Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade

353 Pages·2009·25.6 MB·Portuguese

by  P. A. Morettin

Introdução ao
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Há pouquíssimos livros de introdução ao cálculo no mercado, e se E
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delimitarmos aos mais recentes esse número fica ainda menor. É uma IN
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disciplina carente de livros introdutórios, livros que possam ser usados nos
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cursos de Administração, Contabilidade e Economia, como se propõe esta A
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obra. Pela importância do assunto e pela necessidade de bons livros, a Editora | B para administração, economia e contabilidade
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Saraiva reuniu novamente os autores do já consagrado livro Cálculo – Função S
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de uma e várias variáveis, para lançar este introdutório.
A obra apresenta o cálculo de forma didática, trazendo aspectos
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conceituais e suas aplicações. Os capítulos trazem os principais temas R
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abordados nos programas da disciplina de cálculo nos cursos de graduação U
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de Administração, Economia e Contabilidade, como conjuntos numéricos, A
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funções, limites, derivadas e suas aplicações, integrais, espaço C
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n-dimensional e funções de duas e de três variáveis. O livro possui, ainda, U
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um grande conjunto de exercícios resolvidos para fixação de conteúdo – P
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uma ferramenta importante para alunos e professores. A
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Aplicação A
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Este livro pode ser usado nas disciplinas: O
, E
Matemática, Cálculo e Matemática Aplicada. C
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calculos novo
segunda-feira, 1 de dezembro de 2008 15:28:46
Pedro A. Morettin
Samuel Hazzan
Wilton O. Bussab
Introdução ao
Cálculo para
Administração,
Economia e
Contabilidade
ISBN 978-85-02-06768-4
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Morettin, Pedro Alberto
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Introdução ao cálculo para administração, economia e
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ISBN 978-85-02-06768-4
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1. Cálculo. I. Hazzan, Samuel, 1946-. II. Bussab, Wilton
BAURU/SÃO PAULO de Oliveira, 1940-. III. Título.
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P A. M
edro orettin
Professor Titular do Departamento de Estatística do Instituto de Matemática e Es-
tatística da Universidade de São Paulo.
Contato com o autor:
[email protected]
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AMuel AzzAn
Professor Adjunto da Escola de Administração de Empresas de São Paulo da Fun-
dação Getulio Vargas e professor Titular da Faculdade de Economia e Administra-
ção da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Contato com o autor:
[email protected]
W o. B
ilton uSSAB
Professor Adjunto da Escola de Administração de Empresas de São Paulo, da Fun-
dação Getulio Vargas.
Contato com o autor:
[email protected]
III

Introdução ao cálculo para administração, economia e contabilidade é um
texto elaborado a partir do livro Cálculo – Funções de uma e várias variá-
veis, dos mesmos autores.
Neste novo livro procura-se adequação aos programas e à variação de
carga horária existentes nos cursos. Para tal fim, alguns tópicos foram eli-
minados e outros foram acrescentados.
No Capítulo 1 – Conjuntos numéricos, foi feita uma apresentação resu-
mida de teoria dos conjuntos e foram incluídas noções de lógica matemática
e resolução de sistemas de equações.
No Capítulo 2 – Funções, foi feita uma nova apresentação do conceito
de função, a função potência foi apresentada de acordo com as característi-
cas de aplicabilidade nas áreas a que se destina; as funções trigonométricas
foram suprimidas em virtude de sua ausência em quase todos os programas
da área.
No Capítulo 3 – Limites e no Capítulo 4 – Derivadas, foram suprimidas
as funções trigonométricas e suas inversas.
No Capítulo 5 – Aplicações de derivadas, para o estudo de máximos e
mínimos foram utilizados programas aplicativos para melhorar a visualiza-
ção dos gráficos.
No Capítulo 8 – Funções de duas variáveis e no Capítulo 10 – Máximos
e mínimos para funções de duas variáveis, utilizou-se programas aplicativos
na elaboração de gráficos de funções de duas variáveis bem como na visua-
lização de pontos de máximos e mínimos e pontos de sela. Na análise de
pontos de fronteira foi destacada a resolução de problemas usando a fórmula
da derivada das funções implícitas que é a forma habitual utilizada em ma-

nuais de Economia.
VI Introdução ao cálculo para admInIstração, economIa e contabIlIdade
Houve também mudanças e substituições em enunciados de alguns problemas,
seguindo sugestões recebidas de colegas.
Agradecemos a todos os professores que nos auxiliaram com críticas e sugestões
e em especial ao leitor crítico da Editora Saraiva pelas valiosas sugestões recebidas e
que, acreditamos, contribuíram para o aperfeiçoamento da obra.
Nossos agradecimentos, também, à equipe da Editora Saraiva pelo apoio e suporte
recebidos.
Os autores
Capítulo 1
Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introdução à teoria dos conjuntos .............................. 1
1.2 Noções de lógica e demonstração .............................. 2
1.3 Conjuntos numéricos ........................................ 4
1.4 Equações do primeiro grau ...................................11
1.5 Inequações do primeiro grau ................................. 13
1.6 Equações do segundo grau ....................................15
1.7 Intervalos na reta real ........................................17
1.8 Módulo ou valor absoluto .................................... 20
1.9 Sistemas de equações ....................................... 22
Capítulo 2
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Introdução ............................................... 27
2.2 Estudo de funções ......................................... 27
2.3 Primeiras normas elementares para o estudo de uma função .........35
2.4 Função constante .......................................... 40
2.5 Função do primeiro grau a aplicações .......................... 40
2.6 Função quadrática a aplicações ............................... 62
2.7 Função polinomial ......................................... 71
2.8 Função racional ........................................... 72
2.9 Função potência ........................................... 77
VII
2.10 Função exponencial – Modelo de crescimento exponencial ......... 79
VIII Introdução ao cálculo para admInIstração, economIa e contabIlIdade
2.11 Logaritmos e função logarítmica ........................................84
2.12 Juros compostos .....................................................90
Capítulo 3
Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1 Limite de funções ....................................................93
3.2 Formas indeterminadas ...............................................98
3.3 Limites infinitos ....................................................100
3.4 Limites nos extremos do domínio ......................................102
3.5 Continuidade de uma função ..........................................105
3.6 Assíntotas verticais e horizontais ......................................107
3.7 Limite exponencial fundamental .......................................108
Capítulo 4
Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1 Introdução ........................................................113
4.2 Conceito de derivada ................................................ 117
4.3 Derivada das principais funções elementares .............................119
4.4 Propriedades operatórias .............................................121
4.5 Função composta – Regra da cadeia ....................................124
4.6 Derivada da função exponencial .......................................125
4.7 Interpretação geométrica da derivada ...................................127
4.8 Diferencial de uma função ............................................128
4.9 Funções marginais ..................................................130
4.10 Derivadas sucessivas ................................................138
4.11 Regras de L’ Hospital ................................................139
Capítulo 5
Aplicações de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1 Introdução ........................................................141
5.2 Crescimento e decrescimento de funções ................................142
5.3 Concavidade e ponto de inflexão .......................................153
5.4 Estudo completo de uma função .......................................156
5.5 Máximos e mínimos usando a segunda derivada ..........................161
Capítulo 6
Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1 Integral indefinida ..................................................171
6.2 Propriedades operatórias .............................................172
sumárIo IX
6.3 Integral definida ....................................................175
6.4 Integrais impróprias .................................................181
6.5 A integral como limite de uma soma ....................................183
6.6 O excedente do consumidor e do produtor ...............................187
6.7 Técnicas de integração ...............................................191
Capítulo 7
Espaço n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1 Introdução ........................................................195
7.2 O espaço bidimensional ..............................................195
7.3 Relações em R2 .....................................................196
7.4 O espaço tridimensional ..............................................201
7.5 Relações em R3 .....................................................201
7.6 Equação do plano em R3 .............................................202
7.7 O conjunto Rn ......................................................204
7.8 Bola aberta, ponto interior e ponto de fronteira ...........................204
Capítulo 8
Funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.1 Introdução ........................................................207
8.2 Funções de duas variáveis ............................................208
8.3 Gráficos de funções de duas variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4 Curvas de nível .....................................................218
8.5 Limite e continuidade ...............................................221
Capítulo 9
Derivadas para funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.1 Derivadas parciais ..................................................225
9.2 Função derivada parcial ..............................................227
9.3 Significado geométrico das derivadas parciais ............................229
9.4 Diferencial de uma função ............................................234
9.5 Função composta – Regra da cadeia ....................................238
9.6 Funções definidas implicitamente ......................................241
9.7 Funções homogêneas – Teorema de Euler ................................245
9.8 Derivadas parciais de segunda ordem ...................................249
Capítulo 10
Máximos e mínimos para funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . 251
10.1 Introdução ........................................................251