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introduction. à la , , geometr1e hyperbolique et ·aux surfaces de Riemann Ricardo Sa Earp Eric Toubiana CASSINI INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE ET AUX SURFACF.;; DE RIEMANN Enseignement des mathématiques 1. J.-Y. Ouvrard, Probabilités I 3. M. Cottrell, V. Genon-Catalot, Ch. Duhamel, Th. Meyre, Exercices de probabilités 4. F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation 5. J.-Y. Ouvrard, Probabilités II 6. G. Zémor, Cours de cryptographie 7. A. Szpirglas, Exercices d'algèbre 8. B. Perrin-Riou, Algèbre, arithmétique et Maple 10. S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Algèbre 1 11. S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Analyse 1 12. S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Algèbre 2 13. S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Analyse 2 14. S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices des oraux X-ENS, Algèbre 3 15. H. Krivine, Exercices de mathématiques pour physiciens 16. J. Jacod, Ph. Protter, L'essentiel en théorie des probabilités 17. M. Willem, Analyse fonctionnelle élémentaire 18. É. Amar, É. Matheron, Analyse complexe 19. B. Randé, Problèmes corrigés. Concours 2002 et 2003 (MP) 20. D. Perrin, Mathématiques d'école 21. B. Randé, Problèmes corrigés. Concours 2004 (MP) 22. P. Bourgade, Olympiades internationales de mathématiques 1976-2005 23. V. Prasolov, Problèmes et théorèmes d'algèbre linéaire 24. R. Sa Earp, E. Toubiana, Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann 25. L. Di Menza, Résolution numérique des équations aux dérivées partielles 26. B. Candelpergher, Calcul intégral 27. J. Hubbard, B. West, Équations différentielles et systèmes dynamiques, vol. 1 28. J. Hubbard, B. West, Équations différentielles et systèmes dynamiques, vol. 2 SA RICARDO EARP ERIC TOUBIANA Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann CASSINI RICARDO SA. EARP, né en 1952 est Professeur de mathématiques à la PUC-Rio, Pontiffcia Universidade Cat6lica do Rio de Janeiro. Ses recherches concernent la géométrie riemannienne. Il a effectué de nombreux séjours en France: post-doctorat à Paris VII de 1986 à 1988, Maître de Conférences invité à l'Université de Bourgogne en 1988/1989, Professeur invité à l'Université de Grenoble en 2001 et 2008 et à Paris VII en 2004. Il a été également invité à plusieurs reprises à l'Institut de Mathématiques de Jussieu. ERIC TouBIANA, né en 1957 a été Maître de Conférences à l'Université de Bourgogne de 1988 à 1993, depuis il est Maître de Conférences à l'Université Paris VII. Il a soutenu son Habilitation à diriger des recherches en 1997. Ses recherches concernent la géométrie riemannienne. Depuis 1990 il a effectué de nombreuses visites à la PUC-Rio, Pontificia Universidade Cat6lica do Rio de Janeiro, en particulier comme Professeur invité en 1991 et 1993. ISBN 978-2-84225-085-0 © Cassini, Paris, 2009 Une première édition de cet ouvrage a été publiée en 1997 par Diderot éditeur, Arts et sciences (ISBN 2-84134-001-5). La présente édition est considérablement augmentée. Table des matières Préface de la deuxième édition VII Chapitre 1. Topologie et fonctions holomorphes I 1.1. Variétés et surfaces . . . . . . . . . . 1.2. Groupe fondamental et revêtements . 19 1.3. Fonctions holomorphes . . . . . . 30 Chapitre 2. Géométrie hyperbolique 43 2.1. Le plan hyperbolique JH[2 . . . . . 44 2.2. Les géodésiques du plan hyperbolique . 60 2.3. Le disque de Poincaré . . . . . . . . . 69 2.4. Description des isométries positives de JH[2 73 2.5. Géométrie et trigonométrie du plan hyperbolique 85 2.6. Courbe et courbure dans JH[2 . . . . . . . . . . . . ro9 Chapitre 3. L'espace hyperbolique en dimension supérieure I43 3.1. Modèle du demi-espace 143 3.2. Les réflexions de JH[n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.3. Les hyperplans totalement géodésiques de JH[n 159 3.4. Quelques remarques sur les isométries de JH[n 175 3.5. Quelques surfaces particulières de JH[3 . . . . . 194 Chapitre 4. Surfaces de Riemann 2u 4.1. Origine des surfaces de Riemann: les fonctions algébriques 21 l 4.2. Étude détaillée d'un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.3. Définition des surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . 227 4.4. Cartes isothermes et structure conforme déduite d'une métrique 239 4.5. Relation de Hurwitz, formes différentielles et relation de Riemann 255 4.6. Surfaces de Riemann vues comme quotient de leur revêtement universel . . . . . . . . . . . . 271 4.7. Structures conformes sur le tore . 294 4.8. Structures conformes sur l'anneau 319 Annexe A. Propriétés générales du plan hyperbolique 33I Annexe B. Indications sur les exercices 343 Bibliographie 357 Index 36I V Préface de la deuxième édition À l'issue de la première édition (Diderot, 1997), il nous avait semblé que certaines idées qui nous avaient motivés n'avaient pas été pleinement exprimées. C'est la raison principale de cette seconde édition. Cet ouvrage a pour objectif d'être une introduction élémentaire à la géométrie hyperbolique et à la théorie des surfaces de Riemann. Le rapport entre ces deux sujets est mis en évidence par le fait crucial suivant. Toute surface de Riemann, exceptés le plan complexe, le plan complexe privé d'un point, la sphère et les surfaces compactes de genre un, est conformément équivalente au quotient du plan hyperbolique par un groupe d'isométries. En fait, nous prétendons établir certaines bases fondamentales de géomé trie qui permettront aux lecteurs intéressés de poursuivre l'étude de la géomé trie différentielle, de la géométrie riemannienne et de la géométrie conforme. Par exemple, nous présentons la relation classique entre le lemme de Schwarz concernant les fonctions holomorphes et la géométrie hyperbolique. Les surfaces qui minimisent l'aire, appelées surfaces minimales, sont très étudiées. Nous introduisons dans la suite les notions et les outils de base de cette théorie, ainsi que quelques exemples classiques. La notion de courbure est essentielle en géométrie. Nous introduisons les notions de courbure des courbes du plan hyperbolique, de courbure moyenne, de courbure de Gauss des surfaces et les notions de surfaces géodésiques ou ombiliques dans l'espace hyperbolique. Nous établissons le principe du maximum pour les courbes du plan hyperbolique et présentons des applications. Nous présentons des notions fondamentales de la théorie des surfaces de Riemann comme par exemple, les cartes isothermes, les structures conformes, les groupes de transformations conformes du plan complexe, du disque et de la sphère de dimension 2. Nous établissons aussi la relation de Hurwitz et la relation de Riemann. Nous déterminons toutes les structures conformes du *Le premier auteur remercie le Laboratoire Géométrie et Dynamique de l'Institut de Mathématiques de Jussieu pour l'aimable accueil qu'il a reçu pendant ses visites. Le second auteur est reconnaissant au Departamento de Matematica da Pontificia Universidade Cat6lica do Rio de Janeiro pour la gentillesse qui lui a été prodiguée durant ses séjours. Les auteurs souhaitent remercier la FINEP, le CNPq, le PRONEX de Geometria et la FAPERJ du Brésil, ainsi que l'accord Brésil-France pour leur soutien durant l'élaboration de cet ouvrage. VII VIII PRÉFACE tore et nous faisons une étude concise des fonctions elliptiques. Cette étude permet de présenter deux exemples de surfaces minimales parmi les plus classiques: l'exemple de Riemann au x1x0 siècle et la surface de Costa au xx0 siècle. Dans cette nouvelle édition, nous avons corrigé quelques erreurs relevées dans la première édition, une grande parie du texte a été remaniée, des figures et de nouveaux exercices ont été ajoutés. Nous avons aussi ajouté un chapitre dans lequel nous introduisons de manière détaillée l'espace hyperbolique de dimension quelconque et une annexe où nous donnons plusieurs propriétés générales, ainsi qu'une caractérisation, du plan hyperbolique. Au total, le volume est environ le double de celui de la première édition. Une certaine familiarité avec les fonctions holomorphes et la géométrie euclidienne peut aider pour une meilleure compréhension de cet ouvrage. Ce livre est accessible aux étudiants de Ml de mathématiques (quatrième année). Cet ouvrage a un caractère introductif. Les outils techniques sont donc introduits de manière progressive, au fur et à mesure des besoins. L'ouvrage comporte en outre de nombreux exemples et exercices. Dans le chapitre 1 nous présentons succinctement les notions générales dont nous avons besoin dans la suite du livre. Ces notions concernent la topologie générale, la théorie des surfaces, la théorie des revêtements et les fonctions holomorphes. Dans le chapitre 2 nous traitons en détail la géométrie du plan hyperbo lique. Dans la section 2.1 nous introduisons le modèle du demi-plan du plan hyperbolique, IHI2, ainsi que la métrique hyperbolique glHI puis nous classifions les isométries de IHI2. Nous faisons l'étude détaillée des géodésiques de IHI2 dans la section 2.2. Dans la section 2.3 nous introduisons le modèle du disque du plan hyperbolique, le disque de Poincaré [j), et nous déterminons ses géodésiques et ses isométries. Nous donnons une description géométrique des isométries positives de IHI2 dans la section 2.4, puis nous introduisons la notion d'horocycle. Dans la section 2.5 nous faisons l'étude géométrique et trigonométrique de IHI2 : par exemple, nous donnons l'expression explicite de la distance hyperbolique entre deux points et nous démontrons que les cercles hyperboliques sont aussi des cercles euclidiens. Nous démontrons le théorème de Schwarz-Pick et nous en déduisons qu'une application holo morphe de [j) dans [j) qui n'est pas une isométrie raccourcit strictement la distance hyperbolique. Puis, nous établissons des relations trigonométriques et nous démontrons que la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours strictement inférieure à :rr. Nous introduisons aussi la notion de courbe équidistante. Dans la section 2.6 nous énonçons la définition de la courbure hyperbolique d'une courbe de IHI2 de manière élémentaire et nous