Introduction à la théorie de Galois et la géométrie algébrique: Part II, Algèbre commutative du point de vue géométrique [Lecture notes]

40 Pages·2005·0.32 MB·French

by  Jan Nekovar

INTRODUCTION A` LA THE´ORIE DE GALOIS ET LA GE´OME´TRIE ALGE´BRIQUE
Jan Nekov´aˇr
II. ALGE´BRE COMMUTATIVE DU POINT DE VUE GE´OME´TRIQUE
R´ef´erences: [CL], [Re]
0. Introduction
(0.0) Dans la seconde partie du cours on va essayer d’´etablir un dictionnaire entre g´eom´etrie, alg`ebre et
arithm´etique. Exemple:
G´eom´etrie Alg`ebre
droite affine (sur un corps K) l’anneau K[X]
espace affine de dimension n K[X ,...,X ]
1 n
courbe plane Y2−X3 =0 K[X,Y]/(Y2−X3)
Alg`ebre Arithm´etique
l’anneau Z nombres premiers p
√ Z[i] p=a2+b2
Z[ −5]=Z[Y]/(Y2+5) p=a2+5b2
(0.1) Qu’est-ce qu’un objet g´eom´etrique?
Pour tout object g´eom´etrique X, il y a une dualit´e entre les points de X (son “corps”) et les fonctions sur
X (son “ˆame”). Par exemple, on peut interpr´eter K[X ,...,X ] comme l’anneau de fonctions sur l’espace
1 n
affine de dimension n (sur K).
Dupointdevuealg´ebrique,iln’yaaucunediff´erenceentrelesanneauxK[X]etZ,lespolynˆomesirr´eductibles
correspondant aux nombres premiers. On peut utiliser la terminologie g´eom´etrique dans le cadre arithm´e-
tique; les nombres premiers deviendrons les “points” d’un object g´eom´etrique dont l’anneau de fonctions est
´egal `a Z.
(0.1.0) Exemple (alg`ebre lin´eaire): Soient K un corps et V un K-espace vectoriel de dimension
dim (V)=n<∞ (donc V −∼→Kn). On ne consid`ere que les fonctions lin´eaires:
K
“fonctions sur V”={applications lin´eaires V −→K}=V∗.
Chaquefonctionnonnullef ∈V∗−{0}d´efinitunhyperplan{f =0}⊂V (siV =Kn,alorsf(x ,...,x )=
1 n
a x +···+a x , a ∈K). Un sous-espace vectoriel W ⊂V s’´ecrit comme l’union des points de W:
1 1 n n i
W = {v},
(cid:91)
v∈W
mais aussi comme l’intersection des hyperplans qui contiennent W:
(cid:13)c Jan Nekov´aˇr 2004
1
W = {f =0}.
(cid:92)
f∈V∗
f(W)=0
L’inclusion i:W (cid:44)→V induit l’application duale i∗ :V∗ −→W∗, ou`
i∗(f)=f ◦i:W (cid:44)→V−f→K
estlarestrictiondelafonctionf `asous-espaceW. Commei∗ estsurjectifetKer(i∗)={f ∈V∗|f(W)=0},
on en d´eduit un isomorphisme d’espaces vectoriels
V∗/{f ∈V∗|f(W)=0}−∼→W∗,
c’est-a`-dire un isomorphisme
{fonctions sur V}/{fonctions qui s(cid:48)annulent sur W}−∼→{fonctions sur W}. (0.1.0.0)
(0.1.1) Version non-lin´eaire: Soit K un corps. E´tant donn´e un sous-ensemble F ⊂ K[X ,...,X ], on
1 n
consid`ere le syst`eme d’´equations polynomiales
f(X ,...,X )=0 (∀f ∈F). (0.1.1.0)
1 n
Ce syst`eme ´equivaut au syst`eme
g(X ,...,X )=0 (∀g ∈(cid:104)F(cid:105)), (0.1.1.1)
1 n
ou`
(cid:104)F(cid:105)={g f +···+g f |N ≥0, f ∈F, g ∈K[X ,...,X ]}
1 1 N N i i 1 n
est id´eal de K[X ,...,X ] engendr´e par F. On peut supposer, donc, que F =I ⊂K[X ,...,X ] est un
1 n 1 n
id´eal. Le but de la th´eorie est d’´etablir un lien entre
propri´et´es g´eom´etriques de l(cid:48)ensemble propri´et´es alg´ebriques de la
(cid:40) (cid:41)←−−?−−→(cid:40) (cid:41)
des solutions du syst`eme (0.1.1.0) K−alg`ebre K[X ,...,X ]/I
1 n
2
1. Id´eaux
(1.1) Constructions d’id´eaux (rappel)
Soit A un anneau (comme toujours, commutatif et unitaire).
(1.1.1) L’intersection de n’importe quel ensemble d’id´eaux de A est un id´eal de A.
(1.1.2) Pour tout sous-ensemble F ⊂ A il existe le plus petit id´eal (cid:104)F(cid:105) de A contenant F (“l’id´eal engendr´e
par F”):
(cid:104)F(cid:105)={a x +···+a x |N ≥0, a ∈A, x ∈F}.
1 1 N N i i
(1.1.3) Par exemple, si F = {x}, alors (cid:104)F(cid:105) = (x) est l’id´eal principal engendr´e par x (en particulier, (cid:104){1}(cid:105) =
(1)=A). Plus g´en´eralement, si F ={x ,...,x } est fini, alors
1 n
(cid:104)F(cid:105)={a x +···+a x |a ∈A}=(x ,...,x ).
1 1 n n i 1 n
(1.1.4) Si I,J ⊂A sont des id´eaux de A, posons
I+J :=(cid:104)I∪J(cid:105)={x+y|x∈I, y ∈J}
N
IJ =(cid:104){xy|x∈I, y ∈J}(cid:105)={ x y |N ≥0, x ∈I, y ∈J}.
(cid:88) i i i i
i=1
Si I =(x ,...,x ) et J =(y ,...,y ), alors
1 m 1 n
I+J =(x ,...,x ,y ,...,y ), IJ =(x y ,...x y ,...,x y ,...,x y ).
1 m 1 n 1 1 1 n m 1 m n
(1.1.5) Exemples: (1) Si A=Z, I =(m) et J =(n) (ou` m,n∈Z−{0}), alors on a
(m)∩(n)=(ppcm(m,n)), (m)+(n)=(m,n)=(pgcd(m,n)), (m)(n)=(mn),
(m)⊇(n) ⇐⇒ m|n.
En particulier,
(m)+(n)=(1) ⇐⇒ pgcd(m,n)=1 ⇐⇒ (m)∩(n)=(m)(n) =⇒ Z/mnZ−∼→Z/mZ⊕Z/nZ.
(2) Si A=K[X] (ou` K et un corps) et f,g ∈K[X]−{0}, alors
(f)∩(g)=(ppcm(f,g)), (f)+(g)=(f,g)=(pgcd(f,g)), (f)(g)=(fg),
(f)⊇(g) ⇐⇒ f|g.
(1.1.6) Lemme. Soient I,J ⊂A des id´eaux. Alors on a:
(i) IJ ⊂I∩J.
(ii) Si I+J =(1), alors IJ =I∩J.
(iii) (“Lemme chinois”) Si I+J =(1), alors l’application
α:A−→A/I×A/J, α(a)=(a (modI),a (modJ)),
induit un isomorphisme d’anneaux A/IJ =A/(I∩J)−∼→A/I×A/J.
Preuve. [CL], 2.2.9, 3.1.6.
3
(1.1.7) Exercice. Montrer: si I+J =(1), alors (∀n≥1) In+Jn =(1).
(1.1.8) Exemple: Soient K un corps, a,b∈K, a(cid:54)=b. Alors l’application
(ev ,ev ):K[X]−→K×K, g(X)(cid:55)→(g(a),g(b))
a b
induit un isomorphisme d’anneaux K[X]/(X−a)(X−b)−∼→K×K.
(1.1.9) Lemme. Soit I ⊂A un id´eal. Il existe une bijection naturelle
{id´eaux J ⊂A qui contiennent I} ←→ {id´eaux J(cid:48) ⊂A(cid:48) =A/I}
J =π−1(J(cid:48)) ←→ J(cid:48) =π(J)=J/I,
ou` l’on a not´e π :A−→A/I la projection canonique.
Preuve. [CL], 3.1.3.
(1.1.10) Exemples: (1) A=Z, I =(8):
{id´eaux de Z/8Z}={(1)=Z/8Z, (2)=2Z/8Z, (4)=4Z/8Z, (8)=(0)}.
(2) A=C[X], I =(X3−X2):
{id´eaux de C[X]/(X3−X2)}={(1), (X), (X2), (X−1), (X2−X), (X3−X2)=(0)}.
(1.1.11) Lemme-D´efinition. Soit I ⊂A un id´eal. Alors le radical de I
√
I :={x∈A|(∃n≥1)xn ∈I}
est un id´eal de A qui contient I. Un particulier, le nilradical de A
(0)={x∈A|(∃n≥1)xn =0}
(cid:112)
est un id´eal de A. L’anneau A est dit r´eduit si son nilradicial est trivial ( (0)=(0)).
(cid:112)
Preuve. [CL], 2.2.11.
(1.1.12) Exemples: (1) Si A=Z, alors (60)=(30); l’anneau Z est r´eduit.
(cid:112)
(2) Si A=C[X], alors (X2)=(X) et (X3−X2)=(X2−X); l’anneau C[X] est r´eduit.
(cid:112) (cid:112)
(1.1.13) Exercice. Soit B un anneau.
(i) L’anneau Bred :=B/ (0) est r´eduit. √
(cid:112)
(ii) Pour tout id´eal J ⊂B on a (B/J)red =B/ J. En particulier,
√
B/J est un anneau r´eduit ⇐⇒ J = J.
(1.1.14) Exemples: (1) Si A = Z/60Z −∼→ Z/4Z×Z/3Z×Z/5Z (d’apr`es le Lemme chinois), alors
(0)=(30) et Ared =Z/30Z−∼→Z/2Z×Z/3Z×Z/5Z.
((cid:112)2) Si A=C[X]/(X2), alors (0)=(X) et Ared =C[X]/(X)−∼→C.
(cid:112)
(3) Si A=C[X]/(X3−X2), alors (0)=(X2−X) et Ared =C[X]/(X2−X).
(cid:112)
(1.2) Alg`ebres (commutatifs)
Dans la pratique on travaille souvent sur un anneau de base A, par exemple A=Z ou A=K (un corps).
4
(1.2.1) D´efinition. Soit A un anneau. Une A-alg`ebre est un anneau B muni d’un morphisme d’anneaux
i:A−→B (“lemorphismestructural”;in’estpasforcementinjectif). Onditque“(B,i)estuneA-alg`ebre”
(ou, en supprimant le morphisme structural de la notation, que “B est une A-alg`ebre”). On´ecrit ab au lieu
de i(a)b (pour a∈A, b∈B).
(1.2.2) Exemples: (1) Tout anneau B est une Z-alg`ebre de mani`ere unique:
i:Z−→B, i(n)=n·1 .
B
(2) L’anneau de polynˆomes B =A[X ,...,X ] est une A-alg`ebre de mani`ere naturelle.
1 n
(1.2.3) D´efinition. Soient (B,i) et (C,j) des A-alg`ebres. Un morphisme de A-alg`ebres f : B −→ C
est un morphisme d’anneaux qui est compatible avec les morphismes structuraux, i.e. tel que f(i(a))=j(a)
pour tout a∈A.
(1.2.4) Exemple: Soit B une A-alg`ebre. Un morphisme de A-alg`ebres f : A[X ,...,X ] −→ B est
1 n
d´etermin´e par les valeurs b=(b ,...,b )=(f(X ),...,f(X ))∈Bn, puisque
1 n 1 n
f a Xi1···Xin = a bi1···bin
(cid:16)(cid:88) i1,...,in 1 n (cid:17) (cid:88) i1,...,in 1 n
(et chaque b∈Bn provient d’un (seul) morphisme f).
(1.3) Dictionnaire alg´ebro-g´eom´etrique
Soit K un corps.
(1.3.1) Soit I ⊂K[X ,...,X ] un id´eal. On peut associer `a I le syst`eme des ´equations polynomiales
1 n
V :f(X ,...,X )=0 (f ∈I). (1.3.1.1)
1 n
Ce syst`eme ´equivaut `a
V :f(X ,...,X )=0 (f ∈F),
1 n
pour n’importe quel sous-ensemble F ⊂I qui engendre I =(cid:104)F(cid:105).
(1.3.2) On aimerait consid´erer V comme un objet g´eom´etrique, contenu dans l’espaceaffine An de dimen-
K
sion n (d´efini sur K).
Mais qu’est-ce que V?
Par exemple, on pourrait consid´erer les solutions de (1.3.1.1) `a valeurs dans un corps L⊃K:
V(L):={(a ,...,a )∈Ln|(∀f ∈I) f(a ,...,a )=0}
1 n 1 n
Pourquoi L? Parce que V(K) peut ˆetre vide: si K =R et
V :X2+Y2+1=0 (⇐⇒ I =(X2+Y2+1)⊂R[X,Y]),
alors V(R)=∅(cid:54)=V(C).
(1.3.3) Th´eorie classique. Dans cette th´eorie on ne consid`ere que l’ensemble des solutions V(K), ou` K
est une cloˆture alg´ebrique de K. Cet approche est probl´ematique, pour les raisons suivantes:
(P1) On oublie que V ´etait d´efini sur K.
Par exemple, les courbes planes r´eelles
V :X2+2Y2−1=0, V(cid:48) :X2−2Y2−1=0
nesontpasisomorphes, maisellesdeviendrontisomorphescommecourbescomplexes(remplacerY pariY).
5
(P2) On oublie les solutions nilpotents (ou “infinit´esimalles”).
(1.3.4) Exemple du probl`eme (P2): l’´equation f(X)=0. Soit f ∈K[X] un polynˆome non constant.
L’´equation f(X)=0 (sur la droite muni de la coordonn´ee X) ´equivaut au syst`eme
Y −f(X)=0, Y =0,
qui repr´esente l’intersection de la courbe plane
C :Y −f(X)=0
avec la droite horizontal
D :Y =0.
(i) L’intuition g´eom´etrique sugg`ere que les ´equations
V :X2 =0
Vred :X =0
ne sont pas ´equivalentes: en effet, Vred correspond `a l’intersection transverse de deux droites X = 0 et
Y =0 (un point “habituel”), alors que Vred repr´esente l’intersection de la droite D :Y =0 avec la conique
C :Y −X2 =0 (un point “´epais”, qui porte un vecteur tangent commun de C et D). N´eanmoins, on a
V(L)=Vred(L)={0},
pour tout corps L⊃K.
(ii) L’intersection de la courbe cubique C :Y −X3 =0 avec D :Y =0 donne un point encore plus ´epais
W :X3 =0,
muni d’une structure infinit´esimale “d’ordre deux”.
(1.3.5) Th´eorie moderne (depuis les ann´ees 1950’s). Ducoˆt´ealg´ebrique,onintroduitdeuxnouvelles
id´ees:
(I1) On associe au syst`eme (1.3.1) l’anneau
A(V):=K[X ,...,X ]/I
1 n
(“l’anneau des fonctions r´eguli`eres sur V”). [Plus pr´ecisement, A(V) est une K-alg`ebre.]
(I2) On consid`ere les solutions de (1.3.1) `a valeurs dans n’importe quelle K-alg`ebre B:
V(B):={(b ,...,b )∈Bn|(∀f ∈I) f(b ,...,b )=0}.
1 n 1 n
Voir 1.4.2 ci-dessous pour le lien entre A(V) et V(B).
(1.3.6) Le syst`eme r´eduit. On peut g´en´eraliser l’exemple 1.3.4(i) de la mani`ere suivante: le syst`eme
r´eduit associ´e `a
V :f(X ,...,X )=0 (f ∈I)
1 n
est d´efini comme le syst`eme
√
Vred :g(X ,...,X )=0 (g ∈ I).
1 n
On a
√
A(Vred)=K[X ,...,X ]/ I =A(V)red
1 n
6
et, pour tout corps L⊃K,
Vred(L)=V(L).
Par exemple, si V :X5 =0, alors Vred :X =0, A(V)=K[X]/(X5), A(Vred)=K[X]/(X)−∼→K.
(1.3.7) Exemple (nombres duaux): Les ´el´ements de la K-alg`ebre
D :=K[ε]/(ε2)={a+bε|a,b∈K, ε2 =0}
s’appellent les nombres duaux. L’´el´ement ε ∈ D est nilpotent; il nous permet de trouver des solutions
infinit´esimalles d’un syst`eme non-r´eduit V (cid:54)=Vred. Par exemple, si V :X5 =0, alors on a Vred :X =0 et
a+bε∈Vred(D) ⇐⇒ a+bε=0∈D ⇐⇒ a=b=0
a+bε∈V(D) ⇐⇒ (a+bε)5 =0∈D ⇐⇒ a5+5ab4ε=0∈D ⇐⇒ a=0,
donc
Vred(D)={0}(cid:54)=V(D)=K·ε.
(1.3.8) Exemple (nombres duaux et l’espace tangent): On va calculer V(D) pour la courbe
V :Y −X2 =0.
Soient a,b,c,d∈K. On a
P =(a+bε,c+dε)∈V(D) ⇐⇒ c+dε=(a+bε)2 =a2+2abε∈D ⇐⇒ c=a2, d=2ab,
donc
V(D)={(a,a2)+ε(b,2ab)=Q+εT},
ou` Q = (a,a2) ∈ V(K) et T = (b,2ab) ∈ T V est un vecteur tangent `a V en Q (en effet, la pente de la
Q
droite tangente `a V en Q est ´egale `a 2a, car (X2)(cid:48) =2X).
(1.3.9) L’espace tangent: le cas g´en´eral. Consid´erons le syst`eme
V :f(X ,...,X )=0 (∀f ∈I).
1 n
(1.3.9.1) D´efinition. L’espace tangent `a V en point a=(a ,...,a )∈Kn est le sous-espace vectoriel
1 n
n
∂f
T V :={b=(b ,...,b )|(∀f ∈I) b (a)=0}⊂Kn.
a 1 n (cid:88) i ∂X
i
i=1
(1.3.9.2) Exercice. Si I =(cid:104)F(cid:105), alors
n
∂f
T V ={b=(b ,...,b )|(∀f ∈F) b (a)=0}.
a 1 n (cid:88) i ∂X
i
i=1
(1.3.9.3) Exemple: Soit V :f(X,Y)=Y2−X3 =0. Si a=(x,y)∈V(K)−{(0,0)}, alors
∂f ∂f
a(cid:54)=(0,0)=⇒(cid:18)∂X(a),∂Y (a)(cid:19)=(−3x2,2y)(cid:54)=(0,0)=⇒dimTaV =1
∂f ∂f
a=(0,0)=⇒(cid:18)∂X(a),∂Y (a)(cid:19)=(0,0)=⇒dimTaV =2.
7
En effet, (0,0) est un point singulier de la courbe V.
(1.3.9.4) Soit D =K[ε]/(ε2) l’ensemble des nombres duaux et P =(a +b ε,...,a +b ε)∈Dn; on a
1 1 n n
P ∈V(D) ⇐⇒ (∀f ∈I) f(a +b ε,...,a +b ε)=0∈D
1 1 n n
n
∂f
⇐⇒ (∀f ∈I) f(a ,...,a )+ε(cid:32) b (a)(cid:33)=0∈D
1 n (cid:88) i ∂X
i
i=1
⇐⇒ a=(a ,...,a )∈V(K), b=(b ,...,b )∈T V.
1 n 1 n a
Autrement dit, ε est un “vrai” ´el´ement infinit´esimal dans le cadre alg´ebrique.
(1.3.10) L’anneaux des fonctions r´eguli`eres (exemples). Consid´erons la K-alg`ebre
A(V)=K[X ,...,X ]/I
1 n
associ´ee au syst`eme
V :f(X ,...,X )=0 (∀f ∈F), (1.3.10.0)
1 n
ou` F ⊂K[X ,...,X ] et I =(cid:104)F(cid:105).
1 n
(1.3.10.1) Syst`eme contradictoire (V = ∅): Si l’on peut d´eduire de (1.3.10.0) l’´equation 1 = 0, alors
I =(1), A(V)=0 et V(B)=∅ (pour toute K-alg`ebre B).
(1.3.10.2) Syst`eme vide (V = An = l’espace affine de dimension n): Si F = ∅, alors I = (0),
K
A(V)=K[X ,...,X ] et V(B)=Bn (pour toute K-alg`ebre B).
1 n
(1.3.10.3) Point K-rationnel: SoitA=(a ,...,a )∈Kn. L’´evaluationenad´efinitunhomomorphisme
1 n
surjectif de K-alg`ebres
ev :K[X ,...,X ]−→K, g(X ,...,X )(cid:55)→g(a ,...,a ),
a 1 n 1 n 1 n
dont le noyau est ´egal `a
Ker(ev )=(X −a ,...,X −a ).
a 1 1 n n
L’id´eal engendr´e par les ´equations
V :X −a =···=X −a =0
1 1 n n
est ´egal `a I =Ker(ev ), donc ev induit un isomorphisme
a a
ev :A(V)=K[X ,...,X ]/(X −a ,...,X −a )−∼→K.
a 1 n 1 1 n n
Pour toute K-alg`ebre i:K −→B on a
V(B)={i(a)}={(i(a ),...,i(a ))}.
1 n
(1.3.10.4) Le cas n=1: Soit F ⊂K[X]. Si l’id´eal I =(cid:104)F(cid:105)⊂K[X] engendr´e par les ´equations
V :f(X)=0 (∀f ∈F)
satisfait I (cid:54)=(0),(1), alors I =(g), ou` g ∈K[X] est un polynˆome unitaire de degr´e deg(g)≥1. Il en r´esulte
que le syst`eme V ´equivaut `a
V :g(X)=0
et que
A(V)=K[X]/(g).
8
Le polynoˆme g se factorise comme
g =gn1···gnr (n ≥1),
1 r j
ou` les polynˆomes g ∈K[X] sont unitaires, irr´eductibles et distincts. Lemme chinois 1.1.6(iii) entraˆıne que
j
A(V)=K[X]/(g)−∼→K[X]/(gn1)×···×K[X]/(gnr).
1 r
(1.3.10.4.1) Exemple (d points K-rationnels): Sig(X)=(X−a )···(X−a ), ou` a ,....a ∈K sont
1 d 1 d
distincts, alors les morphismes de l’´evaluation en les a induisent un isomorphisme
j
K[X]/((X−a )···(X−a ))−∼→K×···×K, h(X)(cid:55)→(h(a ),...,h(a )).
1 d 1 d
d−fois
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
(1.3.10.4.2) Exemple: Soit K =R et g(X)=X2−t, ou` t∈R. On peut consid´erer
V :X2−t=0
comme l’intersection de la droite
D :Y −t=0
avec la conique
C :Y −X2 =0.
Quelle est la structure de l’anneau A(V)=R[X]/(X2−t)?
√ √ √ √
(1) Si t>0, alors X2−t=(X− t)(X+ t), donc V correspond `a deux points r´eels V(R)={ t, − t}
et (1.3.10.4.1) s’applique: il y a un isomorphisme de R-alg`ebres
√ √
A(V)=R[X]/(X2−t)−∼→R×R, h(X)(cid:55)→(h( t),h(− t)).
(2) Si t = 0, alors V correspond `a un point ´epais, V(R) = {0} et l’anneau A(V) = R[X]/(X2) n’est pas
r´eduit.
(3) Si t<0, alors le polynˆome g(X)=X2−t est irr´eductible dans R[X], V(R)=∅ et V(C)={α, −α},
ou` l’on a fix´e une racine α∈C de g(X). L’´evaluation en ±α induit un isomorphisme
A(V)=R[X]/(X2−t)−∼→C, h(X)(cid:55)→h(±α).
(1.3.10.5)Extensiondescalaires: PourtoutcorpsL⊃K,onvanoterV lesyst`eme(1.3.10.0)consid´er´e
L
sur L, c’est-a`-dire si l’on remplace K[X ,...,X ] par L[X ,...,X ]. Comme l’id´eal I sera remplac´e par I
1 n 1 n L
= l’id´eal de L[X ,...,X ] engendr´e par F, on a
1 n
A(V )=L[X ,...,X ]/I (=A(V)⊗ L).
L 1 n L K
Par exemple, si K =R, L=C et V :X2+1=0 (voir (1.3.10.4.2)(3)), alors on a
ev :A(V)=R[X]/(X2+1)−∼→C,
i
(evi,ev−i):A(VC)=C[X]/(X2+1)=C[X]/((X−i)(X+i))−∼→C×C.
(1.4) Id´eaux premiers et maximaux
Soit K un corps.
(1.4.1) Soit, comme toujours, F ⊂K[X ,...,X ], I =(cid:104)F(cid:105) l’id´eal engendr´e par F et
1 n
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V :f(X ,...,X )=0 (∀f ∈F) (1.4.1.1)
1 n
le syst`eme des ´equations polynomiales associ´ees `a F. On a d´efini l’anneau des fonctions r´eguli`eres sur V
A(V)=K[X ,...,X ]/I
1 n
et, pour toute K-alg`ebre B, l’ensemble des solutions V(B)⊂Bn de (1.4.1.1) `a valeurs dans B. La question
fondamentale est la suivante:
Y a-t-il des “vrais” points de V, qui ne d´ependraient pas de B?
L’id´ee cl´ee c’est de consid´erer les morphismes de l’´evaluation: toute “fonction” f ∈ A(V) devrait avoir une
“valeur” f(P) en tout “point” P de V. On va consid´erer l’´equation
f(P)=0
avec P constant et f variable!
D’abord, on v´erifie que l’anneau A(V) d´etermine V(B) pour chaque B.
(1.4.2) Proposition. Sous les hypoth`eses de 1.4.1, notons X (i = 1,...,n) l’image de X dans A(V) =
i i
K[X ,...,X ]/I. Alors, pour toute K-alg`ebre B, il y a une bijection canonique
1 n
homomorphismes de K−alg`ebres
(cid:40) (cid:41)−∼→V(B), α(cid:55)→(α(X ),...,α(X )).
1 n
α:A(V)−→B
Preuve. On sait (voir 1.2.4) que tout homomorphisme de K-alg`ebres
β :K[X ,...,X ]−→B
1 n
est uniquement d´etermin´e par le point
b=(b ,...,b )=(β(X ),...,β(X ))∈Bn,
1 n 1 n
puisque
β =ev :g(X ,...,X )(cid:55)→g(b ,...,b ).
b 1 n 1 n
Le morphisme β se factorise comme
β :K[X ,...,X ]−p→r K[X ,...,X ]/I =A(V)−α→B
1 n 1 n
si et seulement si
I ⊂Ker(β) ⇐⇒ (∀f ∈F) f(b)=β(f)=0 ⇐⇒ b∈V(B).
Si c’est le cas, alors α est uniquement d´etermin´e par β et on a
(α(X ),...,α(X ))=(β(X ),...,β(X ))=b.
1 n 1 n
(1.4.3) Corollaire. Il y a des bijections canoniques
id´eaux m⊂A(V) tels que homomorphismes (surjectifs) de K−alg`ebres
(cid:40) (cid:41)−∼→(cid:40) (cid:41)−∼→V(K),
A(V)/m=K α:A(V)−→K
m =Ker(α)=(X −a ,...,X −a ) (modI) (cid:55)→ α (cid:55)→ a=(α(X ),...,α(X )),
a 1 1 n n 1 n
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