Introducción a la matemática discreta

2011·1.3 MB·Spanish

by  Emmanuel Briand

EMMANUEL BRIAND
INTRODUCCIÓN
A LA MATEMÁTICA DISCRETA
GRADO EN INGENIERÍA INFÓRMATICA
ETSII. UNIVERSIDAD DE SEVILLA
VERSION 1.5
DICIEMBRE DE 2011
http://emmanuel.jean.briand.free.fr/docencia/IMD/Material_IMD/
ApuntesIMD_EB/
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to, No commercial, Compartir Igual”) 3.0 Unported de Creative Commons. Para ver una copia de esta
licencia,visite:
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es
oenvieunacartaaCreativeCommons,171SecondStreet,Suite300,SanFrancisco,California94105,USA.
Creditos:Paraelaborarestetextomeheinsipradodevariaspresen-
taciones existentes, e incluso he copiado ejemplos provenientes de
otros textos. Para las partes de aritmética, utilizé así los apuntes de
1
introduciiónalamatemáticadiscretadeJavierCobosGavala . 1JavierCobisGavala. Apuntesdeintroduc-
La parte de combinatoria la derivé de los apuntes de Eric Leh- ciónalamatemáticadiscretaparalatitlación
2 deingenieríainformática. Departamentode
man y Srinivas Devadas para la asignatura MathematicsforCompu-
matemáticaAplicada1.http://ma1.eii.
terScienceimpartidaenelM.I.T.Dichosapuntesestanintegradosen us.es/Material/IMD_ii_Ap.pdf (con-
sultadoel1erodediciembrede2011)
elMITOpenCourseWare.
2Srinivas Devadas and Eric Lehman.
Finalmente para el primer cápitulo utilizé material existente ela-
6.042J/18.062J Mathematics for Computer
boradoporvariosprofesoresdemidepartamento. Science,Spring2005.MassachussetsInsti-
tute of Technology: MIT OpenCourseWare.
http://ocw.mit.edu(consultadoel1ero
deseptiembrede2010).Licencia:Creative
CommonsBY-NC-SA
Índice general
5
Bibliografía
7
1 Lógica, conjuntos, Álgebras de Boole
7
1.1 Lógica
18
1.2 Conjuntos
24
1.3 Álgebras de Boole
27
2 Combinatoria
27
2.1 Contar
28
2.2 El principio de la biyección
32
2.3 El principio de adición
33
2.4 El principio de multiplicación
37
2.5 El principio de división
40
2.6 Coeficientes binomiales
43
2.7 El principio del palomar
45
2.8 El principio de inclusión y exclusión
49
3 Recursión
49
3.1 Introducción
51
3.2 Sucesiones
52
3.3 Ecuaciones de recurrencia
58
3.4 Resolución
63
3.5 Demostraciones por inducción
4
67
4 Aritmética
67
4.1 Introducción: ecuaciones lineales diofánticas
68
4.2 Aritmética con primos
75
4.3 El algoritmo de Euclides
4.4 Resolución de la ecuación diofántica lineal ax+by = c 82
87
5 Aritmética modular
87
5.1 Congruencia modulo n
88
5.2 Aritmética (adición y multiplicación) modulo n
Z 92
5.3 La regla de simplificación, y los inversos y los divisores de cero en
n
95
5.4 Sistemas de ecuaciones lineales modulares (de una variable)
105
5.5 Las potencias de una unidad
Z 107
5.6 El número de unidades en (la función φ de Euler)
n
110
5.7 La matemática del sistema criptográfico RSA
Bibliografía
Javier Cobis Gavala. Apuntes de introducción a la matemática
discreta para la titlación de ingeniería informática. Departamen-
to de matemática Aplicada 1. http://ma1.eii.us.es/Material/
IMD_ii_Ap.pdf(consultadoel1erodediciembrede2011).
SrinivasDevadasandEricLehman. 6.042J/18.062JMathematicsfor
ComputerScience,Spring2005. MassachussetsInstituteofTechno-
logy: MIT OpenCourseWare. http://ocw.mit.edu (consultado el
1ero de septiembre de 2010). Licencia: Creative Commons BY-NC-
SA.
RonaldL.Graham,DonaldE.Knuth,andOrenPatashnik. Concrete
Mathematics:afoundationforcomputerscience. Addison–Wesley,1994.
RalphP.Grimaldi. Matemáticasdiscretasycombinatoria:unaintroduc-
ciónconaplicaciones. Addison–WesleyIberoamericana,1998.

1
Lógica, Teoría de conjuntos, Álgebras de Boole
Estapartedelcursoestádedicadaal“lenguajedelamatemática”:
lalógicaproposicionalylateoríadeconjuntos.
1.1 Lógica
1.1.1 Proposiciones
En matemáticas, consideramos frases que son o bien verdaderas
(=ciertas),obienfalsas,comolassiguientes:
“2+3=4”
“Hoyeslunes”
“Six=2entoncesx2 =4”
Estas frases las llamamos proposiciones. No son proposiciones frases
como:
“Ojalánolluevahoy!”
Lafrasesiguiente,
“x>0yx<1.”
tampocoesunaproposición,cuandoxesunavariablesinvalorasig-
nado,porquepuedeserverdaderaofalsa,dependiendodelvalorde
x.Estasfraseslasllamamospredicados.
Nos referimos al carácter “verdadero” o “falso” de una propo-
sición con la palabra valor de verdad de la proposición: el valor de
verdad de una proposición verdadera es “verdadera”, y el valor de
verdaddeunaproposiciónfalsaes“falsa”.
Ejemplo1.1.1.
Considérese:
“Existeunainfinidaddenúmerosprimos ptalque p+2espri-
mo.”
Nosabemossiestafraseesverdaderaofalsa(esunproblemasinresol-
verenmatemáticas).Sinembargo,estafraseesbienunaproposición.
Simplemente,ignoramossuvalordeverdad. ♦
8
Ejemplo1.1.2.
Determinar,paracadaunadelasfrasessiguientes,sisonproposicio-
nes o no. Determinar, cuando se pueden su valor de verdad (cierta o
falsa).
1. “NapoleónganólabatalladeAusterlitz”.
2. “2+2=5”.
3. “Cierralapuerta”.
4. “x≥2”.
♦
1.1.2 Componiendo proposiciones: y, o, no, implicación, equivalen-
cia
Considéreselaproposiciónsiguiente:
“Hoyeslunesyllueve”
Esta proposición es compuesta de dos proposiciones más pequeñas
(laprimeraes“Hoyeslunes”,lasegundaes“llueve”)pormediode
un conector lógico (“y”). Aquí están otros ejemplos de proposiciones
compuestas:
“Sillueve,nosalgo”
“5≥3y5≤6”
Las proposiciones que no son compuestas, las llamamos proposi-
cionessimples,como:
“5≥3”.
Hay muchos conectores lógicos, pero cinco de ellos son funda-
mentales.Estánpresentadosenelcuadro1.1.
! Ojo ¡ El sentido en matemáticas de estas palabras puede diferir
delqueselesdaenellenguajeordinariooenfilosofía.
A continuación examinamos de más cerca estos cinco conectores
lógicos.
Elconector“o”
A partir de dos proposiciones p, q se forma una nueva propo-
sición: “p o q”. Su valor de verdad es determinado a partir de los
valores de p y de q de la manera siguiente: “p o q” es verdadera si
por lo menos una de las dos proposiciones p, q es verdadera, y es
falsacuandoambassonfalsas.
Porejemplo,
“5>3o5<4”
esverdadera,yaque“5>3”esverdadera.
lógica,conjuntos,álgebrasdeboole 9
Conector Proposición Formasequivalentes símbolos Cuadro 1.1: Los cinco conectores lógicos
fundamentales.
compuesta
y p y q Conjunciónde p yde q. p∧q
p&&q
o p o q Disyunciónde p yde q. p∨q
p || q
no no p Negaciónde p. ¬p
p
!p
implica p implica q Si p entonces q. p ⇒ q
Implicación. p → q
Condicional.
pesunacondiciónsuficien-
tepara q.
q es una condición necesa-
riapara p.
siysolosi p siysolosi q p ssi q. p ⇔ q
p esequivalentea q p ↔ q
Bicondicional.
Sepuederesumirestadefiniciónutilizandounatabladeverdad:
p q p o q
V V V
V F V
F V V
F F F
Explicación: hay cuatro posibilidades para los valores de verdad de
p y de q, que corresponden a las cuatro filas de la tabla. La segunda
fila, por ejemplo, indica que si p es verdadera (V) y q es falsa (F)
entonces“p o q”esverdadera(V).
Observación:Este“o”matemáticonoesel“oexclusivo”utilizadoa
menudoenellenguajeordinario,comoen:
“Enestemenú,puedepediruncaféounpostre.”
Interpretación en lenguaje or- Interpretaciónenlenguajema-
dinario: temático:
Puedo pedir el café, puedo pedir
Puedo pedir o bien el café, o bien
el postre, y puedo también pedir
elpostre,peronoambos.
ambos.
Este“oexclusivo”(quecorrespondemásexplícitamentea“obien
...o bien ...) también es un conector lógico (aunque no hace parte
de los “cinco fundamentales” presentados aquí). Tiene una tabla de
10
verdaddiferentedeladel“o”:
p q p o(exclusivo) q
V V F
V F V
F V V
F F F
El“oexclusivo”seabreviaavecesenXOR(como“exclusiveor”)en
ciertoslenguajesdeprogramación.
Elconector“y”
Dadasdosproposiciones pyq(porejemplo, pes“hoyeslunes”y
q es “llueve”), definimos una nueva proposición “p y q”. Le atribui-
mos un valor de verdad así: “p y q” es verdadera si ambas proposi-
ciones son verdaderas, y es falsa sino. O sea, es el “y” del lenguaje
ordinario.
Latabladeverdadde“y”es:
p q p y q
V V V
V F F
F V F
F F F
Elconector“no”.
A partir de una proposición p formamos una nueva proposición:
“ no p”. La proposición “ no p” es verdadera cuando p es falsa, y
falsacuando p esverdadera.
Latabladeverdaddelanegaciónes:
p no p
V F
F V
Elconectordeequivalencia
A partir de dos proposiciones p, q formamos una nueva proposi-
ción:“pesequivalenteaq”.Sepuedeemplearconelmismosentido:
“psiysolosiq”(abreviación:“pssiq”).Laproposición“pesequi-
valente a q” es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de
verdad,yfalsasino:
p q p esequivalentea q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo1.1.3.
Cuándoresolvemossistemasdeecuacionessolemosrazonarporequi-
valencia.Elsistemaesunaproposición,quecambiamosporetapasen