Introdução aos Sistemas Dinâmicos: uma - Jaime E. Villate

222 Pages·2007·3.6 MB·Portuguese

IInnttrroodduuççããoo aaooss
SSiisstteemmaass DDiinnââmmiiccooss
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UMA ABORDAGEM PRATICA COM MAXIMA
ISBN 972-99396-0-8
Jaime E. Villate
9 789729 939600

Introduc¸a˜o aos sistemas dinaˆmicos
Uma abordagem pra´tica com Maxima
JaimeE.Villate
FaculdadedeEngenharia
UniversidadedoPorto
Introduc¸a˜oaossistemasdinaˆmicos: umaabordagempra´ticacomMaxima
Copyright(cid:13)c 2005,2006,2007JaimeE.Villate
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ISBN:972-99396-0-8
Versa˜o1.2,do27deFevereirode2007
Aimagemnacapae´ oconjuntodeJuliadonu´merocomplexo−0.75+i0.1,com48iterac¸o˜es,comose
explicanocap´ıtulo12.
Conteu´do
Prefa´cio xiii
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 Equac¸o˜esdiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Resoluc¸a˜odeproblemasdef´ısicausandooMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Sistemasdinaˆmicosdiscretos 9
2.1 Evoluc¸a˜odesistemasdiscretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ana´lisegra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Pontosfixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Pontosperio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Resoluc¸a˜onume´ricadeequac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Me´tododeiterac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Me´tododeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Sistemasdinaˆmicoscont´ınuos 27
3.1 Equac¸o˜esdiferenciaisdeprimeiraordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Campodedirecc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Sistemasdinaˆmicosdeprimeiraordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Quedalivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 CircuitoRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Sistemasauto´nomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iv CONTEU´DO
3.4.1 Retratodefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Me´tododeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Resoluc¸a˜oanal´ıticadasequac¸o˜esdiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 Equac¸o˜esdevaria´veissepara´veis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.2 Equac¸o˜eslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.3 Equac¸o˜esexactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.4 Equac¸o˜eshomoge´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.5 Equac¸a˜odeBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.6 Equac¸a˜odeRiccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Sistemascont´ınuosdesegundaordem 53
4.1 Quedalivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Lanc¸amentodeproje´cteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Sistemasdesegundaordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Retratodefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Resoluc¸a˜oanal´ıticadasequac¸o˜esdesegundaordem . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.1 Equac¸o˜esauto´nomasdesegundaordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Sistemasna˜oauto´nomosederivadasdeordemsuperior . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 Eliminac¸a˜odesingularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Sistemaslineares 71
5.1 Osciladoreslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Sistemaslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Pontosfixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Vectoresevalorespro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Valorespro´priosreais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4.2 Ra´ızescomplexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5 Classsificac¸a˜odossistemasdesegundaordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6 No´spro´prioseimpro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7 Pontosfixosna˜ohiperbo´licos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
CONTEU´DO v
5.8 Osciladoresamortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.9 Oscilac¸o˜esnoscircuitosele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.10 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.11 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Sistemasna˜olineares 95
6.1 Linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Opeˆndulosimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Me´tododeRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 Sistemasdeequac¸o˜esdeprimeiraordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.6 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Sistemashamiltonianos 113
7.1 Func¸a˜ohamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Soluc¸o˜esnoespac¸odefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 Pontosfixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Sistemasgradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5 PeˆndulodeWilberforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.7 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8 Cicloslimite 125
8.1 Oscilac¸o˜esauto-excitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Existeˆnciadecicloslimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 Inexisteˆnciadecicloslimite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.4 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.5 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9 Coexisteˆnciadeduasespe´cies 135
9.1 Sistemaspredador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2 Sistemascomcompetic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
vi CONTEU´DO
9.4 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10 Bifurcac¸o˜esecaos 141
10.1 Bifurcac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1.1 Bifurcac¸a˜osela-no´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1.2 Bifurcac¸a˜otranscr´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.1.3 Bifurcac¸a˜odeforquilha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.2 Exemplosf´ısicosdebifurcac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Bifurcac¸o˜esecaosemsistemasdiscretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.4 Diagramadeo´rbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.5 TeoremadePoincare´-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.6 Caosemsistemascont´ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.6.1 Equac¸o˜esdeLorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.6.2 Equac¸o˜esdeRo¨ssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.7 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.8 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11 Sistemasdiscretosdesegundaordemefractais 161
11.1 Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.2 Sistemasaleato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.3 Sistemasiterativosdefunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.5 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12 Sistemasdiscretosnoplanocomplexo 173
12.1 Sistemasquadra´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.2 Afunc¸a˜oquadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.3 ConjuntodeJulia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.3.1 Crite´riodeconvergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.4 OconjuntodeMandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.5 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.6 Perguntasdeescolhamu´ltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
CONTEU´DO vii
A TutorialdoMaxima 183
A.1 AinterfacedoMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.2 Entradaesa´ıdadedados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.3 Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.4 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.5 Equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.6 Gra´ficosdefunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.7 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.8 A´lgebraetrigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.9 Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.10 Equac¸o˜esdiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A.11 Guardarinformac¸a˜oentresesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Respostas 197
I´ndiceRemissivo 201
Bibliografia 204
viii CONTEU´DO