Introduccion al analisis real

361 Pages·1975·74.509 MB·Spanish

by  Barbolla, Rosa,  M. Garcia Marrero,  J. Margalef Roig, E. Outerelo Dominguez,  J. L. Pinilla Ferrando,  J. M. Sanchez Abril

R. M. BARBOLLA GARCIA
Profesora da la Facultad de Ciencia* Eeeriimicas
de la Universidad Complutense de Madrid
M. GARCIA MARRÉRO
Catedrático de Instituía.
J. MARGALEF ROIG
Miembro del Instituía Jorge Juan de! CS-'C.
E. OUTERELO, DOMINGUEZ
J. L. P1NILLÁ-FERRANDO
J. M. SANCHEZ ABRIL
Profesores del Departamento de Geometría y Topología
de la Facultad de Matemáticas
de la Universidad Complutense de Madrid.
INTRODUCCION
AL
ANALISIS REAL
Primera edición, 1975
Segunda edición, 1931
EDITORIAL ALHAMBRA. S. A.
P. E. 152
Maddd l. Claudia Cotilo. 75
EJe/egacfone s:
Barcelona-S. Enrique Granados, SI
8llbao-14. Doctor Alblóanj. 12
la Coruja. Pasadizo da Pamas, 13
M4laga-9. La Regente, 5
Oviedo. Avda. dol Cristo. 9
Santa Cruz de Tenerife. General Porüer, 14
Sevllla-I2. Reina Mercedes. 35
Vslencli-3. Cabulera. 5
Zaragoza-S. Concepción Arenal. 25
México
Editorial Alhambra Mexicana. S. A.
Avda. División del Norte. 2412
Méxlco-13. D.F. ' .
Bep. Argentina
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INDICE GENERAL '. ( i
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Capítulos Páilncs r C
Prólogo r (
I El cuerpo de los números reales...................................................................... j "c<
Construcción «Je tas nútzcras reales. I. Unicidad di los números reales, 10. Otras
propiedades Importantes de los números reales, 12. Ejérzalos, 16. '-A
II Propiedades topológicas de los números reales. Al junas generalizacio­ c e
nes. La recta real ampliada.................................................................................. 19 (. c 1
Punios interiores. Subcczjuatos abiertos. Puntos adherentes. Subconjuntos cerra­
dos. Pumos de scu—ularióa, 13. El concepto de espacio topotóglco, 25. Subeon-
juntos compactos y eocenos de la recta real, 24. Sucesiones de números reales, 27. c
La recta real ampliidí, 35. Ejercidos, 42.
< c
111 Límites y continuidad de las funciones reales de una variable real ... 49
•Límites de las fundones reales de una variable real, 49. Limites de las funciones
reales de una variable reai en la recta ampliada, 53. Continuidad de las fundones
reales de una variable real, 63. Continuidad uniforme. 71. Ejercicios, 72.
IV Las funciones exponencial y logarítmica ......................................................... SI
La fuedóa exponencial, SI. La función logarítmica, 65. Sucesiones de poten­
cias, £7. Ejercicios, S2.
V Derivadas de las funciones reales de una variable real. Propiedades de C
las funciones derirables................................... 97
Derivada de una fundía real de una variable real. Propiedades, 97. Máximos y
mínimos locales. Teorema de Relie, de Cauchy y del valor medio. Aplicaciones.
Regle de L'Hópiul. 105. Derivadas de orden superior. Teorema de Cauchy genera* G \
tizado. Teorema de Taylcr, 117. Aplicaciones del teorema de Taylor, 122. Ejer­
cicios, 123.
Q<.
VI La integral de Riemann................................................................................... 140
Integral de las funciones escalonadas, 140. La Integral de Riemann, 144. Integra­
les Indefinidas y primitivas, 157. Primitivas de las funciones racionales, 170. C<
Ejercidos, 181.
oc
Vil Las funciones trígonométzfcas............................................... '. 183
La fundía arco tangente. Las fundones seno, coseno y trújente (restringidas), 188. o c
Las fundones seco, coseno y tangente. Las fundones arco sena y arco coseno, 194.
Las fundones secante, cosecante y cotangente. Unicidad de las fundones trígono-
¡nítricas, 199. Ejercidas, 204. °C
VIH Series de números reales 215 O c
Propiedades de las series de números reales, 215. Límites superior « Inferior de
una sucesión de números reales, 233. Criterios de converja da para las series de
términos no negativas, 240. Productos Infinitos, 250. Ejercicio», 256.
° c j
m
3 -
I INDICE general. PROLOGO
VI
3 Capitulo* Páginas
t
IX Sucesiones y series de funciones....................................................................... 266
Sucesiones de funciones, 266. Series de funciones, 277. Series ¿e potencias. 357.
» Series triiCoométriesi. Series de Fourier, 295. Ejercidos, 319.
1
X Integrales sobre intervalos no compactos. Aplicaciones geométricas ¿i
B. las integrales................ ...............................................................................-.........
' Integrales sobre Intervalos no compactos, 333. Criterios de ¡r.rejrabilidad para fun­
cione* definidas en intervalos no compactos, 340. Aplieadcaes geométricas ¿e fas La primera edición de este libro surgió como resultado de la labor desarro-
B
Integrales, 348. Ejercicios, 356. liada por los autores en las asignaturas del Primer Curso de las Facultades
3 XI El espacio euclídeo R\ limites y continuidad de las funciones ectre de Ciencias. En él se recogen las materias impertidas hcbitualmente en dichos
cursos, siendo su objetivo esencial el estudio de las propiedades de los núme­
espacios euclideos................ 365
ros reales y de las funciones reales de una variable real.
i 3 El espado euclídeo n-dimensional í», 355. Sucesiones en R\ 370. Lfmíres de
tas fundones entre espacios euclídeo*, 372. Continuidad de las funciones :;r: La acogida dispensada a la primera edición ha permitido realizar la presente,
r r espacios euclideos,- 378. Ejercicios, 382. en la que, además de revisar el texto, se han incluido dos nuevos capítulos,
que tratan de las propiedades de los espacios euclideos y de las funciones de
1 XII Diferenciales de las fundones entre espacios euclideos ......................... 339 diversas variables.
' Diferencia: de las funciones de R en Rm, 389. Derivadas parciales y dlrecdcns- En todo momento se ha procurado que la exposición resulte sistemática
r r
Ies de las funciones de R* en Rm, 393. Diferencial de las fundones' de en y completa, incluyendo numerosos ejemplos con objeto ¿e aclarar y delimitar
Rm, 397. Propiedades de las funciones diferenciabas entre espacios euclidecs. 4-ió.
los conceptos introducidos.
CB' Ejercicios, 409.
En el capítulo 1 se construyen los números reales utilizando familias de
417
e r Indice de materias intervalos encajados, lo que constituye una variante del método de pares de
sucesiones monótonas. El lector que no esté interesado en dicha construcción
€B: puede omitir los apartados 1 y 2 de este capítulo, partiendo de la caracteriza­
ción de los números recles dada en el teorema 1.2.4.
CB El capítulo 11 trata de las propiedades topológicas de los números reales y
de la recta real ampliada. Con objeto de unificar el estudio de tales propieda­
CB des se han introducido algunos conceptos topólógicos generales, con lo que
i» también se pretende familiarizar al lector que haya de seguir cursos más
avanzados de Análisis Matemático.
I I Los capítulos III, V, VI y X contienen los temas usuales sobre limites,
continuidad, derivadas e integral de Riemann de las funciones reales de una
«» variable.
Las funciones elementales se construyen en los capítulos IV y Vil, siguien­
«»5 do un proceso de extensión para Icis funciones exponenciales, y utilizando la
integral en el caso de las funciones trigonométricas.
*»? Los capítulos VIH y IX se dedican al estudio de las series numéricas y de
las sucesiones y series de funciones. Estos capítulos están tratados con mayor
«•>
extensión que la usual en los textos de este nivel, por lo que en una primera
lectura se podrían omitir algunos apartados de los' mismos, como los dedicados
«*)
a los productos infinitos y las series de Fourier.
«*? Por último, en los capítulos XI y XII, se estudian Jas propiedades topoló­
gicas de lós espacios euclideos, los límites y continuidad de las aplicaciones
«N entre dichos espacios y el concepto de diferencial. Estos capítulos cumplen
también el objetivo de servir de enlace con un Segundo Curso de Análisis
Matemático.
Al final de cada capítulo se incluye una colección de ejercicios, siguiendo •
• » el orden del texto, cuya resolución ayudará de modo importante di alumno
a profundizar en la comprensión de las ideas tratadas.
• »
«•» Madrid, febrero de 1931. los Autores.
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I (
C a p í t Ulo
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EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES
C
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1.1. CONSTRUCCION DE LOS NUMEROS REALES
<
En este apartado varaos a construir los números reales a partir de los c
números racionales, cuyas propiedades básicas se suponen conocidas del lector.
Recordamos que el conjunto Q de los números racionales es un cuerpo orde­ <c
nado arquimediano, en el sentido de las siguientes definiciones:
<(
Definición 1.1.1. Sea K un conjunto, -f y - dos leyes de composición in­
terna definidas en K. Se dice que la terna (K, +, .) es un cuerpo si satisface c
las siguientes propiedades:
c
* (1) (a-rt) + c=a + (¿-f-c), para todo a,b,cEK.
c
~(2) Existe un elemento 0 E K tal que o+0=0, para todo a£ K.
* (3) Para todo aEK, existe un elemento — aEK, tal que a-f(-c) = 0.
(c
*■(4) a + b — b-ha, para, todo a,bEK.
(,
(5) (a-b)-c~a-(b‘c). para todo a,b,cE K.
(6) (a + b)-c=ci-c-f-6-c, y c.(b-rC) — a-b + a-c, para todo a,b.cEK.
(7) Existe un elemento 1 E K tal que a>l = a, para todo a £ K.
(8) Para todo cEJC—{0} existe un elemento a~! E K, tal que a*<z-, = l.
Las propiedades (1), (2), (3) y (4) significan que (íC, +) es un grupo abeliano.
Las propiedades (5), (7) y (8) indican que (¿C-{0}, •) es un grupo. .<5
Un cuerpo (íC, +, •) en el que a*b=*b'a, para todo a,bEK, se llama un c<
cuerpo conmutativo.
cC
Definición 1.15. Sea {K, 4-, •) un cuerpo conmutativo, ^ una relación
binaria definida sobre K. Diremos que (¿C, -f, *, <) es un cuerpo ordenado si (C
se cumplen las siguientes propiedades:
(1) a^a para todo a E K. CC.
(2) Si a,b£K, a^o y b^a implican que a-b.
CC,
(3) Si a, b,cEK, a^b y b^c implican que a<e.
ce
(4) Para todo a, bE K se verifica que a^b 6 b^a.
(5) Para todo a,b E K con a^b y todo c E K, se cumple que a+c<b+c. <JL
(6) Para todo a,bEK con a^b y todo cEK con 0<c, se cumple
a»c<6».c. <c
X
. d e
CONSTRUCCION DE LOS NUMEROS REALES
EL CUERPO DE LQ3 NUMEROS REALES
En efecto,
■ Las propiedades (1), (2) y (3) significan que < es una relación de orden
en K. Estas propiedades, junto .con (4), significan que la relación < es de 1
orden total. Finalmente, (5) y (6) expresan que la relación de orden < es
(9 + 1)!
compatible con I2S operaciones de adición y. multiplicación de K.
Notación: Si a^b y a^b se escribirá a < b ó b> a. 1 . i+—1_+. i
n (9 + 1)! -v q + 2 (q + 3)(q + 2) n(o-l)... (5 +2)
Definición 1.1.3. Un cuerpo ordenado (Tí, + ,•,<) se llama arquimediano
1 / i 1 1 \
s¡ para todo a,b E K con 0 < a < £», existe un número natural r. tal que
(9 +f 11)) ! i ¿97 ++ 22 + ((qq ++ 22)?1 +”’ ' ((C¿77 ++ 22))-’-»-1 /
rt
• % na—a+... + a> b. 1 1 ’ 5 + 2
• ? (9 + 1)! 1___L_ (9 + l)(9 + l)!
Definición 1.1.4. Sea (K, +, un cuerpo ordenado. Por K+ (resp. K~)
¿7 + 2
se designa el conjunto de los elementos de K tales que a > 0 (resp. a <Z 0).
• %
Entonces, si n E >7 es tal que+z > (5 +1)5(0+ 1)! > q + 2, resulta que
•% Definición 1.1.5. Sea (Tí, + , •, un cuerpo ordenado. Dados a,b £ K,
con c^b, se llama intervalo cerrado de extremos c y b y se designa por [a, b] ; r . 1 ^7 ~f " " - -i y- " -!
ál conjunto formado por los elementos c E K tales que q-ql j 4 q5- •q 5l! U9+11(5)!+1)! ni ) ^ .
El elemento a (resp, b) se llama el origen (resp. final) del intervalo [a, b].
1 9+2 * 1
El elemento b—a se llama longitud del intervalo [a, b] y se designa por l[a, b]. >
q.ql (9 +1) (9 +1)! (? +1)9(9+ 1)! n ’ '
Nótese que la longitud de un intervalo es mayor o igual que cero.
de donde
£
Observación 1.1.6. Notemos que en Q existen colecciones {7B)„cW de in­ • ! ^ 1
r ^ an+^ a,C —
tervalos cerrados encajados (es decir, tales que C 7„, para todo n) cuya
§ intersección H 7„ es vacía. Por ejemplo, sea In el intervalo aB, c„-í-— , En consecuencia.
..S.V SK n J
0 <q-9!(r-Gí)=p.q! -q-qla, < 1,
siendo ' !
1
SÉ y como qlaqEN, p-ql -q-qlaq sería un número entero comprendido entre
ni
0 y 1, lo cual es absurdo. □
Es inmediato que
Definición 1.1.7. Sea {7B}„gíí una familia de intervalos cerrados de un
•% ^an-i-—, para todo n E N. cuerpo ordenado (7C, —, », <). Se dice que {7„ }.,='* es una sucesión de Cauchy
c^C a,,^ <<Wi +■
71 T 1 de intervalos de K, si:
•%
1. 7„+i C7„, para todo n E N.
$ Veamos que no existe ningún número racional en rW„.
2. Para todo e E K+, existe mE N tal que 1(7*0 <
Supongamos que r fuese un número racional perteneciente-a. 0^7„. Como
El conjunto de los números reales 7?, que vamos a construir a continuación,
•% . • - * p ■ • - será un cuerpo ordenado arquimediano conteniendo a Q. Además, para toda
r sería mayor que cerp, existirían p,qEN tales que r*=—. Entonces, como
sucesión de Cauchy de intervalos de R, {7b}b£jv, existirá un único elemento
de Tí contenido en O
se verá a contínuación, se tiene la desigualdad 0 <¿(r)- aq <L -------— ■ EN
. vf'" La observación L1.6 junto con estas exigencias sugiere que definamos un
5 Para demostrarla veamos eri primer lugar que para todo(n^q + 2Jse cum­ número real cómo r>T?a clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy de ínter-'
ple que ^ valos de Q. La equivalencia de dos de dichas sucesiones, {7„}n6w ¿ {7B}„e.v,
expresará que P1 (7*)* coincide con - O (7b)a, donde (7*)* e (K)a designan los
i : ___9_+2_ _.. ‘ . - ■ «e.v . • * • »e.v . * ;
intervalos cerrados de R coa los mismos extremos que 7a e 7«, respectivamente.
(g + l)I *’ ni^(g+.l)Cí+l)l
4 EL CUERrO 0£ LOS NUMEROS REALES
Proposición 1.1.8. Sea C el conjunto de las sucesiones de Cauchy de in­
tervalos de Q. La relación binaria ~ en C, definida por {7„}„etV—{!«}«£» si
para todo n se verifica que /„n7¿5^<£, es una relación de equivalencia en C.
Demostración: Evidentemente la relación es reflexiva y simétrica.
Veamos que tiene la propiedad transitiva.
Sean {7„=fc, &„]}„£*, {/¿=0C&]}„e.v, {/¿'“ tó'. K']}*ex elementos de C
tales que ~ e
Supongamos que existe mEN con lmC\ !"=(}>. Entonces necesariamente
bm < o b"< a-.
Admitamos que b„.C a”.
Por ser una sucesión de Cauchy de intervalos, existe n E N tal
que n > tn y /(/«) < — . Como 7„ O Ir. = <}> (resp. l'„ fl 1„ <f>), se tiene
que a'^ó* (resp. Por tanto,
m)=K-a\>a’/-b n>a'¿-brn > 2
lo cual es absurdo.
Por consiguiente, /„ O 7¿' ^ ó para todo «, o sea {/„}„<= s ~ {l'¿}K s,v. □
/ Definición 1.1.9. AI conjunto cociente C}— se le llama conjunto de los
números reales y se le designa por R.
Proposición 1.1.10. Sean x,yE R. Las dos propiedades siguientes son equi­
valentes:
(1) Para toda sucesión de Cauchy de intervalos de Q, {ln = [aK, br]}„c.v,
representando a x, y toda sucesión de Cauchy de intervalos de Q,
{Jn=ícm d„]}„e.v, representando a y, existe m EN con b„ < c„.
(2) Existen sucesiones de Cauchy de intervalos de Q, (7' = [n', b.í]}Kc.v E x
y {J'n=[c’n, d']}K5v E y, tales que b[ < c,\
Demostración: Veamos que (1) implica (2).
Sean {7„ = [^, 6„]}re.v E x, {/„=[cn, <7fl]}Kg.v E y y m E N tal que bm < c„,.
-Definimos 7¿=7„+m_, y para todo nEN.
Como In O 7 ' = £ <£, se tiene que {7á}„e,v & *•
Análogamente {/*}„=* 6: y. Además, final (7í) = bm < c„, = origen (J¡).
Veamos que (2) implica (1).
Sean {7¿=[ffí,&í]}Bgyex, {}'n=[c'„,d'.]}nSS E y con b¡Cc¡, y suponga­
mos que {7„=fo, &„]}„<=* Ex y {/„=[c„,<7K3},e.v £ y.
Existe m E N tal que
<j/(t7 J\ < —ci~jb—\ y í1(/JyB )^ < —c\——b[ .
Como I„ O 7j (resp. Jm se tiene que a„^b¡ (resp.
Por tanto.
¿í+cí . c[-b[
□
2 • 2 c> ~—