Introducción a Teoría Cuántica de Campos

111 Pages·1988·0.538 MB·Spanish

by  Patricio Cordero S.

Introduccio´n a Teor´ıa Cua´ntca de Campos
Patricio Cordero S.
Departamento de F´ısica
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matema´ticas
Universidad de Chile
.
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versio´n1988
2 Patricio CorderoS.
versio´nde1988
FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas
´
Indice general
1. Cuantizacio´ndecamposlibres 5
1.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Spin0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Cuantizacio´ndelcampoescalar real. . . . . . . . . . 7
1.2.2. Cuantizacio´ndelcampoescalar complejo . . . . . . . 10
1.2.3. Relacionesdeconmutacio´ny otrosinvariantes. . . . . 12
1.2.4. Lassimetr´ıasdiscretasP,C yT enelcasodecam-
posescalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
1.3.1. Ecuacio´nde Dirac.Notacio´nba´sica. . . . . . . . . . . 16
1.3.2. Cuantizacio´ndelcampode Dirac . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3. Funcionesinvariantesasociadasalcampode Dirac. . 23
1.3.4. Lassimetr´ıasdiscretasP C yT enelcasodecam-
posfermio´nicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.5. PCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Spin1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1. Cuantizacio´ndelcampovectorial realmasivo. . . . . 29
1.4.2. Cuantizacio´ndelcampoelectromagne´ticoenelgauge
deradiacio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.3. Cuantizacio´ncovariantedelcampoelectromagne´tico. 35
2. Interacciones 41
2.1. Acoplamientoelectromagne´ticominimal . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Algunosacoplamientosno-electromagne´ticossencillos . . . 45
3
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2.3. Definicionesy notacio´nalrededordelconcepto deisospin . . 46
2.4. LagrangianosinvariantesbajoSU(2). . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5. Acoplamientouniversal(Yang-Mills) delmeso´nr . . . . . . . 53
2.6. Camposde medida,de gaugeo deYang-Mills. . . . . . . . . 56
3. Teor´ıade Perturbaciones 61
3.1. Enelcuadrode interaccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. EloperadordedesplazamientotemporalU(t,t ). . . . . . . . 63
′
3.3. TeoremadeWick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Lamatriz S enelectrodina´mica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5. Scattering Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6. ReglasdeFeynmany elscattering Moller. . . . . . . . . . . . 73
3.6.1. Seccio´neficaz y razo´nde decaimiento. . . . . . . . . 75
3.6.2. Seccio´neficaz diferencialenelscattering Compton. . 77
3.6.3. Seccio´n eficaz diferencial en el caso del scattering
Moller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.4. Sobreelproblemadelas autoenerg´ıas. . . . . . . . . 82
3.6.5. Transicionesvac´ıo-vac´ıo: <0S 0> . . . . . . . . . . . 85
| |
3.6.6. Interaccio´n conun campoelectromagne´ticoexterno . 86
3.6.7. Electrodina´micaescalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4. Renormalizacio´n 89
4.1. Sobreelsignificado de la renormalizacio´n. . . . . . . . . . . 89
4.2. Lamasa desnudayla masa f´ısica delmeso´n.. . . . . . . . . 92
4.3. Lamasa desnudayf´ısica delfermio´n. . . . . . . . . . . . . . 96
4.4. Renormalizacio´ndelve´rtice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5. Renormalizacio´ndelasl´ıneasexternas,deloscamposyde
la constantedeacoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6. Amplitudesrenormalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7. Laidentidadde Warden QED. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8. Renormalizacio´ndelcampoexterno. . . . . . . . . . . . . . . 109
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´INDICEGENERAL
Cap´ıtulo 1
Cuantizacio´ n de campos
libres
1.1. Introduccio´n
Lateor´ıacua´nticanacio´ porlanecesidaddecuantizarelcampoelectro-
magne´tico para poder describir en forma adecuada los feno´menos cua´n-
ticos de radiacio´n. La teor´ıa resultante es la electrodina´mica cua´ntica y la
part´ıcula asociada al campo electromagne´tico es el foto´n. Se dice que el
foto´neselcuantoderadiacio´nelectromagne´tica.Hoyd´ıatodaslaspart´ıcu-
las elementales son descritas en principio como cuantos de un campo ad
hoc.
Los campos que se utilizan para describir part´ıculas de spin entero se
cuantizanaplicandolasmismasreglasdeconmutacio´ndeHeisenbergque
para un sistema con un nu´mero finito de grados de libertad. No se trata
de un nuevo tipo de cuantizacio´n, o segunda cuantizacio´n como a veces
se la llama, sino que es la misma cuantizacio´n ya estudiada en meca´nica
cua´ntica so´lo que aplicada a campos . En esta misma seccio´n se cuanti-
zara´ unsistemmuysimpledeosciladoresparamostrarco´moestesistema
cua´ntico con infinitos grados de libertad posee estados estables que se
interpretancomo part´ıculaslibres.
El intento de hacer una meca´nica cua´ntica relativista se frustra debido
alproblemadelaexistenciadeestadosconenerg´ıanegativaimplicadopor
laexigenciadequelasecuacionesdemovimientoseancovariantes.Apos-
teriori es posible comprenderque esta dificultad se debe a que relatividad
implica que cada part´ıcula tiene asociada una antipart´ıcula. Este gran de-
5
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scubrimiento de Dirac llevo´ a concebir a las part´ıculas elementales como
estados compuestos por ellas mismas y los pares part´ıcula antipart´ıcula
respectivos e = e+eee¯+eee¯ee¯... en un sentido que so´lo se podra´ entender
mucho ma´s adelante.Dice Heinsenberg:Creo que el descubrimiento ma´s
decisivo enconexio´ncon laspropiedadeso la naturalezade laspart´ıculas
elemenales fue el descubrimiento de la antimateria por Dirac. Aquel fue
un hechoqueaparentementeten´ıa quevercon elreemplazodelgrupode
Galileo por el grupo de Lorentz. Creo que este descubrimiento de part´ıcu-
las y antipart´ıculas por Dirac ha cambiado completamente toda nuestra
visio´ndelaf´ısica ato´mica.(...)Tanprontocomounosabequepuedecrear
pares de acuerdo con la teor´ıa de Dirac, entonces uno tiene que consid-
erar a una part´ıcula elemental como un sistema compuesto; porque vir-
tualmente podr´ıa ser esta part´ıcula ma´s un par o esta part´ıcula ma´s dos
paresetc.,yas´ı repentinamentetodalaideadeunapart´ıculaelementalha
cambiado. Hasta ese momento pienso que cada f´ısico hab´ıa pensado so-
bre laspart´ıculas elementalesenla l´ınea filoso´fica deDemo´crito, esdecir,
considerandoquesonsiemprelamismacosa(...).Despue´sdeldescubrim-
iento de Dirac todo se vio´ diferente porque ahora uno se pod´ıa preguntar
porque´ unproto´ntendr´ıaquesersiempreunproto´n,porque´ unproto´nno
pod´ıa a veces ser un proto´n ma´s un par electro´n positro´n etc. Este nuevo
concepto de las part´ıculas elementales de ser un sistema compuesto me
ha parecidodesdeelcomienzocomo ungran reto.
´Intimamenteligadoalaideadeunateor´ıacua´nticadecamposesta´ tam-
bie´n el hecho que el nu´mero de part´ıculas elementales no se conserva.
As´ı porejemplo,se tieneprocesoscomo
p 0 g +g
→
n e +p+n¯
− e
→
e+ + e g +g
−
→
e+ + e e++e +g +g
− −
W → X 0+p
− −
→
Tratando un sistema de N part´ıculas con la ecuacio´n de Schro¨dinger
este nu´mero es conservado. So´lo en forma artificial es posible introducir
mecanismosquepermitanqueelnu´merodepart´ıculasnose conserveen
meca´nicacua´ntica no relativista.
1.1. INTRODUCCIO´N FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas
Teor´ıaCua´nticade Campos 7
1.2. Spin 0
1.2.1. Cuantizacio´n del campo escalar real.
En meca´nica cua´ntica ordinaria se cuantiza sistemas con un nu´mero
finito, o al menos discreto, de grado de libertad. Aqu´ı se vera´ el caso de
un sistema con un continuo de grados de libertad y tambie´n se vera´ que
el postulado de cuantizacio´n, o sea, las relaciones de conmutacio´n entre
las coordenadas generalizadas y los respectivos momentos conjugados
cano´nicos, se mantienen ide´nticos, al menos en este caso del campo es-
calar.
Sea F (x) un campo escalar real libre cuya dina´mica se determina a
partirdela densidadlagrangeana
1
L = :(F ,m (x)F ′m (x) m 2F 2(x)): (1.2.1)
2 −
Lacorrespondienteecuacio´nde campoesla ecuacio´ndeKlein-Gordon,
((cid:3)+m 2)F =0
alquese imponecondicionesdecuantizacio´n
[F (~x,t),p (~x;t)] = id (3)(~x ~x )
− ′ (1.2.2)
[F (~x,t),F (~x;t)] = [p (~x,t),p (~x;t)]=0
dondeelmomentoconjugadocano´nicodeF se defineenla forma usual,
¶ L(x)
p (x)= =F˙.
¶ F˙(x)
Puestoquelosoperadoresdecampoobedecenciertasrelacionesdecon-
mutacio´n, no siempre es claro co´mo se generaliza expresiones de teor´ıa
cla´sica a cua´ntica. Parte de esta ambigu¨edad es removida definiendo un
cierto ordennormal.
Bajotransformacioneshomoge´neasdeLorentzuncampoescalartrans-
forma deacuerdoa
F (x) F (x)=F (L 1x).
′ −
→
Adema´scualquiercamposatisfacelaleydetransformacio´n,bajotraslacio´n,
eiPaF (x)e iPa=F (x+a) (1.2.3)
−
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donde P es el generadorde traslaciones del grupo de Poincare´, de donde
se deducequeparacualquiercampose cumple,
F (x),Pm =i¶ m F (x) (1.2.4)
ecuacio´nquetiene comoca(cid:2)so partic(cid:3)ularla ecuacio´n[F (x),P ]=iF˙(x).
0
La densidadHamiltonianase defineenla forma usual,
H (x) = :p (x)F˙(x): L(x)
− (1.2.5)
= 1 : F˙2+(~F(cid:209) )2+m 2F 2 :
2
(cid:16) (cid:17)
y la densidaddemomentoes
P~(x)= :p ~(cid:209)F :
−
Se reitera que la ordenacio´nde los factores no importa mientraseste´ indi-
cado quese trata deproductosenordennormal,:AB:=:BA:
Puesto que F es una solucio´n de la ecuacio´n de Klein-Gordon puede
ser escrito como una superposicio´n del conjunto completo de soluciones
de ondaplanadefinidospor
1 1
fn= e in(w pt ~p~r) = e inpx, n= 1 (1.2.6)
~p (2p )32w − − · (2p )32w − ±
p p
p p
En el espacio de funciones de ~x expandido por estas ondas planas se
defineelproductoescalarentre dosfunciones,(f,g) por
(f,g) i f g˙ f˙ g d3x (1.2.7)
∗ ∗
≡ −
Z
(cid:0) (cid:1)
Se puededemostrarque
f~pn,f~pn′′ =nd nn′d 3(~p−~p′) (1.2.8)
(cid:16) (cid:17)
La condicio´n de que F sea real determina una relacio´n entre los coefi-
cientes,
F (x)= d3p a(~p)f+(x)+a†(~p)f (1.2.9)
~p ~p−
Z
n o
Loscoeficientesdela expansio´nsonoperadorescuyas relacionesdecon-
mutacio´n esta´n determinadas por las relaciones de cuantizacio´n de los
1.2. SPIN0 FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas
Teor´ıaCua´nticade Campos 9
campos. Para deducirlas se usa una notacio´n abreviada (con a+ = a y
a =a†)
−
F (x)= (cid:229) d3pan(~p)fn(x) (1.2.10)
~p
n 1Z
±
ypuededemostrarse que
a(n)=n f(n),F (1.2.11)
~p ~p
(cid:16) (cid:17)
Delo anteriorsigue que
an(~p),an′(~p′) =nd nnd (3)(~p ~p′) (1.2.12)
′ −
h i
o equivalentemente
[a(~p),a(~p )] = a†(~p),a†(~p ) =0
′ ′ (1.2.13)
a(~p),a†(~p ) = d (3)(~p ~p )
′ (cid:2) − ′ (cid:3)
que son las relacio(cid:2)nes de conm(cid:3) utacio´n que satisfacen los operadores de
creacio´n y destruccio´n de part´ıculas libres. Esto viene a mostrar la exis-
tencia de cuantos asociados a los campos, los que se comportan como
part´ıculas. Correspondena los fononesde una red cristalina tridimension-
aldeosciladoresarmo´nicosconladiferenciaquelavelocidaddelsonidoes
reemplazadaporlavelocidaddelaluzyadema´snoexisteunareddiscreta
sino un continuo—el campo—que ha sido cuantizado. No´tese la estrecha
relacio´n que existe entre la ecuacio´n de Klein-Gordon y la ecuacio´n de un
osciladorarmo´nico.
Demuestreque
1
H = d3xH (x)= d3pw : a(~p)a†(~p)+a†(~p)a(~p) : (1.2.14)
~p
2
Z Z
(cid:0) (cid:1)
El producto normal se define como el reordenamiento de operadores
de creacio´n y destruccio´n colocando a los operadores de creacio´n a la
izquierdadelos operadoresdedestruccio´n.
Conesta definicio´nse puedeescribir H en la forma
H = d3pw a†(~p)a(~p)
~p
Z
El sentido de la ordenacio´n normal es la siguiente. Si se considera el
Hamiltonianode unosciladorarmo´nico unidimensional,eloperadoraes
w x+ip
a=
√2w
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ysemejantementesedefinea†.Ellossatisfacen a,a† =1vie´ndosequeH
puedeescribirse,
(cid:2) (cid:3)
1 w
H = w (a†a+aa†)==w a†a+
2 2
w w
Biensesabequelaenerg´ıadelestadobasees ,estoesH 0 = 0 .
2 | i 2 | i
Y en tres dimensiones es 3w /2 y generalizando a n grados de libertad, el
estadobasetieneunaenerg´ıanw /2quedivergeparanuestrosistemacon
uncontinuodegradosdelibertad.Estohacenecesarioredefinirelcerode
la energ´ıa, de modo que H 0 =0 y es precisamente e´sto lo que hace la
| i
definicio´n delproductonormal.Es importantenotarquela diferencia entre
un producto y el correspondiente producto normal es un nu´mero cla´sico,
de modoqueelcara´cter deloperadorconsideradonose modifica.
1.2.2. Cuantizacio´n del campo escalar complejo
La cuantizacio´n del campo escalar complejo es muy similar a la del
camporeal.Existen dosformasequivalentesdehaceresta cuantizacio´na
partirde la densidadlagrangeana
L(x)=: F †,m (x)F ,m (x)−m 2F †(x)F (x) : (1.2.15)
La primera manera consis(cid:0)te en definir un momento c(cid:1)onjugado para F y
otro para F † que se denota p F y p F† y se procede a postular relaciones
de conmutacio´n a tiempos iguales como para el caso escalar teniendo en
cuenta adema´s que las variables relacionadasa F y F † conmutan a tiem-
posiguales,e.g., F ,p F† = F ,F † = F †,p F =0.
La otra manerha de ciuan(cid:2)tizar c(cid:3)onsi(cid:2)ste prim(cid:3)ero en separar al campo en
doscamposreales,
1 1
F = (F iF ), F †= (F +iF ) (1.2.16)
1 2 1 2
√2 − √2
lo que permite escribir la densidad lagrangianaen la forma de la suma de
dosdensidadeslagrangianasparalos camposrealesF , i=1,2,
i
L(x)= 12 (cid:229) :(F i,m F i,m −m 2F 2i):
i=1,2
Luegose procedea cuantizartalcomo se hizo enla Sec. 1.2.1,
§
[F (~x,t),p (~x,t)] = d d (3)(~x ~x)
i j ij ′
−
[F (~x,t),F (~x,t)] = [p (~x,t),p (~x,t)]=0.
i j ′ i j ′
1.2. SPIN0 FacultaddeCienciasF´ısicasyMatema´ticas