Introduccion Al Estudio De Los Fractales

80 Pages·0.582 MB·Spanish

by  Romero Neptali Y Sanchez Fernando

V Talleres de Formaci´on Matem´atica
Introducci´on al Estudio de los
Fractales
Neptal´ı Romero & Fernando S´anchez
Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004
Para Litz y Oriana
Presentaci´on
La geometr´ıa fractal es una j´oven disciplina cuyo objeto de estudio puede enunciarse, de una
manera un poco m´as formal, como el estudio de las propiedades topol´ogicas y geom´etricas de
conjuntos y medidas auto-similares en Rn. Aqu´ı “auto-similar” se usa en el sentido un poco vago
que ha popularizado por los trabajos de Mandelbrot, como un conjunto que es igual a si mismo
en todas las escalas, es decir, un conjunto que, despues de un re-escalamiento apropiado de una
vecindades pequen˜as de sus puntos “luce” igual a si mismo.
La disciplina se ha popularizado a trav´es de la difusi´on de im´agenes y programas de compu-
tadoras que nos presentan un mundo de figuras sorprendentes que en muchos casos se aproximan al
arte y a la ciencia ficci´on. Una bu´squeda en Internet muestra un exuberante campo donde conver-
gen los intereses de investigadores en ciencias aplicadas, matem´aticos, artistas, creadores de efectos
especiales para el cine y hasta publicistas.
Esta explosi´on de inter´es est´a vinculada a la propagaci´on de los computadores personales y las
nuevas tecnolog´ıas de la informaci´on, con un visible impacto en la imaginer´ıa de la sociedad de
consumo contempor´anea.
Pero no todo es moda y publicidad. Desde el punto de vista cient´ıfico hay un genuino inter´es
po caracterizar estructuras tanto f´ısicas como de datos que necesitan ser tratadas con m´etodos de
teor´ıa de la medida para introducir cuantidades calculables experimentalmente que caracterizan la
organizaci´on espacial de conjuntos de puntos en el espacio con apariencia ca´otica y desorganiza-
da. Las ideas de la geometr´ıa fractal se han aplicado al estudio de las configuraciones espaciales
“poblaciones” de “puntos” distribu´ıdos en un volumen tales como:
poblaci´on humana sobre una territorio, continente e incluso sobre la Tierra misma;
observaciones metereol´ogicas en estaciones distribu´ıdas de manera desigual sobre el planeta;
distribuci´on de disipaci´on de energ´ıa en un flu´ıdo turbulento, que fue el objeto inicial de
estudio que llev´o a Mandelbrot a proponer el estudio de fractales como una parte esencial de
nuestra comprensi´on actual de la naturaleza;
distribuci´on de errores en una l´ınea de transmisi´on;
distribuci´on de impurezas en la superficie y nu´cleo de materiales conductores, superconducto-
res y aislantes en la f´ısica del estado s´olido;
distribuci´on de minerales raros sobre la superficie de la tierra tales como oro, cobre y petr´oleo
series temporales de datos tales como precios de mercancias y valores financieros en econom´ıa,
tr´afico vehicular en grandes ciudades, etc.
En todo estos ejemplos hay una escala global relevante confrontada con estructuras locales muy
ricas y variables.
Al proponer su visi´on de la geometr´ıa fractal como la geometr´ıa de la naturaleza, Mandelbrot
busc´oenlaMatem´aticamodelosgeom´etricossimplesdeconjuntostalescomo:elconjuntodeCantor
III
ternario, el tapiz de Sierpinski, la curva de Koch y la esponja de Sierpinski . El desarrollo del
computador con sus enormes potencialidades gr´aficas atrajo de nuevo la atenci´on de matem´aticos
y cient´ıficos sobre unos conjuntos cuyo estudio se remonta a los or´ıgenes de la topolog´ıa, la teor´ıa
de la medida y las investigaciones de principios del siglo XX sobre la teor´ıa de funciones de variable
compleja, debidas a Fatou y Julia.
Desde el punto de vista t´ecnico la geometr´ıa fractal no es una disciplina axiom´atica y aut´onoma
como la geometr´ıa de Euclides. Ella se encuentra en algu´n lugar en la intersecci´on de la topo-
log´ıa, la teor´ıa de la medida y se ramifica r´apidamente hacia la teor´ıa de sistemas din´amicos y sus
aplicaciones.
En la actualidad hay numerosos libros que tratan sobre el tema desde el punto de vista de
sus fundamentos matem´aticos y de las aplicaciones. Recomendamos especialmente los libros de
Falconer [5] y Edgar [4]. Tambi´en la obra “Fractals”, del f´ısico noruego Jens Feder, que ofrece una
panor´amica de las aplicaciones f´ısicas, especialmente aquellas motivadas por la investigaci´on de
yacimientos petroleros (percolaci´on, etc.).
Elobjetodeestamonograf´ıaqueofrecemoscomopartedelTForMaesm´aspuntualydecar´acter
puramente matem´atico. Aprovechamos la oportunidad de la motivaci´on e inter´es de los estudiantes
sobre el tema para introducir al estudio riguroso de los aspectos topol´ogicos y m´etricos de los
conjuntos auto-similares. Esto nos llev´o a repasar algunos resultados de topolog´ıa y medida, para
ofrecerdemostracionesrigurosasdealgunaspropiedadesdefractalescl´asicostalescomolosconjuntos
de Cantor, el tapiz de Sierpinski y la curva de Koch. Demostraciones que desde luego no tienen
espacio en la inmensa mayor´ıa de p´aginas web y literatura de divulgaci´on sobre este tema, pero
cuyo estudio luce instructivo y necesario para la formaci´on de los estudiantes de las carreras de
matem´aticas.
iv ´Indice General
´
Indice General
Cap´ıtulo 1. Topolog´ıa de espacios m´etricos 1
1.1. Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Espacios M´etricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Ejemplos de espacios m´etricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Cap´ıtulo 2. Nu´meros reales como l´ımites 8
2.1. El algoritmo sumerio de la ra´ız cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Desarrollos p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. El espacio de la aritm´etica p-adica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Cap´ıtulo 3. Dos ejemplos cl´asicos 20
3.1. Las arenas de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1. Variaciones de la construcci´on de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. El tapiz de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Cap´ıtulo 4. Sistemas Iterado de Funciones 26
4.1. M´etrica de Hausdorff y el espacio de las formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. SIF y el operador de Hutchinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1. El atractor de un SIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2. Aproximaciones de X : un algoritmo determinista . . . . . . . . . . . . . . . 36
∞
4.3. Otros ejemplos de atractores de SIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1. Transformaciones Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2. Variaciones del Cantor ternario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.3. Variaciones del Tapiz de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.4. Curvas de Koch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.5. Una funci´on de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4. M´as propiedades de los SIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
´Indice General V
4.5. Algoritmos deterministas y el juego del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Cap´ıtulo 5. Medida y dimensi´on 57
5.1. La medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. Particiones generadoras `a la Souslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3. Dimensi´on topol´ogica y universalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4. C´alculo de dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5. Nota final y agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Referencias Bibliogr´aficas 72
Cap´ıtulo 1
Topolog´ıa de espacios m´etricos:
conceptos elementales y resultados
importantes
Comenzamos estas notas sobre algunas nociones de Geometr´ıa Fractal sentando una base to-
pol´ogica necesaria. El objetivo de este Cap´ıtulo es reunir algunos resultados de la topolog´ıa de
espacios m´etricos que ser´an usados a lo largo de esta monograf´ıa; por tanto, el presente resumen
ser´a necesariamente directo y poco pedag´ogico. Haremos un repaso de los conceptos y propiedades
elementales sobre: espacios m´etricos, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, compacidad, conver-
gencia, completitud, conexidad y equivalencia de espacios m´etricos.
1.1. Definici´on y ejemplos
Definici´on 1.1.1. Un espacio m´etrico es un conjunto X equipado con una funci´on d : X×X −→ R
que satisface las siguientes propiedades:
1. d(x,y) ≥ 0 para todo x,y ∈ X.
2. d(x,y) = d(y,x) para todo x,y ∈ X.
3. d(x,y) = 0 si, y s´olo s,i x = y
4. d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) para todo x,y,z ∈ X.
Los elementos de X ser´an llamados puntos y d = d(x,y) es, por definici´on, la distancia entre los
puntos x,y ∈ X. Al par (X,d) se le conoce con el nombre de espacio m´etrico.
El concepto de espacio m´etrico generaliza la noci´on de distancia tal como se usa en la geometr´ıa
euclideana. Los siguientes ejemplos son b´asicos. Aqu´ı | · | es el valor absoluto de un nu´mero real y
kxk = px2+···+x2 es la norma definida por el producto interno standard de Rn.
1 n
1.1.1. Ejemplos
1. Los siguientes son ejemplos de m´etricas en X = R:
a) d(x,y) = |x−y| (m´etrica euclideana)
b) d(x,y) = λ|x−y|, donde λ > 0 es un nu´mero real positivo
2 Topolog´ıa de espacios m´etricos
c) d(x,y) = ρ(|x−y|), donde ρ = ρ(u) ≥ 0 es una funci´on real cont´ınua no decreciente, que
se anula tan s´olo en u = 0.
2. SeaX = Rn,elproductocartesianodencopiasdeR.Lassiguientesfuncionesdefinenm´etricas
en Rn:
a) d(x,y) = kx−yk;
b) d(x,y) = |x −y |+···+|x −y |
1 1 n n
c) d(x,y) = m´ax{|x −y |,··· ,|x −y |}.
1 1 n n
3. Los dos ejemplos que siguen a continuaci´on ilustran la generalidad del concepto de espacio
m´etrico:
Sea C0([0,1]) el conjunto de las funciones continuas del intervalo unitario en R. Las
siguientes funciones definen m´etricas en C0([0,1]):
a) d(f,g) = sup |f(x)−g(x)|
x∈[0,1]
R1
b) d(f,g) = |f(x)−g(x)|dx
0
c) d(f,g) = (R1|f(x)−g(x)|2dx)1/2
0
d) d(f,g) = (R1|f(x)−g(x)|pdx)1/p, p > 0
0
Sea (X,d) un espacio m´etrico y P(X) = {E : E ⊆ X} el conjunto de todos los subcon-
juntos de X. En el Cap´ıtulo 3 probaremos que la funci´on
dist (E,F) =´ınf{δ > 0 : E ⊂ B (F) y F ⊂ B (E)}
H δ δ
es una m´etrica en el subespacio de conjuntos cerrados no vac´ıos de X, donde B (E) =
δ
{x ∈ X : d(x,E) < δ} es el entorno de radio δ del conjunto E. Ver abajo.
La funci´on distancia de un espacio m´etrico nos permite formalizar la noci´on intuitiva de “pro-
ximidad” o “vecindad” de puntos, concepto topol´ogico por excelencia. Las siguientes cantidades y
subconjuntos ser´an usados a lo largo de esta monograf´ıa.
Sea E ⊂ X un subconjunto de X, definimos:
1. distancia de un punto x a un conjunto E :
d(x,E) = ´ınf d(x,y);
y∈E
2. di´ametro de un conjunto E :
diam(E) = sup{d(x,y) : x,y ∈ E };
3. bola abierta de centro x y radio r > 0 :
B(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) < r};
4. bola cerrada de centro x y radio r :
C(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) ≤ r};
1.1 Definici´on y ejemplos 3
5. bola abierta entorno a un conjunto E y radio r :
B (E) = {x ∈ X : d(x,E) < r};
r
6. bola cerrada entorno a un conjunto E y radio r :
C (E) = {x ∈ X : d(x,E) ≤ r}.
r
Definici´on 1.1.2. Sea (X,d) un espacio m´etrico. Decimos que un conjunto U es abierto si para
todo x ∈ U existe r > 0 tal que B(x,r) ⊂ U. Un conjunto F ⊂ X es cerrado si su complemento es
abierto.
Teorema 1.1.1. Sea (X,d) un espacio m´etrico.
1. La uni´on de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
2. La intersecci´on de un conjunto finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. La uni´on finita de cerrados es cerrada.
4. La intersecci´on de conjuntos cerrados es un subconjunto cerrado.
5. El conjunto formado por un u´nico punto {x} es un conjunto cerrado. Todo subconjunto finito
{x ,··· ,x } es cerrado.
1 n
6. La bola abierta B(x,r) es un conjunto abierto.
7. La bola cerrada C(x,r) es un conjunto cerrado.
Un conjunto N(x) es un entorno o vecindad de un punto x ∈ X, si existe una bola abierta tal
que B(x,r) ⊂ N(x). Desde luego B(x,r) es un entorno abierto de x y C(x,r) un entorno cerrado.
Un conjunto abierto es entorno de todos sus puntos.
Sea A ⊂ X un subconjunto no vac´ıo. Diremos que x es un punto de acumulaci´on de A, si toda
vecindad abierta de x intersecta A:
B(x,r)∩A 6= ∅ para todo r > 0.
El conjunto de los puntos de acumulaci´on de A se llama clausura topol´ogica y se denota A.
Unpuntox ∈ X espunto l´ımitedeunsubconjuntoA,siparatodor > 0setieneB(x,r)−{x}∩
A 6= ∅. Denotamos A0 el conjunto de puntos l´ımites, tambi´en conocido como conjunto derivado de
A.
Un punto x ∈ X es punto frontera de A, si toda vecindad abierta de x corta a A y a su
complemento; esto es,
B(x,r)∩A 6= ∅ y B(x,r)∩Ac 6= ∅ para todo r > 0,
donde Ac = X −A es el complemento de A en X.
Un punto x ∈ A es un punto interior si existe r > 0 tal que B(x,r) ⊂ A. Denotamos A0 el
conjunto de los puntos interiores de A.
El siguiente enunciado resume algunas de las propiedades b´asicas de que relacionan las defini-
ciones anteriores.