Introduction à l’arithmétique des algèbres de quaternions [preprint]

35 Pages·2004·0.26 MB·French

by  Isabelle Pays

La proposition 1 montre alors que dimAq ≤ 2. Consid´erons encore l’application
λ : A → End Aq
F
qui envoie tout ´el´ement x ∈ A sur la multiplication `a gauche par x :
λ : Aq → Aq
x
yq 7→ xyq.
L’ application λ est un homomorphisme d’alg`ebres. D`es lors, si x est dans le noyau Ker λ,
alors, quel que soit l’´el´ement y ∈ A, on a aussi
N(xy +yx) = (xy +yx)(xy +yx) ∈ Ker λ,
puisque
λ = (λ λ +λ λ )λ ,
N(xy+yx) x y y x (xy+yx)
et que le second membre est nul si λ = 0. Si x 6= 0, on peut, d’apr`es le lemme pr´ec´edent,
x
trouver y ∈ A tel que N(xy+yx) 6= 0; alors le noyau de λ contient un ´el´ement non nul de
F, ce qui est impossible. Cette contradiction montre que l’homomorphisme λ est injectif;
par cons´equent,
dimA ≤ dimEnd (Aq).
F
Par ailleurs, comme dimAq ≤ 2, on a
dimEnd (Aq) ≤ 4 = dimA;
F
d`es lors, dimEnd (Aq) = dimA. Cela entraˆıne que dimAq = 2 et que λ est un isomor-
F
phisme :
A ’ End (Aq).
F
Comme le choix d’une base de Aq permet d’´etablir un isomorphisme entre End (Aq) et
F
M (F), le th´eor`eme est d´emontr´e.
2
4. Corps de base particuliers : L’exemple classique d’une alg`ebre de quaternions `a division
est duˆ `a Hamilton (1843) : c’est (−1,−1) . Il s’agit bien d’une alg`ebre `a division, d’apr`es
R
le th´eor`eme 1, puisque la quadrique correspondante
X2 +X2 +X2 +X2 = 0
0 1 2 3
n’a pas de point non nul dans R4. Il n’est pas difficile de voir que toute alg`ebre de
quaternions sur R est isomorphe soit `a (−1,−1) , soit `a M (R); en effet, si a > 0 ou
R 2
b > 0, alors la quadrique
X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0
0 1 2 3
admet des points non nuls dans R4, et l’alg`ebre (a,b) est donc isomorphe `a M (R). Par
√R √ 2√
ailleurs, si a < 0 et b < 0, alors les ´el´ements i0 = −ai, j0 = −bj et k0 = abk de
(a,b) satisfont :
R
i02 = j02 = k02 = −1 et i0j0 = k0 = −j0i0,
donc (1,i0,j0,k0) est base d’une alg`ebre de quaternions (−1,−1) . Par cons´equent,
R
7
(a,b) ’ M (R) si a > 0 ou b > 0
R 2
(a,b) ’ (−1,−1) si a < 0 et b < 0.
R R
Le th´eor`eme 1 permet aussi de voir que, pour certains choix du corps de base F, toute
alg`ebre de quaternions (a,b) est isomorphe `a M (F) :
F 2
Corollaire 1 Toute alg`ebre de quaternions sur le corps C des nombres complexes ou sur
un corps fini est isomorphe `a l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre 2.
D´emonstration: Quels que soient les nombres complexes a,b non nuls, la quadrique
X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0
0 1 2 3
√
poss`ede des points non nuls dans C4 (par exemple ( a,1,0,0)); on en d´eduit, par le
th´eor`eme 1, que toute alg`ebre de quaternions (a,b) est isomorphe `a M (C).
C 2
Le principe de la d´emonstration est le mˆeme pour les corps finis. Soit F le corps fini
q
`a q ´el´ements (avec q impair, puisque la caract´eristique est toujours suppos´ee diff´erente de
2); il s’agit de prouver que pour a,b ∈ F× (= F r{0}), la quadrique
q q
X2 −aX2 −bX2 +abX2 = 0
0 1 2 3
poss`ede des points non nuls dans F4. Commen¸cons par compter le nombre de carr´es de
q
F : l’ensemble des carr´es non nuls est l’image de l’homomorphisme d’´el´evation au carr´e :
q
F× → F×
q q
x 7→ x2.
Comme le noyau de cet homomorphisme compte deux ´el´ements (`a savoir +1 et −1), le
nombre d’´el´ements de l’image est la moiti´e du nombre d’´el´ements de F×; il y a donc
q
q−1 carr´es non nuls dans F . En ajoutant 0, on trouve q+1 carr´es au total. Le nombre
2 q 2
d’´el´ements de chacun des ensembles
{x2 −a | x ∈ F } ⊆ F et {bx2 | x ∈ F } ⊆ F
0 0 q q 2 2 q q
est donc q+1. D`es lors, ces ensembles ne peuvent pas ˆetre disjoints, et l’on peut trouver
2
x ,x ∈ F tels que
0 2 q
x2 −a = bx2.
0 2
Le point (x ,1,x ,0) est alors sur la quadrique.
0 2
Sur le corps Q des nombres rationnels (qui nous occupera particuli`erement dans la
suite), il est clair qu’il existe des alg`ebres de quaternions `a division; en effet, puisque la
quadrique
X2 +X2 +X2 +X2 = 0
0 1 2 3
n’a pas de point non nul dans R4, elle n’en a pas non plus dans Q4, donc l’alg`ebre
(−1,−1) est `a division. Il convient de remarquer que le raisonnement par lequel on a
Q
prouv´e ci-dessus que toute alg`ebre de quaternions sur R est isomorphe `a M (R) ou `a
2
(−1,−1) ne s’applique pas sur Q, car les nombres rationnels positifs ne sont pas tous
R
des carr´es. On peut d’ailleurs montrer qu’il y a des nombres rationnels a,b > 0 tels
que l’alg`ebre (a,b) soit `a division. La classification des alg`ebres de quaternions sur Q
Q
est beaucoup plus malais´ee que sur R; on verra plus loin que les classes d’isomorphie
d’alg`ebres de quaternions sur Q sont en correspondance bi-univoque avec les nombres
rationnels positifs qui sont produits de nombres premiers deux `a deux distincts. (Voir les
notes de la section 2).
8
5. Notes : Les relations entre l’alg`ebre de quaternions A et la quadrique Q se prolongent
A
bien au-del`a de ce que l’on a fait voir ci-dessus. On pourra s’amuser `a prouver, `a titre
d’exercice, que la quadrique Q , consid´er´ee comme quadrique projective dans l’espace
A
projectif `a trois dimensions, est doublement r´egl´ee, les droites passant par un point q
´etant les id´eaux `a gauche et `a droite Aq et qA. (Voir aussi l’article de Witt [14]).
Pourplusded´etailssurlesalg`ebresdequaternions,onconsulteraavecprofitlepremier
chapitredulivredeBlanchard[3],ou`l’ontrouvera´egalementuneextensiondelad´efinition
des alg`ebres de quaternions aux corps de caract´eristique 2, ou le premier chapitre du livre
de Vign´eras [13]. Pour les relations avec la th´eorie alg´ebrique des formes quadratiques, le
livre de Lam [8] (en particulier le chapitre 3) est une excellente r´ef´erence.
Le raisonnement utilis´e dans la d´emonstration du th´eor`eme 1 pour prouver l’injec-
tivit´e de l’homomorphisme λ montre plus g´en´eralement que les alg`ebres de quaternions
ne contiennent pas d’id´eal bilat`ere non trivial : on dit que ces alg`ebres sont simples.
Le th´eor`eme 1 est un cas tr`es particulier d’un th´eor`eme de structure pour les alg`ebres
simples de dimension finie, duˆ `a J.H.M. Wedderburn, suivant lequel ces alg`ebres sont
isomorphes `a une alg`ebre de la forme M (D), ou` D est une alg`ebre `a division. Pour la
n
th´eorie g´en´erale des alg`ebres simples, on peut consulter, outre le livre de Blanchard [3]
d´ej`a cit´e, le chapitre 12 du livre de Pierce [10], le livre de Draxl [6] ou les r´ef´erences
classiques : Albert [1] ou Deuring [4].
2 Ordres dans les alg`ebres de quaternions
Dans cette section, A d´esigne une alg`ebre de quaternions (`a division ou non) sur le
corps Q des nombres rationnels.
1. D´efinition : Un ordre de A (sur Z) est un sous-anneau Λ de A, de la forme :
Λ = {a e +a e +a e +a e | a ...,a ∈ Z},
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
ou` (e ,e ,e ,e ) est une base de A sur Q.
1 2 3 4
Ainsi, si (e ,e ,e ,e ) est une base de A sur Q, l’ensemble des combinaisons lin´eaires
1 2 3 4
`a coefficients entiers : Λ = {a e + a e + a e + a e | a ,...,a ∈ Z} est un ordre de
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
A si et seulement si cet ensemble est un anneau; il suffit ´evidemment de v´erifier que les
produits d’´el´ements de base e e appartiennent `a Λ, et que l’unit´e 1 ∈ A est dans Λ.
i j
Par exemple, si (1,i,j,k) est la base standard de l’alg`ebre de quaternions A = (a,b) ,
Q
et si α, β sont des entiers tels que α2a ∈ Z et β2b ∈ Z, alors l’ensemble des combinaisons
lin´eaires `a coefficients entiers de 1,αi,βj,αβk est un ordre de A, comme on le v´erifie
ais´ement.
Il est clair que la base (e ,e ,e ,e ) dont il est question dans la d´efinition n’est pas
1 2 3 4
d´etermin´ee de mani`ere unique par Λ, mais il n’est pas difficile de trouver une condition
pour que deux bases d´efinissent le mˆeme ordre. Si (f ,f ,f ,f ) est une autre base de A,
1 2 3 4
alors on peut former la matrice de changement de base (a ) ∈ M (Q), d´efinie par
ij 1≤i,j≤4 4
les relations :
4
X
f = e a pour j = 1,...,4.
j i ij
i=1
Pour que le Z-module {a f + ··· + a f | a ,...,a ∈ Z} soit contenu dans Λ, il faut
1 1 4 4 1 4
et il suffit que chacun des ´el´ements de base f soit dans Λ, ce qui revient `a : a ∈ Z
i ij
9
pour i,j = 1,...,4, ou : (a ) ∈ M (Z). De mˆeme, comme l’expression de e ,...,e
ij 1≤i,j≤4 4 1 4
comme combinaisons lin´eaires de f ,...,f s’obtient `a l’aide de la matrice inverse de (a ),
1 4 ij
l’inclusion r´eciproque
Λ ⊆ {a f +a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
est ´equivalente `a la condition que la matrice inverse de (a ) soit dans M (Z). Par cons´e-
ij 4
quent, (f ,f ,f ,f ) est une autre base de A telle que
1 2 3 4
Λ = {a f +a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
sietseulementsilamatricedepassage(a )delabase(e ,e ,e ,e )`alabase(f ,f ,f ,f )
ij 1 2 3 4 1 2 3 4
est dans GL (Z), le groupe multiplicatif des matrices de M (Z) qui sont inversibles (dans
4 4
M (Z)).
4
On se propose de montrer pour commencer que l’on peut toujours supposer, quitte `a
changer de base, que l’unit´e 1 ∈ A est un des ´el´ements de base, disons e = 1.
1
Lemme 3 Si Λ est un ordre de A (sur Z), alors Λ∩Q = Z et
Λ = {a 1+a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 2 2 3 3 4 4 1 4
pour certains ´el´ements f ,f ,f ∈ A tels que (1,f ,f ,f ) soit une base de A sur Q.
2 3 4 2 3 4
D´emonstration: Puisque Λ est un module sur Z contenant 1, il contient Z; l’inclusion
Z ⊆ Λ∩Q est donc claire. Pour d´emontrer l’inclusion r´eciproque, on ´ecrit
Λ = {a e +a e +a e +a e | a ...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
pour une certaine base (e ,e ,e ,e ) de A sur Q, et on consid`ere un ´el´ement u ∈ Λ∩Q.
1 2 3 4
Soit u = a avec a,b ∈ Z, b 6= 0. Quitte `a diviser a et b par leur plus grand commun
b
diviseur, on peut supposer que a et b sont premiers entre eux. Il s’agit de prouver que
u ∈ Z, c’est-`a-dire que b = ±1. C’est clair si u = 0; on peut donc supposer de plus a 6= 0.
Comme u ∈ Λ, on a :
a
= a e +a e +a e +a e
1 1 2 2 3 3 4 4
b
pour certains a ,a ,a ,a ∈ Z. Puisque Λ est un anneau contenant u, il contient aussi
1 2 3 4
toutes les puissances de u, donc (a)n ∈ Λ pour tout entier n > 0. Or, en multipliant par
b
(a)n−1 les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente, on trouve :
b
(cid:16)a(cid:17)n an−1a an−1a an−1a an−1a
1 2 3 4
= e + e + e + e .
b bn−1 1 bn−1 2 bn−1 3 bn−1 4
D’apr`es la d´efinition de Λ, une combinaison lin´eaire de (e ,e ,e ,e ) ne peutˆetre contenue
1 2 3 4
dans Λ que si tous ses coefficients sont dans Z; d`es lors,
bn−1 divise an−1a pour i = 1,...,4 et pour tout n > 0.
i
Comme b et a sont premiers entre eux, il en est de mˆeme de bn−1 et an−1, donc la relation
pr´ec´edente donne :
bn−1 divise a pour i = 1,...,4 et pour tout n > 0.
i
10
Or, il y a au moins un des a qui est non nul, puisque u 6= 0; cette derni`ere relation n’est
i
donc possible que si b = ±1, ce qui d´emontre la premi`ere partie de l’´enonc´e.
Pour d´emontrer la seconde partie, on commence par ´ecrire
1 = c e +c e +c e +c e
1 1 2 2 3 3 4 4
pour certains c ,c ,c ,c ∈ Z. Ces entiers sont premiers entre eux, car s’ils admettaient un
1 2 3 4
commun diviseur d 6= ±1, alors en divisant par d les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente,
on obtiendrait : 1 ∈ Λ, contrairement `a la partie de l’´enonc´e d´ej`a d´emontr´ee. Comme
d
c ,c ,c ,c sont premiers entre eux, on peut, d’apr`es le “th´eor`eme de Bezout”, trouver
1 2 3 4
des entiers d ,d ,d ,d tels que
1 2 3 4
c d +c d +c d +c d = 1.
1 1 2 2 3 3 4 4
Consid´erons alors l’application φ : Λ → Z d´efinie par :
φ(a e +a e +a e +a e ) = a d +a d +a d +a d .
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4
Comme cette application est Z-lin´eaire, son noyau est un sous-module de Λ. De plus,
comme φ(1) = 1, un calcul direct montre que pour tout λ ∈ Λ on a
λ−φ(λ).1 ∈ Ker φ.
D`es lors, l’´egalit´e :
λ = φ(λ).1+(λ−φ(λ).1)
montre que tout ´el´ement de Λ se d´ecompose en somme d’un ´el´ement de Z et d’un ´el´ement
de Ker φ. Cette d´ecomposition est unique, car si
a.1+κ = a0.1+κ0
avec a,a0 ∈ Z et κ,κ0 ∈ Ker φ, alors, en appliquant φ aux deux membres de cette ´egalit´e
on obtient : a = a0, et l’on en d´eduit imm´ediatement en revenant `a l’´egalit´e pr´ec´edente :
κ = κ0.
Les arguments pr´ec´edents montrent que
Λ = Z.1⊕ Ker φ.
D`es lors, si (f ,f ,f ) est une base de Ker φ (comme module sur Z), alors (1,f ,f ,f )
2 3 4 2 3 4
est une base de Λ et la d´emonstration est achev´ee.
Proposition 2 Tout ordre Λ est stable par conjugaison : Λ = Λ; de plus, la trace et la
norme de tout ´el´ement d’un ordre sont entiers : pour tout λ ∈ Λ, T(λ) ∈ Z et N(λ) ∈ Z.
D´emonstration: D’apr`es le lemme, on peut ´ecrire :
Λ = {a 1+a f +a f +a f | a ,...,a ∈ Z}
1 2 2 3 3 4 4 1 4
pour certains ´el´ements f ,f ,f ∈ A tels que (1,f ,f ,f ) soit une base de A sur Q.
2 3 4 2 3 4
Comme f ∈ Λ et que Λ est un anneau, on doit avoir : f2 ∈ Λ, donc les coordonn´ees de
2 2
11
f2 par rapport `a la base (1,f ,f ,f ) doivent ˆetre dans Z. Or, f est ´evidemment racine
2 2 3 4 2
du polynˆome
(X −f )(X −f ) = X2 −T(f )X +N(f ),
2 2 2 2
donc
f2 = −N(f ).1+T(f ).f ;
2 2 2 2
par cons´equent, T(f ) et N(f ) sont entiers. L’´egalit´e :
2 2
f = T(f )−f
2 2 2
montre alors que f ∈ Λ, car Λ contient Z et f . Le mˆeme raisonnement montre que f ∈ Λ
2 2 i
pour i = 3,4. Si maintenant λ est un ´el´ement quelconque de Λ, soit
λ = a 1+a f +a f +a f ,
1 2 2 3 3 4 4
alors
λ = a 1+a f +a f +a f
1 2 2 3 3 4 4
et comme Λ est un Z-module contenant 1 et f pour i = 2,3,4, on voit que λ ∈ Λ. Cela
i
prouve : Λ ⊆ Λ. En conjugant les deux membres de cette relation, on trouve :
Λ = Λ ⊆ Λ,
donc Λ = Λ.
Pour tout ´el´ement λ ∈ Λ, la trace T(λ) = λ+λ (resp. la norme N(λ) = λλ) est alors
somme (resp. produit) de deux ´el´ements de Λ, donc T(λ), N(λ) ∈ Λ. Comme de plus ces
´el´ements sont dans Q, on d´eduit du lemme 3 :
T(λ),N(λ) ∈ Z.
2. Discriminant d’un ordre : Le discriminant d’une base (e ,e ,e ,e ) de A sur Q est le
1 2 3 4
d´eterminant de la matrice des traces des produits deux `a deux des ´el´ements de base :
disc(e ,e ,e ,e ) = d´et(T(e e ) ) ∈ Q.
1 2 3 4 i j 1≤i,j≤4
Par exemple, pour la base standard (1,i,j,k) d’une alg`ebre de quaternions (a,b) , on
Q
trouve :
 
2 0 0 0
 0 2a 0 0 
disc(1,i,j,k) = d´et  = −24a2b2.
 0 0 2b 0 
0 0 0 −2ab
Si deux bases (e ,e ,e ,e ) et (f ,f ,f ,f ) sont li´ees par les relations :
1 2 3 4 1 2 3 4
4
X
f = e a , pour i = 1,...,4,
i k ki
k=1
alors
4
X
T(f f ) = a T(e e )a ,
i j ki k ‘ ‘j
k,‘=1
12
donc
(T(f f )) = At(T(e e )) A,
i j 1≤i,j≤4 k ‘ 1≤k,‘≤4
ou` A = (a ) est la matrice de changement de base. En prenant le d´eterminant
ij 1≤i,j≤4
des deux membres, on obtient la relation suivante entre les discriminants des bases
(e ,e ,e ,e ) et (f ,f ,f ,f ) :
1 2 3 4 1 2 3 4
disc(f ,...,f ) = disc(e ,...,e )(d´et A)2.
1 4 1 4
Si (e ,e ,e ,e ) est une base d’un ordre Λ de A (sur Z), c’est-`a-dire si l’ensemble
1 2 3 4
Λ = {a e +a e +a e +a e | a ,...,a ∈ Z}
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
est un ordre de A, alors e e ∈ Λ pour i,j = 1,...,4 et la proposition pr´ec´edente montre
i j
que T(e e ) ∈ Z pour i,j = 1,...,4. Par cons´equent,
i j
disc(e ,...,e ) ∈ Z.
1 4
Si (f ,f ,f ,f ) est une autre base du mˆeme ordre, alors, d’apr`es ce qui a´et´e dit au d´ebut
1 2 3 4
de cette section, la matrice A de changement de base est une matrice de GL (Z), donc
4
d´et A est un ´el´ement inversible de Z :
d´et A = ±1.
Il en r´esulte que disc(e ,...,e ) = disc(f ,...,f ). On peut donc d´efinir sans ambigu¨ıt´e
1 4 1 4
le discriminant de l’ordre Λ comme le discriminant de l’une quelconque de ses bases :
disc Λ = disc(e ,...,e ) ∈ Z.
1 4
Proposition 3 Le discriminant d’un ordre est l’oppos´e du carr´e d’un nombre entier :
disc Λ = −r2
pour un certain r ∈ N.
D´emonstration: Soit A = (a,b) , de base standard (1,i,j,k), et soit (e ,e ,e ,e ) une
Q 1 2 3 4
base de A telle que
Λ = {a e +a e +a e +a e | a ,...,a ∈ Z}.
1 1 2 2 3 3 4 4 1 4
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
disc Λ = disc(e ,...,e ) = disc(1,i,j,k)(d´et A)2 = −24a2b2(d´et A)2,
1 4
ou` A est la matrice de passage de la base (1,i,j,k) `a la base (e ,...,e ). Par cons´equent,
1 4
disc Λ = −r2 pour r = 22ab(d´et A) ∈ Q. Comme disc Λ ∈ Z, on doit avoir r ∈ Z.
Etant donn´e la relation directe qui existe entre le discriminant disc Λ et l’entier positif
r, on pr´ef`ere habituellement utiliser ce dernier, que l’on appelle discriminant r´eduit de Λ,
et que l’on note d(Λ). On a donc, par d´efinition :
disc Λ = −d(Λ)2.
13
Proposition 4 Soient Λ et Λ0 deux ordres de A. Si Λ ⊇ Λ0, alors d(Λ) divise d(Λ0). De
plus, si Λ ⊇ Λ0 et d(Λ) = d(Λ0), alors Λ = Λ0.
D´emonstration: Soient (e ,...,e ) et (e0,...,e0) des bases de A sur Q telles que
1 4 1 4
Λ = {a e +···+a e | a ,...,a ∈ Z}
1 1 4 4 1 4
et
Λ0 = {a e0 +···+a e0 | a ...,a ∈ Z}.
1 1 4 4 1 4
SiΛ ⊇ Λ0,alorsles´el´ementsdelabase(e0,...,e0)sontcombinaisonslin´eaires`acoefficients
1 4
entiers de (e ,...,e ) : soit
1 4
4
X
e0 = e a pour i = 1,...,4,
i k ki
k=1
avec a ∈ Z pour k,i = 1,...,4. Comme pr´ec´edemment, on a :
ki
disc(e0,...,e0) = disc(e ,...,e )(d´et A)2,
1 4 1 4
ou` A = (a ) ∈ M (Z), c’est-`a-dire :
ij 1≤i,j≤4 4
−d(Λ0)2 = −d(Λ)2(d´et A)2.
Comme les´el´ements de la matrice A sont entiers, il en est de mˆeme du d´eterminant d´et A,
et la relation ci-dessus montre que d(Λ) divise d(Λ0).
Si d(Λ) = d(Λ0), alors d´et A = ±1, par cons´equent A est inversible dans M (Z).
4
A l’aide de l’inverse de A, on peut exprimer e ,...,e comme combinaisons lin´eaires `a
1 4
coefficients entiers de e0,...,e0, d’ou` Λ ⊆ Λ0. Comme on avait suppos´e Λ ⊇ Λ0, on a bien
1 4
Λ = Λ0.
Comme tout nombre entier a un nombre fini de diviseurs, la proposition pr´ec´edente
montre qu’il est impossible de former une suite d’ordres strictement croissante infinie :
Λ ( Λ ( ··· ( Λ ( ···
1 2 n
D`es lors, tout ordre est contenu dans un ordre maximal, c’est-`a-dire un ordre qui n’est
pas contenu strictement dans un autre.
3. Exemples : a) Dans l’alg`ebre A = M (Q), que l’on peut consid´erer comme une alg`ebre
2
de quaternions, comme on l’a vu au num´ero 1 de la section 1, il est clair que l’anneau
Λ = M (Z) est un ordre. Un calcul direct, en prenant par exemple comme base de Λ sur
2
Z la suite
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0 0 1 0 0 0 0
e = e = e = e = ,
11 0 0 12 0 0 21 1 0 22 0 1
montre que disc(Λ) = −1, donc d(Λ) = 1. Il en r´esulte que Λ est un ordre maximal de
A, car s’il ´etait contenu proprement dans un autre ordre Λ0, le discriminant r´eduit d(Λ0)
devrait ˆetre un diviseur propre de d(Λ), ce qui est impossible.
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b) Soit `a pr´esent A = (−1,−1) , et soit
Q
Λ = {a 1+a i+a j +a k | a ,...,a ∈ Z},
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ou` (1,i,j,k) est la base standard de A. Une v´erification directe montre que Λ est un ordre
de A. Comme disc(1,i,j,k) = −16, on a d(Λ) = 4.
Pour d´eterminer si cet ordre est maximal, supposons avoir trouv´e un ordre Λ0 ) Λ et
soit
a = a 1+a i+a j +a k ∈ Λ0 (a ,...,a ∈ Q).
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D’apr`es la proposition 2, on doit avoir T(a) ∈ Z et N(a) ∈ Z, donc :
2a ∈ Z et a2 +a2 +a2 +a2 ∈ Z. (1)
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De plus, puisque Λ0 contient Λ, il contient i,j,k, donc aussi ai,aj et ak. D`es lors, on doit
avoir T(ai) ∈ Z, T(aj) ∈ Z et T(ak) ∈ Z, ce qui donne :
−2a ∈ Z, −2a ∈ Z et −2a ∈ Z.
2 3 4
On peut donc poser a = αi pour un certain entier α (i = 1,...,4). La condition (1)
i 2 i
impose de plus :
α2 +α2 +α2 +α2 ∈ 4Z,
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ce qui entraˆıne que α ,...,α sont soit tous quatre pairs, soit tous quatre impairs. Dans
1 4
le premier cas, a ∈ Λ; dans le second, on trouve en posant α = 1+2λ pour i = 1,...,4 :
i i
1
a = (1+i+j +k)+λ
2
ou` λ = λ 1+λ i+λ j+λ k ∈ Λ. Ces calculs sugg`erent que l’on peut ajouter `a Λ l’´el´ement
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ε = 1(1+i+j +k); en tous cas, ils montrent que si Λ0 est un ordre contenant Λ, alors
2
Λ0 ⊆ {b ε+b i+b j +b k | b ,...,b ∈ Z},
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car les ´el´ements a ∈ Λ0 trouv´es ci-dessus sont soit de la forme
a = a 1+a i+a j +a k avec a ,...,a ∈ Z
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(c’est-`a-dire a ∈ Λ), et alors a = 2a ε + (a − a )i + (a − a )j + (a − a )k, soit de la
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forme
a = ε+(λ 1+λ i+λ j +λ k) avec λ ,...,λ ∈ Z,
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et alors a = (1 + 2λ )ε + (λ − λ )i + (λ − λ )j + (λ − λ )k. Une simple v´erification
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montre qu’en fait l’ensemble
Θ = {b ε+b i+b j +b k | b ,...,b ∈ Z}
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est bien un ordre. Le discriminant r´eduit de cet ordre est : d(Θ) = 2, donc il n’y a pas
d’ordre Λ0 contenu strictement dans Θ et contenant strictement Λ, puisqu’il n’y a pas
d’entier positif qui soit multiple strict de 2 et diviseur strict de 4. En conclusion, l’ordre
Θ est l’unique ordre de A contenant strictement Λ; il est donc bien suˆr maximal.
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