Introduccion A La Logica Y Al Analisis Formal

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by  Sacristan Luzon Manuel

INTRODUCCION A LA LOGICA
Y AL ANALISIS FORMAL
© 1964, Ediciones Ariel, S, á.
Barcelona
Núm. registro: E
5/8-1964
Depósito legai: B.
29.198-1964
Talleres Tipográficos ARH.ÍL, S. A. - Berlín, •16-50 - Barcelona
Hay algunos importantes conceptos que son hoy de uso frecuente en
numerosas ciencias positivas y que tienen en la lógica formal el lugar de
su primera introducción y aclaración. Se trata de conceptos como los
de sistema deductivo, algoritmo, modelo, función, estructura. Esa primera
aclaración que se encuentra en la lógica es, desde luego, muy general, y
los conceptos en cuestión toman en las diversas ciencias positivas que: los
usan connotaciones especificas, Pero una introducción termal a esos con­
ceptos en el marco de una iniciación a la lógica es probablemente útil
para toda formación científica que quiera educar también en el espíritu
de la teoría. La principal motivación con que lia sido escrito feste manual
es la de suministrar un texto introductorio que, a diferencia de lo que
muy naturalmente suele ocurrir a los libros de lógica, no presuponga en
sus lectores ningún interés especial por la filosofía ni por la matemática,
ni menos una educación universitaria en ellas. El lector típico tenido pre­
sente es más bien el estudiante de nuestras facultades de ciencias positi­
vas (naturales y sociales). Esto puede dar razón del carácter ingenuo de
la información y las discusiones sobre tenias filosóficos y matemáticos, así
como del abandono de venerables doctrinas tradicionales (por ejemplo: de
la renuncia a un tratamiento sustantivo de la silogística).
Lo que aquí se pretende en sustancia es servir a la introducción del
estudio de la lógica fuera de las secciones de filosofía y de matemáticas.
Salvo en las Facultades de Ciencias Económicas, que cuentan con unos
Fundamentos de Filosofía en su primer curso, no es aún nada fácil al­
canzar ese deseable objetivo. Tal vez una modesta solución podría con­
sistir por ahora en cursillos trimestrales o cuatrimestrales con alguna
selección de temas como la compuesta por los siguientes capítulos: I, II,
III, IV, V, VII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIIII. (Esta reducción acarrea la
supresión de derivaciones calculísticas en los caps. XIV-XVIII, que habrá
que suplir con razonamientos informales de los que se dan varios ejemplos
en el capítulo XV.)
El Dr. D. José Lóbez Urquía, catedrático de Matemáticas de las ope­
raciones financieras en la Facultad de Ciencias Económicas de Barcelona,
ha tenido la bondad, que le agradezco, de leer el texto en pruebas y su­
gerirme retoques de interés didáctico que he llevado a cabo en la medida
en que lo permitían los límites de espacio y de contenido impuestos al
manual.
M. S, L.
Barcelona, octubre de 1964,
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143: las dos últimas fórmulas de la demostración están intercambiadas.
Capítulo ill. — El ideal del lenguaje bien hecho
15. Las paradojas de la teoría de conjuntos . . . . . . 38
16. Lenguajes “mal hechos” 41
17. La paradoja de Epirrsémdes.................................................. 42
18. Lenguajes “bien hechos”. Cálculos formales y lenguajes formali­
zados. Metrdonguaje . 44
III, IV, V, VII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIIIL (Esta reducción acarrea la
supresión de derivaciones calculístícas en los caps. XIV-XVIII, que habrá
que suplir con razonamientos informales de los que se dan varios ejemplos
en el capítulo XV.)
El Dr. D. José Lóbez Urquía, catedrático de Matemáticas de las ope­
raciones financieras en la Facultad de Ciencias Económicas de Barcelona,
ha tenido la bondad, que le agradezco, de leer el texto en pruebas y su­
gerirme retoques rb> .......
INDICE
PARTE PRIMERA
LA LOGICA FORMAL Y LAS CIENCIAS REALES.
CATEGORÍAS LÓGICAS
Capítulo I, — Noción de la lógica formal
1. Cómo se caracteriza una ciencia . . . . . . . . 13
2. La falacia de abstracción 17
3. La abstracción básica de ia lógica formal . . . . . . 17
4. Formas de pensamiento irrelevantes para la lógica formal clásica. 18
o. La forma lógica. Esquemas . . . . . . . . . 19
6. Verdad formal. Esquemas finales. La lógica formal como ciencia
o teoría............................................................................................... 22
7. Sentido de las verdades formales . . . . . . . . 25
8. La lógica como arte o técnica . . . . . . . . 27
Capítulo II, — La lógica formal en la investigación
de fundamentos
9. La cuestión de los fundamentos 30
10. La "crisis de fundamentos" de las ciencias . . . . . 31
11. Aspectos materiales y formales de una crisis da tvncínincntn-; . 32
12. La estructura de las teorías . . . . . . . . . 34
13. La precisión del objeto formal de una teoría . 35
14. La utilidad heurística de la investigación, de fundamexitos . . 36
Capítulo III. — El ideal del lenguaje bien hecho
15. Las paradojas de la teoría de conjuntos . . . . . . 38
16. Lenguajes “mal hechos” ................................................................. 41
17. La paradoja de Epiménides . . . . . . . . . 42
18. Lenguajes “bien hechos57. Cálculos formales y ]e?igmncs formali­
zados. Metalenguaje . . . . . . . . . . . 44
19. La investigación de fundamentos en lógica. Sintaxis y semántica. 49
20. Los límites del ideal algorítmico . ..................................... 51
21. Los frutos del programa algorítmico . . . . . . . 53
Capítulo IV. — Las categorías lógicas
22. Análisis lógico y categorías . . . . . . . . . 55
23. Las categorías Expresión, Fórmula, Enunciado . . . . 56
24. El nombre: la categoría Constantes. Constantes lógicas . . 57
2o. La categoría Variables . . . . . . . . . . 59
26. Los cuantificadores ....................................................................... 81
27. Categorías compositivas o conjuntivas............................................. 64
28. Funciones lógicas. Abstracción funcional . . . . . . 66
PARTE SEGUNDA
EL SISTEMA DE LA LÓGICA ELEMENTAL
Sección primera
EL LENGUAJE DE LA LOGICA ELEMENTAL
Capítulo V. — La composición de enunciados.
Lógica de enunciados
29. Concepto de la lógica de enunciados............................................. 71
30. Símbolos elementales y primitivos de la lógica de enunciados . 71
31. Fórmulas de la lógica de enunciados . . . . . . . 78
32. Esquematizaron de enunciados del lenguaje común por fórmulas
de la lógica de enunciados . . . . . . . . . 80
33. Sobre la notación de las funciones veritativas . . . . . 86
Capítulo VI. — La estructura de los enunciados atómicos.
Lógica de predicados
34. Concepto de la lógica de predicados............................................ 88
35. Símbolos elementales o primitivos de la lógica de predicados . 91
38. Fórmulas de la lógica de predicados de primer orden . . . 94
37. Esquematización de enunciados del lenguaje común por fórmulas
de la lógica de predicados de primer orden . . . . . 95
38. La implicación en la lógica de predicados de primer orden . . 101
39. Sobre la constante T . . . . . . . . . 102
Sección segunde
EL SISTEMA DE LA LOGICA ELEMENTAL
Capítulo VIL — Presentación axiomática del cálculo
de predicados de primar orden
40. El sistema axiomático 103
41. Nociones de demostración, o derivación, y de teorema . . 104
42. Axiomas y esquemas axiomáticos 105
43. Modelos isomorfos. Monomorfismo y polimorfismo . . . 106
44. La idea de definición implícita 108
45. El sistema axiomático de Hilberts Bernays y Aekermann (HB)
para la lógica elemental . . . , . . . . . , 110
46. La demostración en el sistema axiomático , 114
Capítulo Yill. —■ ha deducción a partir de premisa?
47. Las tres concepciones de la argumentación formal , , . , 119
48. Los problemas de la deducción natural 120
49. Las nociones de demostración y teorema en el calculo de la
deducción natural ............................................ 122
50. Los dos géneros de operaciones básicas del cálculo de la deduc­
ción natural 123
51. Isomorfía de fórmulas y sustitución de variables . . . . 125
52. El cálculo de la deducción natural . . . . . . . 128
53. Observaciones a las reglas de la deducción natural , 130
Capítulo IX. — Técnica ele la deducción natural.
Algunos teoremas
54. Algunos teoremas de la lógica de enunciados . . . . . 113
55. Algunos teoremas con eiiantificadores „ . ■ , . , . , 140
Capítulo X, — Formas normales. Comparación del mtcma
axiomático con el cálculo de la deducción natural
56. Noción de formal normal . . . . . . . . . . 149
57. Normalización de los functores veritativos . . . . . . 150
58. Normalización de los euantificadores 153
59. Justificación de las formas normales en el sistema axiomático.
Comparación del sistema axiomático con el calculo de la deduc­
ción natural 159
80. El teorema de deducción . . . . . . . . . 163
Sección primera
LAS LIMITACIONES DEL CALCULO LOGICO
Capítulo XI. — Hendimiento del cálculo lógico elemental
61. Los metateoremas sobre el rendimiento . . . . . . 1T7
62. Consistencia del cálculo lógico elemental..............................178
63. Completud del cálculo lógico elemental..............................182
64. La lógica elemental y el programa algorítmico , . . . 185
Capítulo XII, — La lógica de predicados de orden superior
y el teorema de incompletud de Godel
65. La lógica de predicados de orden superior.......................187
66. La godelización.................................................................................189
67. El teorema de incompletud de G od el.....................................192
68. Sobre la significación del teorema de incompletud de Godel para
la teoría de la ciencia.................................... 197
69. El teorema de incompletud de Godel y el programa de Hilbert. 199
Capítulo XIII. — Decibilidad en la lógica elemental
70. Deeidibilidad de la lógica de enunciados . . . . . . 201
71. La técnica de las tablas veritativas . . . . . . . 202
72. Reducción del número de funciones veritativas diádicas . . 204
73. Uso de las formas normales como técnicas de decisión en la lógica
de enunciados ............................................................................208
74. Decisión abreviada por “reducción al absurdo” . . . . 209
75. Deeidibilidad de las expresiones monádicas de la lógica de pre­
dicados ................................................... . . . . . . 210
Sección segunda
EL ALCANCE ANALÍTICO DEL CALCULO LOGICO
Capítulo XIV. — Lógica de clases
76. El álgebra de clases..........................................................................216
77. La lógica general de clases..............................................................223
78. Clase nula y clase universal . . . . . . . . . 226
79. El principio de abstracción y la paradoja de Russell . . . 228