Introduction \`a la th\'eorie des sch\'emas

2.3 MB·

by  Antoine Ducros

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Introduction `a la th´eorie des sch´emas
]
G
Polycopi´e issu dedeux cours du master Math´ematiques fondamentales del’UPMC
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a Antoine Ducros
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Premier semestre 2013-2014

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Table des mati`eres
Introduction 7
La conjecture de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
L’int´erˆet des sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Les outils indispensables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0 Pr´erequis et rappels 11
0.1 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I Les outils de la g´eom´etrie alg´ebrique 15
1 Le langage des cat´egories 17
1.1 D´efinitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Morphismes de foncteurs et ´equivalences de cat´egories . . . . . . 22
1.4 Foncteurs repr´esentables et lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . 25
1.5 Produits fibr´es et sommes amalgam´ees . . . . . . . . . . . . . . . 30
Produits cart´esiens et produits fibr´es . . . . . . . . . . . . . . . 30
Quelques tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Sommes disjointes et sommes amalgam´ees . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Adjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7 Limites inductives et projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exemples de cat´egoriesadmettant des limites inductives . . . . 42
Exemples de cat´egoriesadmettant des limites projectives . . . . 45
Adjonction et passage `a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Alg`ebre commutative 47
2.1 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Id´eaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Localisation et id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Endomorphismes d’un module et lemme de Nakayama . . . . . . 58
2.4 Le produit tensoriel : cas de deux modules . . . . . . . . . . . . . 60
D´efinition, exemples et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 60
Propri´et´esd’exactitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Quelques objets classiques revisit´es . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Produit tensoriel d’un module et d’une alg`ebre . . . . . . . . . . 70
3
4
D´efinitions, exemples et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 70
Comportement vis-`a-vis des localisations et quotients . . . . . . 74
2.6 Modules projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Propri´et´esse testant sur une famille couvrante de localis´es . . . 76
Suites exactes scind´ees, modules projectifs . . . . . . . . . . . . 78
Modules de pr´esentationfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Retour aux modules projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7 Produit tensoriel de deux alg`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
D´efinition, exemples, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 86
Limites inductives dans la cat´egorie des anneaux . . . . . . . . 90
Applications `a la th´eorie des corps . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.8 Alg`ebres finies et alg`ebresenti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
D´efinitions, exemples, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 92
Degr´e de transcendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Lemme de going-up et dimension de Krull . . . . . . . . . . . . 97
2.9 Alg`ebres de type fini sur un corps : normalisation de Noether,
Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Le lemme de normalisation de Noether . . . . . . . . . . . . . . 101
Le Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Un calcul de dimension de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Th´eorie des faisceaux 109
3.1 Pr´efaisceaux et faisceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Pr´efaisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
La faisceautisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Images faisceautiques et d´efaut d’exactitude . . . . . . . . . . . 118
3.2 Espaces annel´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D´efinition, exemples, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 122
Les O -modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
X
3.3 Espaces localement annel´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
D´efinition, exemples, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 128
Une cons´equence g´eom´etrique du lemme de Nakayama . . . . . 133
3.4 Faisceaux localement libres de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 135
D´efinition, exemples, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 135
Sections inversibles et trivialisations. . . . . . . . . . . . . . . . 137
Cocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
II La th´eorie des sch´emas 143
4 Le spectre comme espace topologique 145
4.1 Spectre d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Motivation et d´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
La topologie de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Fonctorialit´e du spectre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Description de Spec Z[T] et Spec k[S,T] lorsque k est
alg´ebriquement clos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Le spectre de Z[T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5
Le spectre de k[S,T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3 Compl´ements sur la topologie de SpecA . . . . . . . . . . . . . . 164
Id´eaux satur´es et ferm´es de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Le cas d’une alg`ebrede type fini surun corpsalg´ebriquementclos165
Espaces topologiques irr´eductibles, composantes irr´eductibles,
dimension de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Espaces noeth´eriens et composantes irr´eductibles . . . . . . . . 169
Dimension de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5 La notion de sch´ema 173
5.1 La cat´egorie des sch´emas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Le spectre comme espace localement annel´e . . . . . . . . . . . 173
Les sch´emas : d´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . 176
Morphismes vers le spectre d’un anneau . . . . . . . . . . . . . 179
Un crit`ere d’affinit´e, et un premier contre-exemple. . . . . . . . 183
5.2 Recollement de sch´emas,construction des produits fibr´es. . . . . 185
Recollements de sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
La droite projective et la droite affine avec origine d´edoubl´ee . . 186
Produits fibr´es de sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.3 Faisceaux quasi-coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Faisceaux quasi-coh´erentssur un sch´ema affine. . . . . . . . . . 194
Caract`erelocalde la quasi-coh´erence,faisceauxquasi-coh´erents
sur un sch´ema quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Faisceaux quasi-coh´erentsd’id´eaux et ferm´es . . . . . . . . . . . 201
5.4 Morphismes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Spectre d’une alg`ebre quasi-coh´erente et morphismes affines . . 203
Les immersions ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Morphismes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.5 Morphismes de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
D´efinition, exemples, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 214
Sch´emas de type fini sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.6 Le foncteur des points d’un sch´emas,ou la revanche du point de
vue ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Traduction sch´ematique d’´enonc´es na¨ıfs. . . . . . . . . . . . . . 222
Sch´emas en groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 Sch´emas projectifs 227
6.1 Le sch´ema ProjB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Un peu d’alg`ebre gradu´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Construction de ProjB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Fonctorialit´e partielle de la construction . . . . . . . . . . . . . 233
6.2 Le sch´ema Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
A
6.3 Le foncteur des points de Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A
Description partielle du foncteur des points de Pn : points
A
donn´es par une famille de fonctions. . . . . . . . . . . . . 242
Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Les faisceaux O(d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Description compl`ete du foncteur des points Pn . . . . . . . . . 250
A
6.4 Quelques exemples de morphismes en g´eom´etrie projective . . . . 253
6
Immersions ouvertes et ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Un plongement de P1 dans P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
A A
Les plongements de Segre et de Veronese . . . . . . . . . . . . . 258
6.5 S´eparation et propret´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Morphismes s´epar´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Morphismes propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Un ≪principe du maximum≫ en g´eom´etrie alg´ebrique . . . . . . 272
Introduction
La th´eorie des sch´emas fut d´evelopp´ee par Grothendieck et son ´ecole dans
les ann´ees cinquante et soixante. Elle est expos´ee dans un gigantesque corpus
de textes, r´epartis en deux familles :
lesE´l´ementsdeg´eom´etriealg´ebrique(EGA),quiont´et´epubli´essousforme
•
devolumesentiersdesPublicationsmath´ematiquesdel’IHES–mentionnonsque
EGA I a donn´e lieu ult´erieurement `a un livre;
les notes du S´eminaire de g´eom´etrie alg´ebrique du Bois-Marie (SGA),
•
publi´ees dans la collection Lecture Notes in Mathematics, et dont la SMF
proc`edeaujourd’hui`ala r´e´edition(saisiedes manuscritsenLaTeX,corrections,
commentaires, etc.).
La premi`ere motivation de ce travail d’ampleur exceptionnelle ´etait la mise
au point d’outils permettant de d´emontrer la conjecture de Weil, ce qui advint
effectivement, la pierre finale `a l’´edifice ayant ´et´e apport´ee par Pierre Deligne
en 1973.A` titre purement culturel1,indiquons en quelquesmot (une partiede)
ce que dit cette conjecture, ou plutoˆt ce th´eor`eme.
La conjecture de Weil
Donnons-nous un syst`eme fini X d’´equations polynomiales homog`enes
en n variables, `a coefficients dans Z. Pour tout nombre premier p, il d´efinit
par r´eduction modulo p un syst`eme d’´equations polynomiales homog`enes `a
coefficientsdansF ;sikestuneextensionfiniedeF ,onnoteraX(k)l’ensemble
p p
des solutions de ce syst`eme dans kn (0,...,0) modulo la multiplication par
\{ }
un scalaire non nul (comme les ´equations sont homog`enes, si un n-uplet est
solution, il en va de mˆeme de tous ses multiples par un mˆeme scalaire).
Defac¸onanalogue,onnoteX(C)l’ensembledes´el´ementsdeCn (0,...,0)
\{ }
solution de X, modulo la multiplication par un scalaire non nul; il h´erite
d’une topologie naturelle, d´eduite de celle de C et pour laquelle il est compact.
On peut associer pour tout i `a l’espace topologique X(C) un Q-espace
vectoriel de cohomologie2 Hi(X(C),Q) qui contient des informations sur la
≪forme≫ de X(C), et dont on d´emontre qu’il est de dimension finie.
On peut d´efinir la dimension alg´ebrique d de X; la dimension topologique
de X(C) est alors´egale `a 2d (car C est de dimension r´eelle´egale `a 2 : la droite
1. Ce cours ne permettra pas malheureusement pas d’aborder ni mˆeme d’effleurer ces
questions
2. Ilyaplusieursd´efinitionspossibles,toutes´equivalentes(vialescochaˆınessinguli`eres,via
lescomplexesdeCˇech,ouencorevialath´eoriedesfoncteursd´eriv´es),quenousn’expliciterons
pasici;nousrenvoyonslelecteurint´eress´ea`uncoursouunouvragedetopologiealg´ebrique.
7
8 Introduction
affine complexe est un plan r´eel, une courbe alg´ebrique complexe donne lieu
`a une surface de Riemann, une surface alg´ebrique complexe `a un espace de
dimension r´eelle 4, etc.).
On fait enfin une hypoth`ese technique sur X, qui en pratique s’av`ere
raisonnable : on suppose qu’il est lisse. Nous ne donnerons pas la d´efinition
pr´eciseici;indiquonssimplementques’ilconsisteenune´equationf,celasignifie
que les d´eriv´ees partielles de f ne s’annulent pas simultan´ement sur le lieu
des z´eros de f dans Cn (0,...,0) ; en g´en´eral, cela implique que X(C) a
\{ }
une structure naturelle de vari´et´e diff´erentielle, et mˆeme de vari´et´e analytique
complexe.
Fixons un nombre premier p. Pour tout n > 1, il existe `a isomorphisme
(non canonique) pr`es une unique extension F de F de degr´e n; notons x
pn p p,n
le cardinal de l’ensemble fini X(F ), et posons
pn
x Tn
Z =exp p,n Q((T)).
p
 n ∈
n>1
X
 
On d´emontre alors (Weil, Dwork, Grothendieck, Deligne) les assertions
suivantes :
1) Pour tout p, la s´erie Z est une fraction rationnelle.
p
2) Pour tout p suffisamment grand, on peut plus pr´ecis´ement´ecrire
R
i,p
06i62d,iimpair
Z =
p Q R
i,p
06i62d,ipair
Q
ou` R est pour tout i un polynˆome unitaire `a coefficients dans Z de
i,p
degr´edim Hi(X(C),Q)donttouteslesracinescomplexesontpourmodulepi/2.
Q
On voitenparticulier qu’il existe un lien profond,lorsquep est assezgrand,
entrele nombredesolutionsde X dans lesF (pourn variable)etlatopologie
pn
de X(C).
L’int´erˆet des sch´emas
Au-del`a de ce succ`es majeur qu’a repr´esent´e la preuve de la conjecture
de Weil, la th´eorie des sch´emas s’est impos´ee comme un outil `a peu pr`es
indispensable pour qui souhaite faire de la g´eom´etrie alg´ebrique sur un corps,
et plus encore sur un anneau, quelconques.
Elleal’inconv´enient,commenousleverrons,d’ˆetred’unacc`esardu:lamise
en place des d´efinitions et la d´emonstrationdes propri´et´esde base sont longues
et parfois d´elicates.
Maisune foisfranchiscespremiersobstaclesunpeuˆapres,elles’av`ered’une
extrˆeme souplesse. Et elle a un immense avantage : elle apporte de l’intuition
g´eom´etrique dans des situations qui pouvaient a priori sembler purement
alg´ebriques, essentiellement parce qu’elle permet de penser `a n’importe quel
anneau comme `a un anneau de ≪fonctions≫ sur un objet g´eom´etrique.
Introduction 9
Par exemple, reprenons le syst`eme d’´equations X `a coefficients dans Z
consid´er´eauparagraphepr´ec´edent.Lath´eoriedessch´emasluiassocieune sorte
de fibration dontles diff´erentesfibressont,grosso modo, les vari´et´esalg´ebriques
obtenues `a partir de X d’une part en le r´eduisant modulo p pour chacun des
nombres premiers p, d’autre part en le voyant comme un syst`eme d’´equations
`a coefficients dans Q. Cette fibration fournit ainsi un certain liant entre les
diff´erentes caract´eristiques, qui s’av`ere tr`es utile pour comprendre dans quelle
mesure ce qui se passe modulo p peut avoir un rapport avec ce qui se passe
en caract´eristique nulle – et rend moins myst´erieuse la relation entre cardinal
de X(F ) et topologie de X(C).
pn
Les outils indispensables
La th´eorie des sch´emas repose de mani`ere cruciale sur un certain nombre
d’outils et notions, auxquels nous consacrons une premi`ere partie, elle-mˆeme
divis´ee en trois chapitres distincts.
La premier porte sur les cat´egories. Comme vous le verrez, on ne vous y
•
pr´esentepasv´eritablementune th´eorie3,maisplutoˆtunlangage tr`escommode.
Il permet, en d´egageantun certainnombrede propri´et´esformelles qui leur sont
communes, de donner une description unifi´ee de situations rencontr´ees dans
des domaines extrˆemement divers. On peut en principe l’utiliser dans `a peu
pr`es n’importe quelle branche des math´ematiques; en pratique, les g´eom`etres
alg´ebristes `a la Grothendieck en sont particuli`erement friands.
Le seconde est le plus difficile sur le plan technique. Il est consacr´e `a
•
l’alg`ebre commutative, c’est-`a-dire `a l’´etude des anneaux commutatifs, et des
id´eauxdeetmodulessurcesderniers.L’alg`ebrecommutativejoueeng´eom´etrie
alg´ebrique un rˆole absolument crucial, analogue `a celui de l’analyse r´eelle en
g´eom´etrie diff´erentielle : elle constitue en quelque sorte la partie locale de la
th´eorie.
Nous commenc¸ons par pr´esenter des notions et r´esultats tr`es g´en´eraux :
localisation,anneauxlocauxetlemmedeNakayama,produittensoriel,modules
projectifs, alg`ebres finies et enti`eres, dimension de Krull, lemme de going-up.
Puisnousenvenons`adesth´eor`emesplussp´ecifiquesetnettementplusd´elicats,
quiconcernentlesalg`ebresde typefinisuruncorps:normalisationdeNoether,
Nullstellensatz, et calcul de la dimension de Krull d’une telle alg`ebre.
Le dernier pr´esente les d´efinitions et propri´et´es de base des faisceaux sur
•
un espace topologique. Ceux-ci ont ´et´e initialement introduits par Leray en
topologie alg´ebrique et c’est Serre qui, dans son article fondateur Faisceaux
alg´ebriques coh´erents, a le premier mis en ´evidence les services qu’ils pouvaient
rendre en g´eom´etrie alg´ebrique; Grothendieck les a ensuite plac´es au cœur de
toute sa th´eorie.
Celle-ci repose ainsi de fac¸on essentielle sur la notion d’espace localement
annel´e4 (c’est un espace topologique muni d’un faisceau d’un certain type),
3. On n’y´etablit pour ainsi dire qu’un seul ´enonc´e, le lemme de Yoneda, dont la preuve
estessentiellementtriviale,mˆemesiellepeutˆetretr`esd´eroutante a`lapremi`erelecture.
4. Les sch´emas sont ainsi d´efinis comme des espaces localement annel´es satisfaisant une
condition suppl´ementaire; signalons par ailleurs que les objets g´eom´etriques plus classiques
(vari´et´es diff´erentielles, vari´et´es analytiques complexes ou r´eelles...) sont aussi de mani`ere
naturelledesespaces localementannel´es.
10 Introduction
qui est au cœur de notre chapitre faisceautique5, lequel se conclut par l’´etude
de certaines propri´et´es de faisceaux de modules particuliers sur un espace
localement annel´e, et notamment de ceux qui sont localement libres de rang 1
et jouent un rˆole absolument central en g´eom´etrie alg´ebrique.
5. Lelecteur trouverasans doute avec raisonquel’adjectif≪faisceautique≫ esttr`es laid;
d’unpointdevuestrictementlinguistique,lebontermeauraitprobablement´et´e≪fasciste≫,
maisiln’est´evidemmentplusutilisable.