Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade PDF
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Introdução ao M O R Há pouquíssimos livros de introdução ao cálculo no mercado, e se E T T CÁLCULO delimitarmos aos mais recentes esse número fica ainda menor. É uma IN | H disciplina carente de livros introdutórios, livros que possam ser usados nos A Z Z cursos de Administração, Contabilidade e Economia, como se propõe esta A N obra. Pela importância do assunto e pela necessidade de bons livros, a Editora | B para administração, economia e contabilidade U Saraiva reuniu novamente os autores do já consagrado livro Cálculo – Função S S A B de uma e várias variáveis, para lançar este introdutório. A obra apresenta o cálculo de forma didática, trazendo aspectos IN T conceituais e suas aplicações. Os capítulos trazem os principais temas R O D abordados nos programas da disciplina de cálculo nos cursos de graduação U Ç Ã O de Administração, Economia e Contabilidade, como conjuntos numéricos, A O funções, limites, derivadas e suas aplicações, integrais, espaço C Á L C n-dimensional e funções de duas e de três variáveis. O livro possui, ainda, U L O um grande conjunto de exercícios resolvidos para fixação de conteúdo – P A R A uma ferramenta importante para alunos e professores. A D M IN IS T R Aplicação A Ç Ã Este livro pode ser usado nas disciplinas: O , E Matemática, Cálculo e Matemática Aplicada. C O N O M IA E C O N 100 T A B IL PEDRO A. MORETTIN SAMUEL HAZZAN WILTON O. BUSSAB 95 ID A D 75 E 25 5 0 calculos novo segunda-feira, 1 de dezembro de 2008 15:28:46 Pedro A. Morettin Samuel Hazzan Wilton O. Bussab Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade ISBN 978-85-02-06768-4 CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE Av. Marquês de São Vicente, 1697 — CEP 01139-904 SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ. Barra Funda — Tel.: PABX (0XX11) 3613-3000 Fax: (11) 3611-3308 — Televendas: (0XX11) 3613-3344 Fax Vendas: (0XX11) 3611-3268 — São Paulo - SP M843i Endereço Internet: http://www.editorasaraiva.com.br Morettin, Pedro Alberto Filiais: Introdução ao cálculo para administração, economia e AMAZONAS/RONDÔNIA/RORAIMA/ACRE contabilidade / Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton Rua Costa Azevedo, 56 — Centro O. Bussab. - São Paulo : Saraiva, 2009. Fone/Fax: (0XX92) 3633-4227 / 3633-4782 — Manaus Inclui bibliografia BAHIA/SERGIPE ISBN 978-85-02-06768-4 Rua Agripino Dórea, 23 — Brotas Fone: (0XX71) 3381-5854 / 3381-5895 / 3381-0959 — Salvador 1. Cálculo. I. Hazzan, Samuel, 1946-. II. Bussab, Wilton BAURU/SÃO PAULO de Oliveira, 1940-. III. Título. (sala dos professores) Rua Monsenhor Claro, 2-55/2-57 — Centro Fone: (0XX14) 3234-5643 — 3234-7401 — Bauru 08-0103. CDD: 515 CDU: 517 CAMPINAS/SÃO PAULO (sala dos professores) Rua Camargo Pimentel, 660 — Jd. Guanabara Fone: (0XX19) 3243-8004 / 3243-8259 — Campinas CEARÁ/PIAUÍ/MARANHÃO Av. Filomeno Gomes, 670 — Jacarecanga Fone: (0XX85) 3238-2323 / 3238-1331 — Fortaleza Copyright © Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan e DISTRITO FEDERAL Wilton O. Bussab SIG Sul Qd. 3 — Bl. B — Loja 97 — Setor Industrial Gráfico Fone: (0XX61) 3344-2920 / 3344-2951 / 3344-1709 — Brasília 2009 Editora Saraiva Todos os direitos reservados. GOIÁS/TOCANTINS Av. Independência, 5330 — Setor Aeroporto Fone: (0XX62) 3225-2882 / 3212-2806 / 3224-3016 — Goiânia MATO GROSSO DO SUL/MATO GROSSO Rua 14 de Julho, 3148 — Centro Fone: (0XX67) 3382-3682 / 3382-0112 — Campo Grande MINAS GERAIS Rua Além Paraíba, 449 — Lagoinha Fone: (0XX31) 3429-8300 — Belo Horizonte PARÁ/AMAPÁ Travessa Apinagés, 186 — Batista Campos Fone: (0XX91) 3222-9034 / 3224-9038 / 3241-0499 — Belém PARANÁ/SANTA CATARINA Diretora editorial: Flávia Helena Dante Alves Bravin Rua Conselheiro Laurindo, 2895 — Prado Velho Fone: (0XX41) 3332-4894 — Curitiba Gerente editorial: Marcio Coelho Editoras: Rita de Cássia da Silva PERNAMBUCO/ ALAGOAS/ PARAÍBA/ R. G. DO NORTE Rua Corredor do Bispo, 185 — Boa Vista Juliana Rodrigues de Queiroz Fone: (0XX81) 3421-4246 / 3421-4510 — Recife Produção editorial: Viviane Rodrigues Nepomuceno RIBEIRÃO PRETO/SÃO PAULO Juliana Nogueira Luiz Av. Francisco Junqueira, 1255 — Centro Suporte editorial: Rosana Peroni Fazolari Fone: (0XX16) 3610-5843 / 3610-8284 — Ribeirão Preto Marketing editorial: Nathalia Setrini RIO DE JANEIRO/ESPÍRITO SANTO Aquisições: Gisele Folha Mós Rua Visconde de Santa Isabel, 113 a 119 — Vila Isabel Arte, Produção: Lummi • Editoração • Design Fone: (0XX21) 2577-9494 / 2577-8867 / 2577-9565 — Rio de Janeiro Capa: Weber Amendola RIO GRANDE DO SUL Av. A. J. Renner, 231 — Farrapos Fone/Fax: (0XX51) 3371-4001 / 3371-1467 / 3371-1567 Porto Alegre SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SÃO PAULO (sala dos professores) Av. Brig. Faria Lima, 6363 — Rio Preto Shopping Center — V. São José Fone: (0XX17) 227-3819 / 227-0982 / 227-5249 — São José do Rio Preto SÃO JOSÉ DOS CAMPOS/SÃO PAULO (sala dos professores) Rua Santa Luzia, 106 — Jd. Santa Madalena Fone: (0XX12) 3921-0732 — São José dos Campos Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer SÃO PAULO meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva. Av. Marquês de São Vicente, 1697 — Barra Funda A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei Fone: PABX (0XX11) 3613-3000 / 3611-3308 — São Paulo n. 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Código Penal. P A. M edro orettin Professor Titular do Departamento de Estatística do Instituto de Matemática e Es- tatística da Universidade de São Paulo. Contato com o autor: [email protected] S H AMuel AzzAn Professor Adjunto da Escola de Administração de Empresas de São Paulo da Fun- dação Getulio Vargas e professor Titular da Faculdade de Economia e Administra- ção da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Contato com o autor: [email protected] W o. B ilton uSSAB Professor Adjunto da Escola de Administração de Empresas de São Paulo, da Fun- dação Getulio Vargas. Contato com o autor: [email protected] III Introdução ao cálculo para administração, economia e contabilidade é um texto elaborado a partir do livro Cálculo – Funções de uma e várias variá- veis, dos mesmos autores. Neste novo livro procura-se adequação aos programas e à variação de carga horária existentes nos cursos. Para tal fim, alguns tópicos foram eli- minados e outros foram acrescentados. No Capítulo 1 – Conjuntos numéricos, foi feita uma apresentação resu- mida de teoria dos conjuntos e foram incluídas noções de lógica matemática e resolução de sistemas de equações. No Capítulo 2 – Funções, foi feita uma nova apresentação do conceito de função, a função potência foi apresentada de acordo com as característi- cas de aplicabilidade nas áreas a que se destina; as funções trigonométricas foram suprimidas em virtude de sua ausência em quase todos os programas da área. No Capítulo 3 – Limites e no Capítulo 4 – Derivadas, foram suprimidas as funções trigonométricas e suas inversas. No Capítulo 5 – Aplicações de derivadas, para o estudo de máximos e mínimos foram utilizados programas aplicativos para melhorar a visualiza- ção dos gráficos. No Capítulo 8 – Funções de duas variáveis e no Capítulo 10 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis, utilizou-se programas aplicativos na elaboração de gráficos de funções de duas variáveis bem como na visua- lização de pontos de máximos e mínimos e pontos de sela. Na análise de pontos de fronteira foi destacada a resolução de problemas usando a fórmula da derivada das funções implícitas que é a forma habitual utilizada em ma- nuais de Economia. VI Introdução ao cálculo para admInIstração, economIa e contabIlIdade Houve também mudanças e substituições em enunciados de alguns problemas, seguindo sugestões recebidas de colegas. Agradecemos a todos os professores que nos auxiliaram com críticas e sugestões e em especial ao leitor crítico da Editora Saraiva pelas valiosas sugestões recebidas e que, acreditamos, contribuíram para o aperfeiçoamento da obra. Nossos agradecimentos, também, à equipe da Editora Saraiva pelo apoio e suporte recebidos. Os autores Capítulo 1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Introdução à teoria dos conjuntos .............................. 1 1.2 Noções de lógica e demonstração .............................. 2 1.3 Conjuntos numéricos ........................................ 4 1.4 Equações do primeiro grau ...................................11 1.5 Inequações do primeiro grau ................................. 13 1.6 Equações do segundo grau ....................................15 1.7 Intervalos na reta real ........................................17 1.8 Módulo ou valor absoluto .................................... 20 1.9 Sistemas de equações ....................................... 22 Capítulo 2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 Introdução ............................................... 27 2.2 Estudo de funções ......................................... 27 2.3 Primeiras normas elementares para o estudo de uma função .........35 2.4 Função constante .......................................... 40 2.5 Função do primeiro grau a aplicações .......................... 40 2.6 Função quadrática a aplicações ............................... 62 2.7 Função polinomial ......................................... 71 2.8 Função racional ........................................... 72 2.9 Função potência ........................................... 77 VII 2.10 Função exponencial – Modelo de crescimento exponencial ......... 79 VIII Introdução ao cálculo para admInIstração, economIa e contabIlIdade 2.11 Logaritmos e função logarítmica ........................................84 2.12 Juros compostos .....................................................90 Capítulo 3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.1 Limite de funções ....................................................93 3.2 Formas indeterminadas ...............................................98 3.3 Limites infinitos ....................................................100 3.4 Limites nos extremos do domínio ......................................102 3.5 Continuidade de uma função ..........................................105 3.6 Assíntotas verticais e horizontais ......................................107 3.7 Limite exponencial fundamental .......................................108 Capítulo 4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.1 Introdução ........................................................113 4.2 Conceito de derivada ................................................ 117 4.3 Derivada das principais funções elementares .............................119 4.4 Propriedades operatórias .............................................121 4.5 Função composta – Regra da cadeia ....................................124 4.6 Derivada da função exponencial .......................................125 4.7 Interpretação geométrica da derivada ...................................127 4.8 Diferencial de uma função ............................................128 4.9 Funções marginais ..................................................130 4.10 Derivadas sucessivas ................................................138 4.11 Regras de L’ Hospital ................................................139 Capítulo 5 Aplicações de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1 Introdução ........................................................141 5.2 Crescimento e decrescimento de funções ................................142 5.3 Concavidade e ponto de inflexão .......................................153 5.4 Estudo completo de uma função .......................................156 5.5 Máximos e mínimos usando a segunda derivada ..........................161 Capítulo 6 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.1 Integral indefinida ..................................................171 6.2 Propriedades operatórias .............................................172 sumárIo IX 6.3 Integral definida ....................................................175 6.4 Integrais impróprias .................................................181 6.5 A integral como limite de uma soma ....................................183 6.6 O excedente do consumidor e do produtor ...............................187 6.7 Técnicas de integração ...............................................191 Capítulo 7 Espaço n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.1 Introdução ........................................................195 7.2 O espaço bidimensional ..............................................195 7.3 Relações em R2 .....................................................196 7.4 O espaço tridimensional ..............................................201 7.5 Relações em R3 .....................................................201 7.6 Equação do plano em R3 .............................................202 7.7 O conjunto Rn ......................................................204 7.8 Bola aberta, ponto interior e ponto de fronteira ...........................204 Capítulo 8 Funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.1 Introdução ........................................................207 8.2 Funções de duas variáveis ............................................208 8.3 Gráficos de funções de duas variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4 Curvas de nível .....................................................218 8.5 Limite e continuidade ...............................................221 Capítulo 9 Derivadas para funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.1 Derivadas parciais ..................................................225 9.2 Função derivada parcial ..............................................227 9.3 Significado geométrico das derivadas parciais ............................229 9.4 Diferencial de uma função ............................................234 9.5 Função composta – Regra da cadeia ....................................238 9.6 Funções definidas implicitamente ......................................241 9.7 Funções homogêneas – Teorema de Euler ................................245 9.8 Derivadas parciais de segunda ordem ...................................249 Capítulo 10 Máximos e mínimos para funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . 251 10.1 Introdução ........................................................251
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