Marcos Jardim & Henrique N. Sá Earp Notas de Aula: Introdução a Teoria de Calibre CAMPINAS 2014 i ii Resumo Estas notas foram digitadas pelos os alunos da disciplina Tópicos de Geometria I: Introdução a teoria de Calibre, ministrado no segundo semestre de 2014, na Universidade Estadual de Campinas pelos professores Dr. Marcos Jardim e Dr. Henrique de Sá Earp. Palavras-chave: Fibrado, Conexão, espaço de Modulos, Transformação de Calibre. iii iv Sumário 1 Revisão de Variedades Suaves e Grupos de Lie 1 1.1 Variedades Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Funções Suaves e Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 Fibrados Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.6 Álgebra Exterior em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.7 Orientabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.8 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.9 Estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 Variedades complexas e Kähler 69 2.1 Preliminares: Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 Variedades Quase Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3 Funções Holomorfas em C𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.4 Variedades Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6 Estruturas Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3 Fibrados Vetoriais Reais e Complexos 91 3.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 Funções de Transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 Seções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4 Conexões e Curvatura 101 4.1 Conexões em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.1 Conexões em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2 Conjunto das conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1 Transformação de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.2 Conjunto das conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.3 Conexões em somas diretas e em produtos tensoriais . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.1 Curvatura em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 v 4.3.2 Curvatura em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Conexão no fibrado de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5 Integrabilidade de Estruturas Holomorfas 111 5.1 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.1 Fibrados Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 Condição de Autodualidade e Anti-Autodualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6 Classes características e teoria de Chern Weil 119 6.1 Funções Ad-Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.2 Classes Características para fibrados vetoriais complexos . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.3 Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.4 Obstrução pela existência de conexões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.5 Exemplos de Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.5.1 Conexões via Projeções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7 Teorema de Gauss Bonnet em superfície 131 7.1 Estrutura Quase-Complexa em Fibrados Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.2 Generalizações do Teorema Gauss Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.3 Exemplos sobre fibrados complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8 Eletromagnetismo em variedades 137 8.1 Revisitando o operador estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2 Reescrevendo as equações de Maxwell em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.2.1 O par homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.2.2 O par não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3 O eletromagnetismo como uma 𝑈(1) teoria de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.4 O efeito Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4.2 Solenóide de Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.4.3 Sobreposição de funções de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9 Equação de Yang-Mills e Autodualidade 151 9.1 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.1.1 Funcional de Yang-Mills (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.1.2 Cotas topologicas de energia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.1.3 Redução 𝑈(𝑛) (cid:32) 𝑆𝑈(𝑛) (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.1.4 Teoria de Hodge (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.1.5 Teorema de decomposição de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1.6 Norma do representante harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.2 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.2.1 Exemplos de instantos AAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 vi 10 O espaço das Conexões 159 10.1 O grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.2 Variedades de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.3 A ação do grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11 Modelo local do espaço de moduli de instantons 167 11.1 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2 Fibrados e transformações de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.3 Modelo local do espaço de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.4 O espaço de módulos de instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.5 Modelo local do espaço de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12 Teorema de Narasimhan Seshadri e Teoria de Deformação 173 12.1 Teorema de Narasimhan Seshandri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.2 Operadores Elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.2.1 Teoria de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 12.2.2 Operadores Elípticos em fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 12.3 Teorema do Índice de Atiyah-Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.4 Cobordismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 12.5 Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Referências 182 Índice Remissivo 183 vii viii Capítulo 1 Revisão de Variedades Suaves e Grupos de Lie 1.1 Variedades Suaves O objetivo desta seção é discutir o conceito de suavidade. A noção de suavidade de uma varie- dade tem como ancestral o conceito de regularidade de curvas e superfícies no espaço Euclideano, que, a grosso modo, são as curvas e superfícies nas quais se consegue definir naturalmente um plano tangente em cada ponto. Definição 1.1.1. Um espaço topológico é um par (𝑋,𝜏) formado por um conjunto 𝑋 (cujos elementos são chamados de pontos) e uma coleção 𝜏 (chamada de topologia de 𝑋) de subconjuntos de 𝑋 (chamados de abertos de 𝑋) tais que (i) ∅ e 𝑋 são abertos de 𝑋; (ii) Se {𝑈 } ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∪ 𝑈 é um aberto; 𝜆 𝜆∈Λ 𝜆∈Λ 𝜆 (iii) Se {𝑈 } ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∩𝑘 𝑈 é um aberto. 𝑛 1(cid:54)𝑛(cid:54)𝑘 𝑛=1 𝑛 Se 𝐹 ⊂ 𝑋 e 𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏, dizemos que 𝐹 é um fechado de 𝑋. Por conveniência, quando a topologia de (𝑋,𝜏) estiver clara no contexto, nos referiremos a 𝑋 como um espaço topológico e omitiremos a topologia 𝜏. Exemplo 1.1.2. (a) O conjunto R dos números reais possui uma topologia canônica na qual os abertos são ∅, R e as uniões de intervalos abertos (i.e. uniões de conjuntos da forma (𝑎,𝑏) := {𝑥 ∈ R:𝑎 < 𝑥 < 𝑏}). (b) Se (𝑋 ,𝜏 ), 𝑖 = 1, 2,..., 𝑛, são espaços topológicos então 𝑋 = 𝑋 × 𝑋 × ...𝑋 possui 𝑖 𝑖 1 2 𝑛 uma estrutura de espaço topológico na qual os abertos são as uniões de conjuntos da forma 𝑈 ×𝑈 ×...×𝑈 , onde 𝑈 ∈ 𝜏 . Esta estrutura de espaço topológico é chamada de topologia 1 2 𝑛 𝑖 𝑖 produto. Em particular, a topologia produto de R𝑛 = R×...×R é conhecida como topologia canônica de R𝑛. A menos que seja mencionado o contrário, os espaços 𝑅𝑛, conhecidos como espaços Euclideanos, serão sempre considerados como munido de sua topologia canônica. 1 (c) Dados espaços topológicos (𝑋 ,𝜏 ), 𝑖 ∈ 𝐼, a união disjunta 𝑋 = ⊔ 𝑋 possui uma estrutura 𝑖 𝑖 𝑖∈𝐼 𝑖 de espaço topológico no qual os abertos são os conjuntos da forma ∪ 𝑈 , onde 𝑈 ∈ 𝜏 . 𝑖∈𝐼 𝑖 𝑖 𝑖 Dizemos que esta é a topologia união de 𝑋. (d) Se (𝑋,𝜏) é um espaço topológico e 𝑌 ⊂ 𝑋 então a coleção 𝜏| := {𝑌 ∩𝑈:𝑈 ∈ 𝜏} 𝑌 é tal que (𝑌,𝜏| ) é um espaço topológico. Neste caso, dizemos que (𝑌,𝜏| ) é um subespaço 𝑌 𝑌 de (𝑋,𝜏). (e) Sejam (𝑋,𝜏) um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalência em 𝑋. O mapa 𝜋:𝑋 → 𝑋/∼, entre 𝑋 e o conjunto das classes de equivalência 𝑋/∼ de 𝑋 pela relação ∼, que manda cada ponto em sua classe de equivalência, é chamado de mapa quociente. A coleção 𝜏/∼:= {𝑉 ⊂ 𝑋/∼:𝜋−1(𝑉) ∈ 𝜏} é tal que (𝑋/∼,𝜏/∼) é um espaço topológico. Dizemos que 𝜏/∼ é a topologia quociente de 𝑋/∼. Umespaçotopológico(𝑋,𝜏)tambémpodeserdescritopelafamíliadeseussubespaçosfechados 𝜌. De fato, o par (𝑋,𝜏) é um espaço topológico se e somente se o conjunto 𝜌 := {𝐹 ⊂ 𝑋:𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏} satisfaz as condições: (i) ∅ e 𝑋 ∈ 𝜌; (ii) Se {𝐹 } ⊂ 𝜌 então ∪𝑘 𝐹 ∈ 𝜌; 𝑛 1(cid:54)𝑛(cid:54)𝑘 𝑛=1 𝑛 (iii) Se {𝐹 } ⊂ 𝜌 então ∩ 𝐹 ∈ 𝜌. 𝜆 𝜆∈Λ 𝜆∈Λ 𝜆 Definição 1.1.3. Se (𝑋,𝜏) é um espaço topológico e 𝑆 ⊂ 𝑋, denotamos por 𝑆 o subespaço fechado de 𝑋 que é dado pela interseção de todos os subespaços fechados de 𝑋 que contém 𝑆. Os espaços Euclideanos, são os exemplos de espaços topológicos mais importantes desta se- ção, pois, em certo sentido, são as variedades mais simples de variedade possíveis. Em especial, queremos que todas as variedades possuam algumas propriedades em comum com os espaços Eu- clideanos. Uma delas é a noção de distância entre pontos como veremos na próxima definição. Definição 1.1.4. Seja 𝑋 um conjunto com uma função d:𝑋 ×𝑋 → R satisfazendo, para cada 𝑥, 𝑦 e 𝑧 em 𝑋: (i) d(𝑥,𝑦) = 0 se e somente se 𝑥 = 𝑦; (ii) d(𝑥,𝑦) = d(𝑦,𝑥); (iii) d(𝑥,𝑦) (cid:54) d(𝑥,𝑧)+d(𝑧,𝑥). 2