3],ou`l’ontrouvera´egalementuneextensiondelad´efinition
des alg`ebres de quaternions aux corps de caract´eristique 2, ou le premier chapitre du livre
de Vign´eras [13]. Pour les relations avec la th´eorie alg´ebrique des formes quadratiques, le
livre de Lam [8] (en particulier le chapitre 3) est une excellente r´ef´erence.
Le raisonnement utilis´e dans la d´emonstration du th´eor`eme 1 pour prouver l’injec-
tivit´e de l’homomorphisme λ montre plus g´en´eralement que les alg`ebres de quaternions
ne contiennent pas d’id´eal bilat`ere non trivial : on dit que ces alg`ebres sont simples.
Le th´eor`eme 1 est un cas tr`es particulier d’un th´eor`eme de structure pour les alg`ebres
simples de dimension finie, duˆ `a J.H.M. Wedderburn, suivant lequel ces alg`ebres sont
isomorphes `a une alg`ebre de la forme M (D), ou` D est une alg`ebre `a division. Pour la
n
th´eorie g´en´erale des alg`ebres simples, on peut consulter, outre le livre de Blanchard [3]
d´ej`a cit´e, le chapitre 12 du livre de Pierce [10], le livre de Draxl [6] ou les r´ef´erences
classiques : Albert [1] ou Deuring [4].
2 Ordres dans les alg`ebres de quaternions
Dans cette section, A d´esigne une alg`ebre de quaternions (`a division ou non) sur le
corps Q des nombres rationnels.
1. D´efinition : Un ordre de A (sur Z) est un sous-anneau Λ de A, de la forme :
Λ = {a e +a e +a e +a e | a ...,a ∈ Z},
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
ou` (e ,e ,e ,e ) est une base de A sur Q.
1 2 3 4
Ainsi, si (e ,e ,e ,e ) est une base de A sur Q, l’ensemble des combinaisons lin´eaires
1 2 3 4
`a coefficients entiers : Λ = {a e + a e + a e + a e | a ,...,a ∈ Z} est un ordre de
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
A si et seulement si cet ensemble est un anneau; il suffit ´evidemment de v´erifier que les
produits d’´el´ements de base e e appartiennent `a Λ, et que l’unit´e 1 ∈ A est dans Λ.
i j
Par exemple, si (1,i,j,k) est la base standard de l’alg`ebre de quaternions A = (a,b) ,
Q
et si α, β sont des entiers tels que α2a ∈ Z et β2b ∈ Z, alors l’ensemble des combinaisons
lin´eaires `a coefficients entiers de 1,αi,βj,αβk est un ordre de A, comme on le v´erifie
ais´ement.
Il est clair que la base (e ,e ,e ,e ) dont il est question dans la d´efinition n’est pas
1 2 3 4
d´etermin´ee de mani`ere unique par Λ, mais il n’est pas difficile de trouver une condition
pour que deux bases d´efinissent le mˆeme ordre. Si (f ,f ,f ,f ) est une autre base de A,
1 2 3 4
alors on peut former la matrice de changement de base (a ) ∈ M (Q), d´efinie par
ij 1≤i,j≤4 4
les relations :
4
X
f = e a pour j = 1,...,4.
j i ij
i=1
Pour que le Z-module {a f + ··· + a f | a ,...,a ∈ Z} soit contenu dans Λ, il faut
1 1 4 4 1 4
et il suffit que chacun des ´el´ements de base f soit dans Λ, ce qui revient `a : a ∈ Z
i ij
9
pour i,j = 1,...,4, ou : (a ) ∈ M (Z). De mˆeme, comme l’expression de e ,...,e
ij 1≤i,j≤4 4 1 4
comme combinaisons lin´eaires de f ,...,f s’obtient `a l’aide de la matrice inverse de (a ),
1 4 ij
l’inclusion r´eciproque
Λ ⊆ {a f +a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
est ´equivalente `a la condition que la matrice inverse de (a ) soit dans M (Z). Par cons´e-
ij 4
quent, (f ,f ,f ,f ) est une autre base de A telle que
1 2 3 4
Λ = {a f +a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
sietseulementsilamatricedepassage(a )delabase(e ,e ,e ,e )`alabase(f ,f ,f ,f )
ij 1 2 3 4 1 2 3 4
est dans GL (Z), le groupe multiplicatif des matrices de M (Z) qui sont inversibles (dans
4 4
M (Z)).
4
On se propose de montrer pour commencer que l’on peut toujours supposer, quitte `a
changer de base, que l’unit´e 1 ∈ A est un des ´el´ements de base, disons e = 1.
1
Lemme 3 Si Λ est un ordre de A (sur Z), alors Λ∩Q = Z et
Λ = {a 1+a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 2 2 3 3 4 4 1 4
pour certains ´el´ements f ,f ,f ∈ A tels que (1,f ,f ,f ) soit une base de A sur Q.
2 3 4 2 3 4
D´emonstration: Puisque Λ est un module sur Z contenant 1, il contient Z; l’inclusion
Z ⊆ Λ∩Q est donc claire. Pour d´emontrer l’inclusion r´eciproque, on ´ecrit
Λ = {a e +a e +a e +a e | a ...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
pour une certaine base (e ,e ,e ,e ) de A sur Q, et on consid`ere un ´el´ement u ∈ Λ∩Q.
1 2 3 4
Soit u = a avec a,b ∈ Z, b 6= 0. Quitte `a diviser a et b par leur plus grand commun
b
diviseur, on peut supposer que a et b sont premiers entre eux. Il s’agit de prouver que
u ∈ Z, c’est-`a-dire que b = ±1. C’est clair si u = 0; on peut donc supposer de plus a 6= 0.
Comme u ∈ Λ, on a :
a
= a e +a e +a e +a e
1 1 2 2 3 3 4 4
b
pour certains a ,a ,a ,a ∈ Z. Puisque Λ est un anneau contenant u, il contient aussi
1 2 3 4
toutes les puissances de u, donc (a)n ∈ Λ pour tout entier n > 0. Or, en multipliant par
b
(a)n−1 les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente, on trouve :
b
(cid:16)a(cid:17)n an−1a an−1a an−1a an−1a
1 2 3 4
= e + e + e + e .
b bn−1 1 bn−1 2 bn−1 3 bn−1 4
D’apr`es la d´efinition de Λ, une combinaison lin´eaire de (e ,e ,e ,e ) ne peutˆetre contenue
1 2 3 4
dans Λ que si tous ses coefficients sont dans Z; d`es lors,
bn−1 divise an−1a pour i = 1,...,4 et pour tout n > 0.
i
Comme b et a sont premiers entre eux, il en est de mˆeme de bn−1 et an−1, donc la relation
pr´ec´edente donne :
bn−1 divise a pour i = 1,...,4 et pour tout n > 0.
i
10