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Nacida de la necesidad primaria del hombre de contar y medir, R Introducción a la teoría A la aritmética, al igual que la geometría, tiene su origen en los tiempos V de números Otros títulos sobre el tema prehistóricos. Las grandes civilizaciones antiguas desarrollaron Í D un sistema propio de numeración y operaciones básicas, pero el creado L A Fundamentos de álgebra en la India se impuso por su aparente sencillez: la utilización del cero Z FELIPE ZALD Í VAR FELIPE ZALDÍVAR Felipe Zaldívar y de la notación con valor numérico posicional. Desde entonces obtuvo su licenciatura y maestría en s comenzó el desarrollo de la teoría de números. o matemáticas en la unam y su doctorado en r Introducción a la teoría de las funciones algebraicas e la University of Western Ontario, en Canadá. Este libro es una introducción elemental a la teoría de números m Gabriel Daniel Villa Salvador ú Actualmente es profesor de matemáticas en o aritmética superior: comienza con un análisis de la noción de divisibilidad n la Universidad Autónoma Metropolitana. Sus e introduce las propiedades elementales de las congruencias, e Introducción a la teoría d áreas de interés en matemáticas son la teoría las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir a de números y la geometría algebraica. de la probabilidad í r con el estudio de algunas ecuaciones diofantinas de segundo o Miguel Ángel García Álvarez e t y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental a l Introducción al análisis funcional a la aritmética de curvas elípticas. Una novedad del libro a n José Ángel Canavati Ayub es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales ó i como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas c c u Introducción analítica a las geometrías de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin. d o Javier Bracho r t n I El último teorema de Fermat. El secreto de un antiguo problema matemático Amir D. Aczel ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales m Richard Courant y Herbert Robbins o C I E N C I A c a. mic Y T E C N O L O G Í A o Historia de las matemáticas n o c e Eric Temple Bell ra u t ul c e d o d n o f w. w w 99778866007711660077338866..iinndddd 11 11//55//1122 22::3377 PPMM formato 16,5 x 23 cm | LOMO AJUSTADO PARA 200 PP. PROPUESTA ACEPTADA REALIZACIÓN: LAURA ESPONDA ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 1 — #1 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 2 — #2 ✐ ✐ FELIPE ZALDÍVAR obtuvo su licenciatura y maestría en matemáticas en la unam y su doctorado en la University of Western Ontario, en Canadá. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad Autónoma Metropolitana. Sus áreas de interés en matemáticas son la teoría de números y la geometría algebraica. ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 3 — #3 ✐ ✐ SeccióndeObrasdeCienciayTecnología INTRODUCCIÓNALATEORÍADENÚMEROS ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 4 — #4 ✐ ✐ Comitédeseleccióndeobras Dr. Antonio Alonso Dr. Francisco Bolívar Zapata Dr. Javier Bracho Dr. Juan Luis Cifuentes Dra.Rosalinda Contreras Dra.Julieta Fierro Dr. Jorge Flores Valdés Dr. Juan Ramón de la Fuente Dr. Leopoldo García-Colín Scherer Dr. Adolfo Guzmán Arenas Dr. Gonzalo Halffter Dr. Jaime Martuscelli Dra.Isaura Meza Dr. José Luis Morán-López Dr. Héctor Nava Jaimes Dr. Manuel Peimbert Dr. José Antonio de la Peña Dr. Ruy Pérez Tamayo Dr. Julio Rubio Oca Dr. José Sarukhán Dr. Guillermo Soberón Dr. Elías Trabulse ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 5 — #5 ✐ ✐ FELIPE ZALDÍVAR Introducción a la teoría de números FONDODECULTURAECONÓMICA ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 6 — #6 ✐ ✐ Primera edición, 2012 Primera edición electrónica, 2014 Diseño de portada: Laura Esponda Aguilar D. R. © 2006, Fondo de Cultura Económica Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 México, D. F. www.fondodeculturaeconomica.com Empresa certifi cada iso 9001:2008 Comentarios: [email protected] Tel. (55) 5227-4672 Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra, sea cual fuere el medio. Todos los conte- nidos que se incluyen tales como características tipográfi cas y de diagramación, textos, gráfi cos, logotipos, iconos, imágenes, etc. son propiedad exclusiva del Fondo de Cultura Económica y están protegidos por las leyes mexicana e internacionales del copyright o derecho de autor. ISBN 978-607-16-1881-8 (PDF) Hecho en México • Made in Mexico ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 7 — #7 ✐ ✐ ÍNDICEGENERAL Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Matemáticoscuyostrabajossehancitadoenellibro . . . . . . . 12 Listadesímbolosmásusados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I. Elteoremafundamentaldelaaritmética . . . . . . . . . 15 I.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.1.1 Elalgoritmodeladivisión . . . . . . . . . . . . 17 I.1.2 Máximocomúndivisor . . . . . . . . . . . . . . 18 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.2 Primosyfactorizaciónúnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.2.1 Factorizaciónúnica . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.2.2 LacribadeEratóstenes . . . . . . . . . . . . . . 25 I.2.3 Infinituddelconjuntodeprimos . . . . . . . . . 26 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 I.3 ElalgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.3.1 Elmínimocomúnmúltiplo . . . . . . . . . . . . 30 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 I.4 Ecuacionesdiofantinaslineales . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 II. Congruenciasycriptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.1 Congruenciasyaritméticamodular . . . . . . . . . . . . 38 II.1.1 Congruenciaslineales . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 II.2 LosteoremasdeFermatyEuler . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 II.3 Criptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II.3.1 Cifradoresdesubstitución . . . . . . . . . . . . 56 II.3.2 Criptoanálisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 II.4 ElcriptosistemaRSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II.4.1 Unalgoritmoparacalcularpotenciasyraíces . 65 II.4.2 Un algoritmo para escribir un decimal en bi- nario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 8 — #8 ✐ ✐ 8 ÍNDICEGENERAL II.4.3 Eficienciadealgunosalgoritmos . . . . . . . . . 67 II.4.4 EficienciadelalgoritmodeEuclides . . . . . . . 67 II.4.5 Eficiencia del cálculo de potencias y raíces mó- dulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 II.4.6 Firmasdigitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 III. Númerosperfectosyfuncionesmultiplicativas . . . . . . 73 III.1 PrimosdeMersenneynúmerosperfectos . . . . . . . . . 73 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 III.2 Funcionesmultiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 III.2.1 DivisoresylafunciónφdeEuler . . . . . . . . . 77 III.2.2 Elnúmerodedivisoresdeunentero . . . . . . . 79 III.2.3 Lafunción µdeMöbius . . . . . . . . . . . . . . 79 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 IV. Raícesprimitivasylogaritmosdiscretos . . . . . . . . . . 84 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 IV.1 Raícesprimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV.1.1 Raícesprimitivasparaprimos . . . . . . . . . . 88 ElexponentedeU(Z/n) . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 IV.1.2 Raícesprimitivasparapotenciasdeprimos . . . 90 Raícesprimitivasparapotenciasde2 . . . . . . . . . 92 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 IV.1.3 Raícesprimitivasenelcasogeneral . . . . . . . 93 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 IV.2 Logaritmosdiscretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 IV.3 ElintercambiodeclavesdeDiffie-Hellman . . . . . . . . 96 IV.4 ElcriptosistemadeElGamal . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 IV.4.1 FirmasdigitalesusandoElGamal . . . . . . . . 100 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 V. Residuoscuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 V.1 Residuoscuadráticosyraícesprimitivasmódulo p . . . . 104 V.1.1 ¿Cuándoes −1un RCmódulo p? . . . . . . . . 106 V.1.2 ¿Cuándoes2unRCmódulo p? . . . . . . . . . 109 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 9 — #9 ✐ ✐ ÍNDICEGENERAL 9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 V.2 Laleydereciprocidadcuadrática . . . . . . . . . . . . . . 113 V.2.1 Congruenciascuadráticasengeneral . . . . . . 119 V.2.2 Primosdelaformaak+b . . . . . . . . . . . . 122 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 V.3 ElsímbolodeJacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 V.4 ElcriptosistemadeRabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 VI. Sumasdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 VI.1 TernasPitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 VI.1.1 Unaexcursiónporlageometría . . . . . . . . . 138 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 VI.2 LaconjeturadeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 VI.3 Sumasdedoscuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 VI.4 Sumasdecuatrocuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 VI.4.1 Sumasdetrescuadrados . . . . . . . . . . . . . 150 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 VI.4.2 Unpocodehistoria . . . . . . . . . . . . . . . . 151 VII. LaecuacióndePellyaproximacionesdiofantinas . . . . 154 VII.1 LaecuacióndePell:uncasoparticular . . . . . . . . . . . 155 VII.1.1 ElproblemadelganadodeArquímedes . . . . . 156 VII.1.2 ElcasoparticulardelaecuacióndePell . . . . . 160 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 VII.2 LaecuacióndePell:elcasogeneral . . . . . . . . . . . . . 164 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 VII.3 AproximacióndiofantinaylaecuacióndePell . . . . . . 167 VII.3.1 La existencia de soluciones de la ecuación de Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 VIII. Númeroscongruentesycurvaselípticas . . . . . . . . . . . 177 VIII.1 Númeroscongruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 VIII.1.1 Puntosracionalesenciertascúbicas . . . . . . . 181 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 VIII.2 Curvaselípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ✐ ✐ ✐ ✐