Introducción al análisis de funciones de una variable compleja

129 Pages·2017·9.69 MB·Spanish

Introducción al análisis de funciones de
una variable compleja
Daniel Azagra Rueda
DEPARTAMENTODEANÁLISISMATEMÁTICO
FACULTADDECIENCIASMATEMÁTICAS
UNIVERSIDADCOMPLUTENSEDEMADRID
Enerode2017
Revisadoporúltimavezenenerode2021.
2
Índice general
Introducción 1
1. Númeroscomplejosyfuncioneselementales 3
1.1. Númeroscomplejosyfuncionescomplejaselementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. MétricaytopologíaenCysussubconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Elplanocomplejoampliado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. TransformacionesdeMöebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Funcionesholomorfas.LasecuacionesdeCauchy-Riemann 15
2.1. Funcionesholomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. LasecuacionesdeCauchy-Riemannyalgunasdesusconsecuencias . . . . . . . . . . . 17
2.3. Teoremadelafuncióninversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Seriesdepotenciascomplejas 25
3.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Integraciónencurvasdefuncionescomplejas 33
4.1. CurvasdeclaseC1 atrozosenRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. IntegracióndefuncionesconvaloresenRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3. IntegracióndefuncionescomplejassobrecurvasenC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. TeoríalocaldeCauchy 41
5.1. ElteoremadeCauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. LafórmulaintegraldeCauchyylaanaliticidaddelasfuncionesholomorfas . . . . . . . 45
5.3. Másconsecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6. Extensiónyaproximación 59
6.1. ElprincipiodereflexióndeSchwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. ElteoremadeaproximacióndeRunge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7. TeoríaglobaldeCauchy 71
7.1. Homotopíasyrecintossimplementeconexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2. TeoremasdeCauchypararecintosmúltiplementeconexos . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3. Ellogaritmocomplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4. Lafuncióníndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3
4 ÍNDICEGENERAL
8. SeriesdeLaurent 87
8.1. SeriesdeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2. Singularidadesaisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9. Funcionesmeromorfasyresiduos 95
9.1. Funcionesmeromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2. Elteoremadelosresiduosyalgunasdesusconsecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.Teoremadelaaplicaciónabierta.Aplicacionesconformes 103
10.1. Elteoremadelaaplicaciónabiertayalgunasconsecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2. AplicacionesconformesentreabiertosdeC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.LasfuncionesarmónicasyelproblemadeDirichlet 117
11.1. LaecuacióndeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.2. SeriesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.3. Convolucióndefuncionesynúcleosdesumabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.4. ElnúcleodePoissonylasolucióndelproblemadeDirichleteneldisco . . . . . . . . . 123
11.5. ElproblemadeDirichletendominioslimitadosporcurvasdeJordan . . . . . . . . . . . 129
11.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.7. Bonus:LasfuncionesarmónicasyelproblemadeDirichletenRn . . . . . . . . . . . . 135
Bibliografía 139
Introducción
Estemanualdesarrollaelprogramadelaasignaturatroncalyobligatoria(delgradoenMatemáticas
delaUniversidadComplutense)AnálisisdeFuncionesdeVariableCompleja.
Permítanos el lector hacer unos breves comentarios introductorios al desarrollo propiamente dicho
delprograma.Todoprofesordeuncursodevariablecompleja,asícomotodoautordeunmanualsobre
estetema,tienequeenfrentarsealosdilemasdecómodefinirlasfuncionesholomorfasycómodemostrar
losdosresultadosclavesdelcurso,asaber,elteoremadeCauchyylafórmulaintegraldeCauchy.
La vía más rápida es desde luego definir las funciones holomorfas como las funciones que son de-
rivables en sentido complejo y tienen derivada continua. Junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann
y el teorema de Green, esta definición permite dar demostraciones muy rápidas del teorema de Cauchy
y de la fórmula integral de Cauchy. Esta es la vía que siguen, por ejemplo, los libros de Gamelin y de
Greene-KrantzmencionadosenlaBibliografía.Lasventajasdeestemétodosonsurapidezylagenera-
lidaddeltipoderecintosparalosquepuedenestablecerseestosresultados(esdecir,todosaquellosalos
que se aplica el teorema de Green). Sus desventajas son la menor generalidad formal (respecto a otras
demostracionesqueusanunadefinicióndefunciónholomorfaenlaqueladerivadanosesuponeconti-
nuaapriori,aunqueporsupuestoloseaaposteriori),yprecisamenteelapoyarseenlafórmuladeGreen,
unresultadoquenosiempresedemuestraenloscursosdeCálculoIntegralconelrigorylageneralidad
deseables.
Laotraopción,representadaenlaBibliografíaporloslibrosdeAnsemil-Ponte,deRudin,ydeStein-
Shakarchi,esdefinirlasfuncionesholomorfascomolasderivablesensentidocomplejo(sinpresuponerla
continuidaddeladerivada),demostrarluegoelteoremadeCauchy-Goursat,yapartirdeahíestablecerel
teoremadeCauchyylafórmulaintegraldeCauchy,delaquepodrádeducirsefácilmentelaanaliticidad
delasfuncionesholomorfas,yenparticularlacontinuidaddesusderivadas.Lasventajasdeestavíason
sumayorgeneralidad(encuantoaladefinicióndefunciónholomorfa)yelcarácterautocontenidodelas
demostraciones(losresultadossepruebansinrecurriralafórmuladeGreen),loquehacesudesarrollo
másestético.Lasdesventajassonunamenorgeneralidadenlaclasederecintosparalosqueseestablecen
estosteoremas(abiertosconvexos),yelmayortiempoqueseconsumeantesdellegaraellos.
Creemos que no solamente el profesor debe ser consciente de la existencia de estas dos vías funda-
mentales para llegar a los teoremas principales del curso (así como de sus ventajas e inconvenientes),
sinoquetambiéndebeserloelalumno,porqueunestudiantedetercerodematemáticasestáyacapacita-
do para comprender este dilema y apreciar las ventajas e inconvenientes de cada una de las estrategias,
y sobre todo porque ambos enfoques son muy instructivos. Nos resultaría inconcebible tanto ignorar la
conexióndeestosresultadosfundamentalesconotrasasignaturas,víaelteoremadeGreen,comodespre-
ciarlabellezaylapotenciadelteoremadeCauchy-Goursatysusconsecuencias.Porellohemosoptado,
aldesarrollarestaasignatura,pordemostrardosveceslosteoremasdeCauchy(enversionesligeramente
diferentes), una vez con cada método. En primer lugar usamos la segunda estrategia, en el Capítulo 5
(Teoría local de Cauchy), para demostrar los teoremas de Cauchy para abiertos convexos, y con la de-
finición más general de función holomorfa. Después (habiendo ya visto que las funciones holomorfas
sonanalíticasyenparticulartienenderivadacontinua),enelCapítulo7(TeoríaglobaldeCauchy),uti-
lizamos el primer método para probar que el teorema de Cauchy y su fórmula integral son válidos para
recintosmásgenerales.
Otrocomentarioquecreemosoportunohacerapropósitodenuestrodesarrolloesqueparaintroducir
la definición y algunas de las propiedades básicas de las funciones armónicas (como que localmente
1
2 ÍNDICEGENERAL
son partes reales de funciones holomorfas) no esperamos a la teoría del último capitulo, sino que las
proponemos como ejercicios en el segundo capitulo. Nuestros motivos para hacer esto son que dichas
propiedades se basan en las ecuaciones de Cauchy-Riemann y no son difíciles de establecer, y por ello
pueden servir como ejercicios idóneos para ilustrar la importancia de estas ecuaciones y que el alumno
aprenda a manejarlas a la par que se familiariza de forma más temprana con las funciones armónicas,
pensandoenellas(siemprelocalmente)comopartesrealesoimaginariasdefuncionesholomorfas,yen
lasfuncionesholomorfascomofuncionesdelaformaf = u+iv dondeuyv sonarmónicas.
Tambiéndebemosdecirque,apesardequeesposibledesarrollarsatisfactoriamentelateoríadefun-
ciones de variable compleja de una forma totalmente autocontenida, creemos que en las clases siempre
debensubrayarselasconexionesdealgunosconceptosyresultadosdeestaasignaturasconlosdeotras,
como Geometría Diferencial y Topología, que el alumno cursa al mismo tiempo, y otras que podrá es-
tudiar más adelante, como Ecuaciones en derivadas parciales. Por poner un ejemplo, en el Capítulo 2
enfatizaremosqueunafunciónesholomorfasiysólosiesdeclaseC1 y(enlospuntosdondetienede-
rivadanonula)transformacurvasquesecortanconundeterminadoánguloencurvasquesecortancon
ese mismo ángulo. Al establecer relaciones de este tipo creeemos que no sólo contribuiremos a que el
alumnoaprendamejorymásrápidoalintegrarlosnuevosconceptosyresultadosenunareddenociones
matemáticas transversal a varias asignaturas, sino que también le ayudaremos a desarrollar su intuición
geométricasobrelasfuncionesholomorfas,tannecesariapararesolverproblemasnotrivialesyasimilar
demostracionescomplejas.Eltiempoempleadoenestablecerestasconexionesnoseránimuchomenos
malgastado,yademásdehechoserecuperaráporotroslados:porejemplo,siguiendoestemismoprinci-
pio,enelCapítulo1nosahorraremosalgunasdemostraciones(elementales,peroaburridasyreiterativas
para un estudiante de este nivel) sobre límites y continuidad de funciones complejas, al hacer ver al
alumnoquepuestoquelasfuncionescomplejassonenrealidadfuncionesdeR2 enR2,yahaaprendido
todolonecesarioparajustificaresosresultadosenlaasignaturadeCálculoDiferencial.
Capítulo 1
Números complejos y funciones
elementales. Conceptos métricos y
C
topológicos en .
1.1. Números complejos y funciones complejas elementales
Losnúmeroscomplejospuedendefinirseinformalmentecomolosnúmerosdelaformaz = x+iy,
√
donde i = −1, y x,y ∈ R. A primera vista puede parecer dudoso que tenga sentido considerar
estos números, y que el suponer la mera existencia de un número i cuyo cuadrado sea −1 no lleve
a contradicciones. Por descontado, tal número i no puede ser un número real, ya que el cuadrado de
cualquierrealesunrealpositivo.Siadmitimosquelosnúmerosdeestaformadeberíanpodersumarsey
multiplicarsedeacuerdoconlareglas
(x+iy)+(x(cid:48)+iy(cid:48)) = (x+x(cid:48))+i(y+y(cid:48)); (a+ib)(c+id) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac−bd)+i(ad+bc),
se ve que los números de la forma iy deberían habitar una dimensión diferente y tener algunas propie-
dades exóticas. De manera algo más precisa, el conjunto de los números complejos debería tener, para
empezar, una estructura de espacio vectorial sobre R del cual {1,i} sería una base, y también debería
estardotadodeunaoperacióndeproductoquehicieraposiblequei2 = −1.
Estas dos observaciones nos llevan a definir, ahora ya formalmente, el conjunto de los números
complejos como el conjunto de los vectores del plano R2, con sus operaciones habituales de suma de
vectoresyproductodevectoresporescalaresreales,juntoconunanuevaoperación:elproductocomplejo
dedosvectores(a,b)y(c,d)sedefinecomoelvector(ac−bd,ad+bc).Conestanuevaoperaciónresulta
que el producto de (0,1) por (0,1) es (−1,0). Si identificamos el número real 1 con el par (1,0), y si
denotamosi = (0,1),tenemosefectivamentequei2 = −1,yvemosqueenR2,siempreateniéndonosa
estas identificaciones, pueden resolverse ecuaciones del tipo x2 +1 = 0, que no tienen solución en R:
los números i = (0,1) y −i = (0,−1) son soluciones de esta ecuación, que puede escribirse de forma
equivalentecomo(x−i)(x+i) = 0.
La notación cartesiana es engorrosa cuando se manejan números complejos, y además no es muy
amigable,enelsentidodequenodapieadeducir,porejemplo,lareglaparaelproductodedosnúmeros
complejos si uno la ha olvidado momentáneamente. Además escribir (a,b) · (c,d) para el producto
complejo puede inducir confusiones con el producto escalar de dos vectores del plano. Por ello resulta
mucho más práctico identificar el par (a,0) con el número real a, y el par (0,b) denotarlo por bi. A los
númerosdelaformabiconb ∈ Rselesllamaimaginariospuros.Deestamanera{1,i}esunabasede
R2,ysecumplen
(x+iy)+(x(cid:48)+iy(cid:48)) = (x+x(cid:48))+i(y+y(cid:48)); (a+ib)(c+id) = (ac−bd)+i(ad+bc).
El plano R2, siempre que utilicemos estas identificaciones y esta regla para el producto complejo de
dos vectores, lo denotaremos por C, y lo llamaremos el conjunto de los números complejos. También
3
4 CAPÍTULO1. NÚMEROSCOMPLEJOSYFUNCIONESELEMENTALES
usaremoslanotación
z−w := z+(−w),
operaciónquecorresponde,porsupuesto,aladiferenciadevectoresenelplano.
Es un ejercicio sencillo comprobar que el conjunto C, con las operaciones de suma y producto así
definidas,tienelassiguientespropiedades,paratodoslosz,w,ξ ∈ C:
1. z+(w+ξ) = (z+w)+ξ (asociatividaddelasuma);
2. z+w = w+z (conmutatividaddelasuma);
3. z+0 = z (el0eselementoneutroparalasuma);
4. z+(−z) = 0(existenciadeopuestosparalasuma);
5. z(wξ) = (zw)ξ (asociatividaddelproducto);
6. zw = wz (conmutatividaddelproducto);
7. 1z = z (el1eselementoneutroparaelproducto);
8. si z = x+iy (cid:54)= 0 entonces z−1 := x−iy cumple que zz−1 = 1 (existencia de inversos para el
x2+y2
producto);
9. z(w+ξ) = zw+zξ (propiedaddistributivadelproductorespectodelasuma).
Es decir, (C,+,·) es un cuerpo conmutativo, del cual el conjunto R de los números reales, identificado
con{x+iy ∈ C : y = 0},esunsubcuerpo.
La fórmula para el inverso de z resulta más fácil de recordar una vez que se definen la nociones de
númerocomplejoconjugado,ydemódulodeunnúmerocomplejo.Dadoz = x+iy ∈ C,definimossu
conjugado,denotadoporz,como
z = x−iy.
La operación de conjugación corresponde geométricamente a una reflexión en C = R2 respecto de la
rectaR := {x+iy ∈ C : y = 0}.Sedefineelmódulodez = x+iy por
(cid:112)
|z| = x2+y2.
Esdecir,elmódulodez = x+iy noesmásquelanormaeuclídeadelvectorx+iy enC,queasuvez
esigualaladistanciadez = x+iy alorigen.Tambiénusaremosconfrecuencialasnotaciones
x = Rez, y = Im.
Geométricamente, Rez es la proyección ortogonal de z sobre la recta R en C, y iImz es la proyección
ortogonaldez sobrelarectaiR := {x+iy : x = 0}.Conestasnotacionesresultaque
z z+z z−z
z−1 = ; Rez = , Imz = .
|z|2 2 2i
Esinmediatocomprobarestasotraspropiedadeselementalesdelmóduloyelconjugado:
z+w = z+w;
zw = zw;
|z| = |z|;
|z|2 = zz;
|zw| = |z||w|.
1.1. NÚMEROSCOMPLEJOSYFUNCIONESCOMPLEJASELEMENTALES 5
LascoordenadaspolaresenR2 resultanmuyútilescuandosemanejancírculos,sectoresdecírculos,
rectas que pasan por el origen, etc. Cada número complejo z = x + iy puede escribirse como z =
rcosθ+irsenθ,con
(cid:112) (cid:16)y(cid:17)
r = x2+y2 = |z|, θ = arctan ,
x
donde el ángulo θ está determinado salvo suma de un múltiplo entero de 2π. Como ya sabemos la
aplicación
(0,∞)×(−π,π] (cid:51) (r,θ) (cid:55)→ rcosθ+irsenθ ∈ C\{0}
esunabiyección.
Definición1.1(Exponencialcompleja). Paracadaθ ∈ Rdefinimos
eiθ := cosθ+isenθ,
ysiz = x+iy ∈ C,definimos
ez := exeiy.
Por tanto todo z = x+iy puede escribirse en la forma z = reiθ, donde r = |z|, y θ está determinado
unívocamenteen(−π,π]siz (cid:54)= 0.Denotaremos
Argz = θ
paraesteúnicoθ ∈ (−π,π],yalafunciónz (cid:55)→ Argz lallamaremosramaprincipaldelargumento.Por
ejemplosetieneArg(i) = π/2,Arg(1−i) = −π/4.Tambiénusaremoslanotación
argz = {2kπ+Argz : k ∈ Z}
para la función multivaluada que para cadaz ∈ C\{0}nos da todos los posibles númerosθ ∈ R tales
quez = |z|eiθ.
Definiremoslaramaprincipaldellogaritmocomolaaplicaciónlog : C\(−∞,0] → Cdefinidapor
logz = log|z|+iArg(z).
Esclaroquesetiene
elogz = z,
y que logz coincide con el logaritmo usual en R cuando z ∈ (0,+∞). La función log definida así es
inyectiva, pero la función exponencial compleja ez no lo es: de hecho se tiene ez+2kπi = ez para todo
k ∈ Z (se dice que ez es periódica de período 2πi). Veamos otras propiedades básicas de la función
θ (cid:55)→ eiθ.
Proposición1.1. Setiene,paratodosθ,ϕ ∈ R,que:
1. |eiθ| = 1;
2. eiθ = e−iθ;
3. e−iθ = 1/eiθ;
4. ei(θ+ϕ) = eiθeiϕ.
Demostración. (1) equivale a sen2θ +cos2θ = 1, (2) es consecuencia de que sen es simétrica impar
y cos es simétrica par, y (3) se deduce de (1) y (2) y la fórmula z−1 = z/|z|2. Para demostrar (4),
observemosqueestaigualdadequivalea
cos(θ+ϕ)+isen(θ+ϕ) = (cosθ+isenθ)(cosϕ+isenϕ)
= cosθcosϕ−senθsenϕ+i(cosθsenϕ+senθcosϕ),
que a su vez (igualando partes reales e imaginarias de ambos miembros) equivale a las fórmulas de la
sumaparalasfuncionessenoycoseno,quesonbienconocidas.
6 CAPÍTULO1. NÚMEROSCOMPLEJOSYFUNCIONESELEMENTALES
Corolario1.2. Paratodosz,w ∈ Csetieneezew = ez+w.
Demostración. Escribamosz = x+iy,w = a+bi,conx,y,z,a,b ∈ R.Entonces,usandoladefinición
deez,elhechodequeex+a = exea,y(4)delaproposiciónanterior,obtenemos
ezew = ex+iyea+ib = (exeiy)(eaeib) = (exea)(eiyeib) = ex+aei(y+b) = e(x+a)+i(y+b) = ez+w.
Corolario1.3. Setiene,paratodosz,z ,z ∈ C\{0},que
1 2
1. argz = −argz;
2. arg(1/z) = −argz;
3. arg(z z ) = argz +argz .
1 2 1 2
Demostración. Todas las propiedades son fáciles; demostremos por ejemplo (3). Escribiendo z =
j
rjeiθj,j = 1,2,yusandolaproposiciónanterior,tenemos
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
z z = r eiθ1 r eiθ2 = r r eiθ1eiθ2 = r r ei(θ1+θ2),
1 2 1 2 1 2 1 2
dedondesededuce(3).
La propiedad (4) de la proposición, o la (3) del corolario, nos desvelan el significado geométrico
del producto de dos números complejos: si z1 = r1eiθ1 y z2 = r2eiθ2 son dos números complejos, su
productoes
z z = r r ei(θ1+θ2),
1 2 1 2
un número complejo cuya distancia al origen es el producto de las distancias al origen de z y z , y
1 2
que forma un ángulo con la recta y = 0 igual a la suma de los ángulos que forman z y z con esa
1 2
mismarecta.Enelcasoparticulardequelosmódulossean1,vemosquemultiplicarnúmeroscomplejos
equivaleasumarargumentos.
Estasobservacionesnospermiten,porejemplo,calcularlasnraícesn-ésimasdeunnúmerocomplejo
w,paracualquiern ∈ N:escribimosw = ρeiϕ,z = reiθ,yplanteamoslaecuaciónzn = w,cuyaforma
polares
rneinθ = ρeiϕ,
dedonde,igualandomódulosyargumentos,deducimosquer = ρ1/n,yϕ = nθ+2kπ,conk ∈ Z.Por
tanto,lasnraícesn-ésimasdew sonlosnúmerosz definidospor
j
ϕ+2jπ
z = ρ1/neθj, conθ = , j = 0,1,...,n−1
j j
n
Enelcasoenque|w| = 1estospuntosdeterminanlosvérticesdeunpolígonoregulardenladosinscrito
enelcírculounidad,yunodedichosvérticesesprecisamenteelpuntow.
Más adelante veremos que todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 tiene exactamente n raíces
complejas,contadasconsusmultiplicidades(TeoremaFundamentaldelÁlgebra).
Examinemos con más detenimiento el caso básico n = 2. La función z (cid:55)→ w = z2 no es inyectiva:
cadapuntow = ρeiϕ ∈ C\{0},dondeϕ ∈ (−π,π),tienedosantimágenes,z = ±ρ1/2eiϕ/2.Podemos
definirentoncesdosramasdelafunciónraízcuadrada,dadasporf : C\(−∞,0] → C,
1
f (w) = ρ1/2eiϕ/2,
1
yf (w) = −f (w).Af selallamalaramaprincipaldelaraízcuadrada.Laeleccióndelasemirecta
2 1 1
(−∞,0] para eliminarla del dominio de f y obtener una inversa continua de z2 es arbitraria, aunque
1
natural. En cualquier caso pronto resultará claro que alguna semirecta (o alguna curva no acotada que