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Introducción a las cadenas de Markov: I Tiempo discreto PDF

130 Pages·2012·1.12 MB·Spanish
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Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on a las cadenas de Markov: I Tiempo discreto V´ıctor RIVERO CentrodeInvestigaci´onenMatem´aticasA.C. XI Escuela de Probabilidad y Estad´ıstica, 29 de Febrero a 2 de Marzo, 2012, CIMAT 1/55 • Formula de probabilidad total Sean B ,...,B ,...∈Ω, tales que 1 n ∪∞ B =Ω entonces ∀A∈F k=1 k ∞ ∞ (cid:88) (cid:88) P(A)= P(A∩B )= P(A|B )P(B ). k k k k=1 k=1 • Formula de Bayes Sean A,B,B ,...,B ∈F, tales que P(B)>0 y 1 n Ω=∪n B se tiene que k=1 k P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) P(A|B)= = . (cid:80)n P(B ∩B ) (cid:80)n P(B|B )P(B ) k=1 k k=1 k k Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares Preliminares (Ω,F,P) un espacio de probabilidad • Probabilidad condicional A,B ∈F, tal que P(B)>0, la probabilidad del evento A dado B P(A∩B) P(A|B)= . P(B) 2/55 • Formula de Bayes Sean A,B,B ,...,B ∈F, tales que P(B)>0 y 1 n Ω=∪n B se tiene que k=1 k P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) P(A|B)= = . (cid:80)n P(B ∩B ) (cid:80)n P(B|B )P(B ) k=1 k k=1 k k Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares Preliminares (Ω,F,P) un espacio de probabilidad • Probabilidad condicional A,B ∈F, tal que P(B)>0, la probabilidad del evento A dado B P(A∩B) P(A|B)= . P(B) • Formula de probabilidad total Sean B ,...,B ,...∈Ω, tales que 1 n ∪∞ B =Ω entonces ∀A∈F k=1 k ∞ ∞ (cid:88) (cid:88) P(A)= P(A∩B )= P(A|B )P(B ). k k k k=1 k=1 2/55 Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares Preliminares (Ω,F,P) un espacio de probabilidad • Probabilidad condicional A,B ∈F, tal que P(B)>0, la probabilidad del evento A dado B P(A∩B) P(A|B)= . P(B) • Formula de probabilidad total Sean B ,...,B ,...∈Ω, tales que 1 n ∪∞ B =Ω entonces ∀A∈F k=1 k ∞ ∞ (cid:88) (cid:88) P(A)= P(A∩B )= P(A|B )P(B ). k k k k=1 k=1 • Formula de Bayes Sean A,B,B ,...,B ∈F, tales que P(B)>0 1 n y Ω=∪n B se tiene que k=1 k P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) P(A|B)= = . (cid:80)n P(B ∩B ) (cid:80)n P(B|B )P(B ) k=1 k k=1 k k 2/55 Traducci´on: ω ∈Ω un experimento, X(ω) una caracter´ıstica del experimento; B es el evento“los experimentos son tales que la caracter´ıstica de inter´es toma un valor en A”y le podemos calcular probabilidad ya que B ∈F. • A,B ⊆F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B), ∀A∈A y ∀B ∈B. • X :Ω→E es una variable aleatoria si para todo A⊂E, B :={X ∈A}:={ω ∈Ω|X(ω)∈A}∈F. • X,Y variables aleatorias son independientes si para todo A,B ⊂E, los eventos {X ∈A} y {Y ∈B} son independientes. Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares • A,B ∈F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B) 3/55 Traducci´on: ω ∈Ω un experimento, X(ω) una caracter´ıstica del experimento; B es el evento“los experimentos son tales que la caracter´ıstica de inter´es toma un valor en A”y le podemos calcular probabilidad ya que B ∈F. • X :Ω→E es una variable aleatoria si para todo A⊂E, B :={X ∈A}:={ω ∈Ω|X(ω)∈A}∈F. • X,Y variables aleatorias son independientes si para todo A,B ⊂E, los eventos {X ∈A} y {Y ∈B} son independientes. Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares • A,B ∈F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B) • A,B ⊆F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B), ∀A∈A y ∀B ∈B. 3/55 Traducci´on: ω ∈Ω un experimento, X(ω) una caracter´ıstica del experimento; B es el evento“los experimentos son tales que la caracter´ıstica de inter´es toma un valor en A”y le podemos calcular probabilidad ya que B ∈F. • X,Y variables aleatorias son independientes si para todo A,B ⊂E, los eventos {X ∈A} y {Y ∈B} son independientes. Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares • A,B ∈F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B) • A,B ⊆F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B), ∀A∈A y ∀B ∈B. • X :Ω→E es una variable aleatoria si para todo A⊂E, B :={X ∈A}:={ω ∈Ω|X(ω)∈A}∈F. 3/55 • X,Y variables aleatorias son independientes si para todo A,B ⊂E, los eventos {X ∈A} y {Y ∈B} son independientes. Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares • A,B ∈F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B) • A,B ⊆F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B), ∀A∈A y ∀B ∈B. • X :Ω→E es una variable aleatoria si para todo A⊂E, B :={X ∈A}:={ω ∈Ω|X(ω)∈A}∈F. Traducci´on: ω ∈Ω un experimento, X(ω) una caracter´ıstica del experimento; B es el evento“los experimentos son tales que la caracter´ıstica de inter´es toma un valor en A”y le podemos calcular probabilidad ya que B ∈F. 3/55 Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on Preliminares • A,B ∈F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B) • A,B ⊆F son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B), ∀A∈A y ∀B ∈B. • X :Ω→E es una variable aleatoria si para todo A⊂E, B :={X ∈A}:={ω ∈Ω|X(ω)∈A}∈F. Traducci´on: ω ∈Ω un experimento, X(ω) una caracter´ıstica del experimento; B es el evento“los experimentos son tales que la caracter´ıstica de inter´es toma un valor en A”y le podemos calcular probabilidad ya que B ∈F. • X,Y variables aleatorias son independientes si para todo A,B ⊂E, los eventos {X ∈A} y {Y ∈B} son independientes. 3/55 Usualmente, (cid:40) {0,1,2,...} proceso estoc´astico a tiempo discreto, T = R ´o R+ proceso estoc´astico a tiempo continuo. El conjunto E es el espacio de estados. Si E es numerable se dice que el proceso tiene espacio de estados discreto mientras que si E es continuo decimos que tiene espacio de estados continuo. Estudiaremos solamente procesos estoc´asticos con espacio de estados y tiempo discreto. Introducci´onalascadenasdeMarkov:ITiempodiscreto Introducci´on ProcesosEstoc´asticos Procesos Estoc´asticos Definici´on Sea (Ω,F,P) un espacio de probabilidad y E un conjunto no vac´ıo. Un proceso estoc´astico es una colecci´on de variables aleatorias, {X :Ω→E,t ∈T}, indexadas por algu´n conjunto T. t 4/55

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Introduccíon a las cadenas de Markov: I Tiempo discreto. Introduccíon. Procesos Estocásticos. Ejemplo (Ajedrez). Sea Xn la posición de un caballo en
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