Introducción a la Teoría de Grupos

270 Pages·2006·9.685 MB·Spanish

by  Felipe Zaldívar

APORTACIONES MATEMÁTICAS
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Comité Editorial:
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Marcelo Afilar • Raúl Quiroga i
IM, UNA At' CINVESTAV
Luz de Teresa Sergio Rajsbaum
JM, UN AM IM, UNAM
José Ma. González Barrios José Seadé
IIMAS, UNAM IM, UNAM
Luis Gorostiza Martha Takane
CINVESTAV IM, UNAM
Max Neumann - Jorge X. Velasco
IM, UNAM UAM, Iztapalapa
Guillermo Pastor
ITAM
Editores Ejecutivos:
Luis Gorostiza Luz de Teresa
CINVESTAV Instituto de Matemáticas, UNAM
[email protected] [email protected]
Publicación de la
SOCIEDAD MATEMÁTICA MEXICANA y
REYERTÉ EDICIONES, S.A. DE C.V.
ISBN: 968-36-3591-1 (Aportaciones Matemáticas)
ISBN: 968-36-3594-6 (Serie Textos)
ISBN: 970-32-3871-8
ISBN: 968-6708-66-9 (Reverté Ediciones, S.A. de C.V.)
Printed in México / Impreso en México
Casa abierta al tiempo
Este vohrmetí imprimió con el apoyo financiero de:
eí Posgrado et? Uiencias Matemáticas, UNAM
a/través del'.Programa de Apoyo a los Estudios de Posgrado 2006,N
la Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa.
APORTACIONES
MATEMÁTICAS TEXTOS \¿>L±1
NIVEL MEDIO
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRUPOS
FpLIPE ZALDÍVAR
2006
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE CIENCIAS
BIBLIOTECA
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índice general
Introducción V
Capítulo 1. Simetrías y operaciones binarias 1
Capítulo 2. Grupos y subgrupos 11
Capítulo 3. Grupos cíclicos 21
Capítulo 4. Grupos de permutaciones 29
Capítulo 5. Clases laterales y grupos cociente 53
Capítulo 6. Homomorfismos e isomorfismos 71
Capítulo 7. Productos directos y grupos abelianos finitos 87
Capítulo 8. Acciones de grupos y un teorema de Frobenius 97
Capítulo 9. Los teoremas de Cauchy y Sylow 107
Capítulo 10. Grupos simples 131
Capítulo 11. Grupos solubles 139
Capítulo 12. Grupos de matrices • 159
Capítulo 13. Representaciones lineales de grupos finitos 169
Capítulo 14. Caracteres de grupos finitos 185
Capítulo 15. Aplicaciones de la teoría de caracteres 209
Apéndice A. Enteros algebraicos 235
Bibliografía 251
índice alfabético 255
Introducción
La teoría de grupos está donde está la acción
EN el principio fueron permutaciones de raíces de polinomios, como en Ga-
lois, o permutaciones de cualquier conjunto finito, como en Cauchy. Todos los
primeros practicantes trabajaban con grupos de permutaciones hasta que el final del
siglo XIX los alcanzó y Frobenius ya estaba listo para definir un grupo abstracto por
medio de una lista de axiomas. Además de los grupos de permutaciones, la Geometría,
como la entendió Klein, aparece en este contexto y encontramos grupos actuando sobre
objetos geométricos y una geometría se define por los objetos invariantes bajo la acción
dada. En nuestros días la teoría de grupos va de lo abstracto a Id extremadamente con­
creto —cálculos en computadoras— pero siempre reteniendo su meta inicial: el estudio
de la simetría en todos los contextos, desde grupos cristalográficos hasta grupos de Lie
asociados a ecuaciones diferenciales, desde la combinatoria hasta la teoría de núme­
ros, desde la geometría hasta la física, donde quiera que hayan simetrías, la teoría de
grupos está presente. Este libro es una introducción a la teoría de grupos, y a pesar que
sólo es una introducción elemental, toca muchos aspectos de la teoría, con un énfasis
en los grupos finitos, preparando al estudiante para niveles más avanzados. He tratado
de bosquejar algo de la historia de la teoría de grupos, refiriendo en las notas al final
de cada capítulo a las fuentes apropiadas, recordando el origen de algunos de los con­
ceptos y teoremas. La bibliografía también incluye libros y monografías, desde textos
elementales como el presente, hasta monografías avanzadas, donde el estudiante puede
ver otros enfoques o continuar su estudio de la teoría de grupos. Los prerequisitos para
leer este libro se han mantenido a un mínimo: un curso de Algebra Lineal y un curso
de Matemáticas Finitas que incluya algo de divisibilidad de enteros, números primos y
el teorema fundamental de la aritmética. El libro comienza con un intento de describir
el concepto de simetría para motivar la idea de grupo y después de discutir algunos
ejemplos importantes, grupos cíclicos, de permutaciones y de matrices, introduce los
teoremas de estructura básicos, desde el teorema de Lagrange hasta los teoremas de
Sylow, y luego los aplica para dar una introducción elemental al estudio de los grupos
simples y solubles. La parte final del libro usa álgebra lineal combinada con teoría de
grupos introduciendo al lector a la teoría de representaciones de grupos finitos y luego
aplica estos resultados para probar un importante teorema de Burnside, a saber, que
todos los grupos finitos cuyos órdenes son de la forma paqb> con p, q primos, son solu­
bles. La demostración de este teorema usa algunos resultados sobre enteros algebraicos
de los cuales se dan demostraciones elementales en el Apéndice y que, adecuadamente,
usan polinomios simétricos. Podría decirse que hay una cierta simetría en la forma en
que el libro se desarrolla ya que, comenzando con una noción intuitiva de la noción
de simetría, termina con una aplicación que involucra el uso de polinomios simétricos
INTRODUCCIÓN
VI
cuyo origen puede ubicarse en uno de los inicios del Álgebra misma, a saber el estudio
de las permutaciones de las raíces de polinomios, por Galois, Lagrange y Viéte.
Capítulo
Simetrías y operaciones binarias
LA IDEA de simetría ESTÁ presente en varios contextos: en las artes plásticas
(pintura, escultura, arquitectura), donde en algunos casos es obvia, por ejemplo,
en el diseño de algunas construcciones—iglesias o catedrales con sus dos torres, acue­
ductos con sus arcos repetidos, etc. Un ejemplo inmediato está dado por las simetrías
de la figura humana, como es manifiesto en el conocido dibujo de Leonardo da Vinci
sobre las proporciones del cuerpo humano:
Es fácil encontrar ejemplos, en las artes plásticas, de cómo el artista aprovecha la si­
metría para crear objetos de arte. Los frisos de Mitla en Oaxaca, o las decoraciones de
edificios construidos por los árabes en la España morisca comparten una misma fuente
geométrica. Sin embargo, aunque no tan obvio como en los ejemplos anteriores, tam­
bién la idea de simetría está presente en otra de las artes: en la música, por ejemplo en el
contrapunto (fugas especulares, cánones, etc.). El lector puede pensar en cómo la idea
de simetría también se usa en la literatura, en ocasiones en forma sutil. Ahora, una vez
convencidos de la ubicuidad de la idea de simetría, su aparente simplicidad no ayuda
2 i SIMETRÍAS Y OPERACIONES BINARIAS
a entenderla, es decir, ¿cómo podríamos definir el concepto de simetría, que aparente­
mente es claro y evidente hasta que pensamos en cómo definirlo, y en ese momento se
vuelve elusivo y ya no es tan evidente?
Un primer enfoque sería pensar a un objeto simétrico como aquel objeto que no
cambia cuando lo movemos de unas ciertas formas. Para comenzar debemos aclarar
que mover no necesariamente quiere decir movimiento en el sentido físico. Por ejem­
plo en la música no movemos las notas musicales. O en literatura no movemos las
palabras o imágenes o metáforas. Quede claro entonces que la idea de mover es en
el sentido abstracto y en un cierto sentido querrá decir cambiar. Pero ¡cómo es esto!,
podríamos exclamar, cómo es esto de querer definir un objeto simétrico diciendo que
es aquel objeto que no cambia cuando lo movemos, es decir, ¡cuando lo cambiamos!
Esta supuesta definición más parece un ejemplo de gatopardismo que una definición
propia. Más vale entonces que comencemos a aclarar los términos que usaremos.
Lo primero que debemos observar es que el movimiento o cambio es algo que in­
fligimos en un objeto dado. Esto implica que al objeto lo sujetamos a cierta acción (de
nuevo, aclarando que esto no necesariamente es en el sentido físico). También es impor­
tante aclarar que los objetos que sujetaremos a estas acciones, tampoco necesariamente
son objetos físicos y en muchos casos sólo son objetos abstractos de nuestra imagi­
nación (qué otra cosa son las imágenes poéticas, o las figuras geométricas—acaso,
¿alguna vez hemos encontrado un triángulo equilátero en el mundo físico?). Veamos
un ejemplo donde las simetrías sean fáciles de observar.
Ejemplo 1. Consideremos un cuadrado centrado en el origen de R2, con lados paralelos
a los ejes coordenados y de lado 2:
2 1
3 4
con vértices etiquetados por 1,2,3 y 4. Si queremos ver las simetrías de este cuadrado,
lo que deseamos es ver cuáles movimientos o cambios llevan al cuadrado en sí mismo.
Lo primero que observamos es que basta ver qué movimientos o cambios llevan un
vértice en otro ya que esto es suficiente para que el cuadrado no cambie. Las acciones
sobre el cuadrado, que lo mantienen sin cambio son:
■ Rotaciones r$ por ángulos 0 — 7r/2, 7r, 37t/2, 27t, etcétera. En general,
rotaciones por ángulos que son múltiplos enteros de 7r/2. Note que al rotar 2it
es lo mismo que rotar 0 grados, También, si n > 0 es un entero, al rotar nn/2
I. SIMETRÍAS Y OPERACIONES BINARIAS 3
basta considerar rotaciones para n = 0,1,2,3 ya que los otros ángulos repiten
las ubicaciones de los vértices del cuadrado. Para enteros n < 0, dejamos
como un ejercicio mostrar que las rotaciones re para 6 = 0,7r/2,7r,37r/2
generan todas las otras rotaciones que mantienen sin cambio al cuadrado. Así,
básicamente hay 4 rotaciones que dejan invariante al cuadrado considerado.
■ Reflexiones con respecto a los ejes coordenados X y Y y con respecto a las
dos rectas a 45 y 135 grados por el origen de R2. Hay 4 reflexiones: con
respecto al eje X, denotaremos la reflexión correspondiente por px. Con res­
pecto al eje Y, tenemos la reflexión py. Con respecto a la recta a 45 grados,
denotaremos a la reflexión por p\ y con respecto a la recta a 135 grados,
* tenemos la reflexión p2-
Veamos cómo son las acciones anteriores (rotaciones y reflexiones actuando sobre
el cuadrado que estamos considerando, al que denotaremos por 6).
■ Para la rotación ro, esta acción no hace nada. Le llamaremos la acción neutra
o identidad y la denotamos mediante el símbolo e.
■ Para la rotación rv/2, la acción sobre el cuadrado C está dada por:
2 1 1 4
*V/2
3 4 2 3
■ Para la rotación r*, su acción sobre el cuadrado 6 es:
2 1 4 3
3 4 1 2
y notamos que r„ = r*/2 • r*/2> es decir, rotar 180 grados es lo mismo que
rotar primero 90 grados y luego rotar otros 90 grados. Usaremos la abrevia­
ción
»V=»V/2»»V/2 = rí/2
4 i. SIMETRÍAS Y OPERACIONES BINARIAS
para indicar la rotación rn/2 aplicada dos veces.
■ El lector puede ver cómo es la acción de r37r/2 y observar que
r3ir/2 = rÍ
■ También, observe que r^2 = e, ya que rotar 360 grados tiene el mismo efecto
que no hacer nada.
■ Para la reflexión py, su acción sobre el cuadrado 6 está dada por.
2 1 1 2
PY
3 4 4 3
■ El lector puede ver cómo actúan las otras reflexiones. En particular, observe
que la acción de la reflexión pi sobre el cuadrado 6 es:
2 1 4 1
Pi
3 4 3 2
y si consideramos la acción rn/2 seguida por la reflexión py, a la que denota­
mos por py • la acción correspondiente es:
rrr/2 Py
to 1 1 4 4 1
3 4 2 3 3 2