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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES HUGO CORNEJO VILLENA HUGO CORNEJO ROSELL INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES HUGO CORNEJO VILLENA HUGO CORNEJO ROSELL UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA DR. AMéRICO GUEVARA PéREz Rector DR. HéCtOR GONzALES MORA Vicerrector Académico σ DRA. PAtRICIA GIL KODAKA Vicerrectora de Investigación JOSé CARLOS VILCAPOMA Jefe del Fondo Editorial Hugo Cornejo Villena - Hugo Cornejo Rosell Introducción al cálculo de probabilidades Lima: 2021; 348 p. © Hugo Cornejo Villena © Hugo Cornejo Rosell © Universidad Nacional Agraria La Molina Av. La Molina s/n La Molina Derechos reservados ISBN: 978-612-4387-83-8 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2021-10310 Primera edición digital: septiembre de 2021 Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado, sin autorización escrita del autor. Todos los conceptos expresados en la presente obra son responsabilidad de los autores. TABLA DE CONTENIDO Prólogo .................................................................................................... 3 Capítulo 1: Espacio de probabilidad ................................................................. 5 1.1 Introducción ............................................................................................... 5 1.2 Experimento aleatorio ............................................................................... 6 1.3 Espacio muestral ........................................................................................ 7 σ -algebra de eventos ............................................................................. 10 1.4 1.5 Espacio de probabilidad........................................................................... 14 Capítulo 2: Analisis combinatorio .................................................................. 30 2.1 Principio de enumeración ........................................................................ 30 2.1.1 Principio de multiplicación. .................................................................... 30 2.1.2 Principio de adición ................................................................................ 32 2.2. Tipos de análisis combinatorio. ............................................................... 33 2.2.1 Permutaciones ......................................................................................... 34 2.2.2 Combinaciones ....................................................................................... 43 Capítulo 3: Probabilidad condicional e independencia ................................... 52 3.1 Probabilidad condicional ......................................................................... 52 3.2 Eventos independientes ........................................................................... 69 Capítulo 4: Variables aleatorias y distribuciones discretas ............................. 78 4. 1. Variables aleatorias ................................................................................. 78 4. 2. Distribuciones discretas de una variable .................................................. 84 4. 3. Funcion de probabiliad de una variable aleatoria discreta ................. 85 4. 4. Funcion de distribucion de una variable aleatoria discreta ................. 89 4. 5. Funcion de distribucion de varias variables aleatorias discretas .............. 99 4. 6. Distribucion de probabilidad condicional .............................................. 117 Capítulo 5: Tipos especiales de distribuciones discretas ............................... 129 5. 1. Distribucion discreta uniforme .............................................................. 129 5. 2. Distribucion binomial y distribucion de pascal ..................................... 130 2 Hugo Cornejo Villena &Hugo Cornejo Rosell. 5. 3. Distribucion hipergeometrica.................................................................136 5. 4. Distribucion de poisson.........................................................................138 5. 5. Distribucion polinomial.........................................................................144 Capítulo 6: Distribuciones continuas.............................................................153 6. 1. Distribuciones continuas de una variable aleatoria................................153 6. 2. Distribuciones continuas de varias variables aleatorias.........................165 6. 3. Densidad de las funciones de variables aleatorias.................................182 Capítulo 7: Tipos especiales de distribuciones continuas..............................196 7. 1. Distribuciones Gamma y Beta...............................................................196 7. 2. Distribucion normal...............................................................................203 7. 3. Distribucion Exponencial......................................................................220 7. 4. Distribucion ji -cuadrada......................................................................224 7. 5. Distribucion Weibull..............................................................................230 7. 6. Distribucion F........................................................................................232 7. 7. Distribucion Tde Student......................................................................236 Capítulo 8: Esperanza matematica y limites..................................................250 8. 1. Esperanza de una variable aleatoria.......................................................250 8. 2. Esperanza de combinacion lineal de variables aleatorias.......................265 8. 3. Momentos y funcion generadora de momentos de variables aleatorias.269 8. 4. Esperanza condicional...........................................................................286 8. 5. Convergencia en probabilidades............................................................292 8. 6. Teoremas sobre limites..........................................................................297 Tablas ........................................................................................319 Respuestas a los ejercicios......................................................................................334 Bibliografía ................................................................................................344 PRÓLOGO En las últimas décadas, la importancia del conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico y radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta los posibles imponderables debidos al azar en los más variados campos, tanto de la ciencia como de la vida cotidiana. La probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles. Se aplica en áreas variadas del conocimiento, como las ciencias exactas (estadística, matemática pura y aplicada, física, química, astronomía), las ciencias sociales (sociología, psicología social, economía), la astronomía, la meteorología y, en especial en forma más reciente, la biomedicina. La importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos. Cuanto mayor sea la cantidad de datos disponibles para calcular la probabilidad de un acontecimiento, más preciso será el resultado calculado. El libro está divido en ocho capítulos; en el primer capítulo se aborda el concepto de espacio de probabilidades; en el segundo capítulo se presentan los principios de enumeración y los tipos de análisis combinatorio; en el tercer capítulo se presentan los conceptos probabilidad condicional y eventos independientes; en el cuarto capítulo se informa sobre variables aleatorias, distribuciones discretas, funciones de probabilidad, distribuciones de variables discretas; en el quinto capítulo se informa sobre tipos especiales de distribuciones discretas; en el sexto capítulo se abordan sobre distribuciones continuas de una y varias variables; en el séptimo capítulo se estudian los principales tipos de distribuciones continuas y en el último capítulo se muestran conceptos de esperanza matemática y límites, así mismo se presentan las diferentes tablas estadísticas y las respuestas a los ejercicios propuestos. En cada capítulo se presentan definiciones, conceptos y resultados claros, ejemplos aplicativos y al final de éstos se han seleccionado ejercicios adecuados para consolidar los conceptos aprendidos Estamos agradecidos con muchas personas que nos brindaron su apoyo cuando escribíamos este libro, gratitud a los amigos y colegas de las Universidad Nacional Agraria La Molina y Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco por el aliento y sugerencias recibidas para que se haga realidad este propósito de publicar. Asimismo, gratitud a nuestros familiares y alumnos de ambas universidades que nos incentivaron para llevar adelante esta tarea de escribir. Especial agradecimiento a las Autoridades de la Universidad Nacional Agraria La Molina: Al Rector Dr. Américo Guevara Pérez, al Vicerrector Académico Dr. Héctor Gonzales Mora, a la Vicerrectora de Investigación Dra. Patricia Gil Kodaka, al Jefe del Fondo Editorial Dr. José Carlos Vilcapoma y al personal administrativo del Fondo Editorial, por hacer realidad la publicación de este libro. LOS AUTORES CAPÍTULO 1: ESPACIO DE PROBABILIDAD 1.1 INTRODUCCIÓN La teoría de la probabilidad tuvo su origen en el siglo XVI, en el estudio de problemas relacionados con los juegos de azar que por entonces se jugaban en Monte Carlo; un noble francés intentó sin mucha suerte describir en forma matemática la proporción relativa de tiempo en que se podrían ganar ciertas apuestas, y como conocía a dos connotados matemáticos de la época: Blas Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1610 - 1665), les transmitió sus dificultades. Esto originó el fructuoso intercambio de comunicación entre los dos matemáticos referente a la aplicación correcta de la matemática para poder calcular la frecuencia relativa de ocurrencias en juegos sencillos de apuestas. Los historiadores coinciden en que este intercambio de correspondencias marcó el inicio de la teoría de las probabilidades, tal como es conocido hoy en día. El matemático Pedro Simón Marqués de la Place (1749 -1827) establece explícitamente en su obra clásica “Theoric Analytique des Probabilites” (1812), como principio fundamental de toda teoría la definición de frecuencia relativa que es más o menos la siguiente: si va a realizarse un experimento de azar (alguna operación cuyo resultado no puede ser predicho), entonces son varios los resultados posibles que pueden ocurrir cuando se realiza el experimento. Si ocurre un evento (acontecimiento o suceso inseguro de realización incierta), entonces la probabilidad de un evento es la razón del número de casos favorables al evento y el número total decasos favorables. Existen muchos problemas para los cuales esta definición no es apropiada, la debilidad surge debido a que nada dice en cuanto a la forma de decidir si dos cosas deben o no considerarse como igualmente posibles y la idea de formarse de cómo puede hacerse la división en casos igualmente posibles cuando se trata de observaciones de los experimentos al azar. Los avances matemáticos en la teoría de la probabilidad estaban relativamente limitados y no pudieron establecerse con firmeza, hasta que el matemático Andrey Nokolaevic Kolmogorov (1903 - 1987) en su obra “Grundbegriffe der Wahrscheinlich Keitsrechnvng” (1933) enunció matemáticamente un conjunto sencillo de tres axiomas o reglas a las que se supone que las posibilidades se ajustan. Establecido esta base axiomática, se han logrado avances muy significativos en la teoría de las probabilidades y en el número de problemas prácticos a los cuales puede aplicarse. En el presente capítulo estudiaremos estos tres axiomas y las razones por las que podrían adoptarse razonablemente estos axiomas a las que obedecen las probabilidades; la definición de la frecuencia relativa de la probabilidad, antes indicada, sólo es una manera de calcular las probabilidades, como mostraremos, éstas cumplen los tresaxiomas. 6 Hugo Cornejo Villena &Hugo Cornejo Rosell. Centremos nuestra atención en la construcción de un modelo de • probabilidad para un experimento que es el espacio de probabilidad especificado por (1) el conjunto de resultados posibles, (2) una familia de • eventos del conjunto de resultados y, (3) la frecuencia relativa en que ocurren • estos, calculada a partir de un análisis del experimento y para su consistencia se usan los axiomas. 1.2 EXPERIMENTO ALEATORIO = Para la comprensión posterior, presentamos las siguientes definiciones: DEFINICIÓN 1.2.1 Un experimento u operaciónes una acción y efecto mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico. DEFINICIÓN 1.2.2. Un experimento es determinístico, cuando el resultado de la observación se predice con exactitud antes de realizar el experimento. DEFINICIÓN 1.2.3. Ω Un experimento es no determinístico, aleatorio o estadístico, cuando el resultado de la observación no se puede predecir con exactitud antes de Ω= ω ω realizar el experimento. EJEMPLO 1.2.1Son ejemplos de experimento determinístico, las siguientes operaciones: 1. Lanzar un objeto al aire. 2. Tirar una piedra a un vidrio. 3. Observar el color de una bola extraída de una urna que contiene sólo bolas azules. 4. Quemar un objeto fungible. 5. El fin de la vida de un ser viviente. 1.2.2 Son ejemplos de experimento aleatorios, las siguientes operaciones: E : Lanzar una moneda y observar la cara superior. 1 E :Lanzar una moneda 3 veces y observar el número de caras obtenidas. 2 E :Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos y Ω = 3 no defectuosos. Ω = = E4:Observar el color de una bola extraída de una urna que contiene = = bolas negras y blancas. Ω = E :Observar el tiempo de duración de una bombilla eléctrica. 5 Ω = E :Observar la mortalidad infantil de una población en un determinado 6 Ω = ∈ ≥ mes. Ω = Al observar experimentos aleatorios, encontramos las siguientes características comunes: Introducción al Cálculo de Probabilidades 7 • Cada experimento puede repetirse indefinidamente sin variar esencialmente sus condiciones. • No se conoce “a priori” un resultado particular del experimento. • Cuando el experimento se repite en un número suficientemente grande de veces, su resultado tiende a un modelo de regularidad; es decir, llega a m estabilizarse la función h = (frecuencia relativa), donde nes elnúmero n de repeticiones, m el número de éxitos de un resultado particular establecido antes de realizar el experimento. 1.3 ESPACIO MUESTRAL Manifestamos como un aspecto común de que cada experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y que podemos describir con precisión el conjunto de estos resultados posibles; ello nos induce a dar la siguiente definición: DEFINICIÓN 1.3.1 Dado un experimento aleatorio E, un espacio muestral, denotado por Ω, es el conjunto formado por todos los resultados posibles de E, esto es: Ω={ω ω es el resultado posible de E} A cada resultado de un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente un punto muestral. El espacio muestral puede tener un número finito o infinito de elementos y ello depende del experimento aleatorio. EJEMPLOS: 1.3.1 Son ejemplos de espacio muestral asociados a los experimentos del ejemplo 1.2.2, los siguientes espacios, que se describa mediante una enumeración de los elementos o el método de la regla, que dependen de cada problema específico: Experiment Espacio Muestral o Aleatorio E Ω ={C,S}; C = Cara, S = Sello 1 1 E Ω ={0,1,2,3}={(s,s,s),(c,s,s),(s,c,s),(s,s,c),(c,s,c), 2 2 (s,c,c),(c,c,s),(c,c,c)};c=cara s=sello Ω ={D,N}; D = Defectuoso, N = No defectuoso 3 E 3 Ω ={x x es una bola negra o blanca} 4 E 4 Ω ={t∈ /t ≥ 0} 5 E 5 Ω ={x x número de niños que mueren en un mes} 6 E 6