Cezar A. Mortari. Introdução à lógica. 2a ed. ¯ São Paulo: Editora Unesp, 2017. Respostas dos exercícios do capítulo 2 Exercício2.1Analiseosargumentosabaixoedigase,deacordocomanoçãoinformaldevalidade apresentadaatéagora,elessãoválidosounão.Vocêclassificariaalgumdelescomodedutivo?Como indutivo?Nenhumadasduascoisas? Nota: Dizer se um argumento inválido é indutivo, dedutivo, ou nem uma coisa nem outra, nem sempre é fácil e depende de que convicções tenhamos sobre o que é ‘dedução’. Para muitos auto- res, dedutivo e válido são a mesma coisa. Para outros, não. Um argumento poderia ser denominado ‘dedutivo’ se lembra algum argumento válido, se aparentemente pretende-se que a conclusão seja consequêncialógicadaspremissas.Poroutrolado,seumargumentoforinválidoenãodedutivo,em qualquersentido,nemsemprepodemosdizerqueéumargumentoindutivo—aspremissaspodem não dar nenhuma indicação de quão provável, por exemplo, seja a conclusão. Assim, as respostas a algunsdosexercíciosabaixopodemserbastantediscutíveis.Pensearespeito. (a) R: Válido. Note que, se é verdade que nenhum dinossauro é um gato, é também verdade que nenhumgatoéumdinossauro.ComoMiaueFifisãogatos,segue-sequenãosãodinossauros. Ecomooargumentoéválido,éautomaticamentededutivo. (b) R: Inválido. ‘Praticamente todos’, claro, não é a mesma coisa que ‘todos’. Mas parece ser um bomargumentoindutivo. (c) R: Válido. Evidentemente, estamos entendendo que ‘ter asas’ e ‘alado’ são sinônimos. Daí, se alguns peixes têm asas, e todas as coisas que têm asas tem pelo menos quatro asas, segue-se queháalgunspeixesquetêmquatroasas. (d) R: Válido/dedutivo. Uma das premissas diz que comer pizza de quatro queijos é bom. (OK, gosto é discutível, mas suponhamos que seja verdade.) Pela primeira premissa, comer pizza de quatro queijos é imoral, ilegal, ou engorda. Como isso não é nem imoral nem ilegal, o que resta?Quecomerpizzadequatroqueijos,infelizmente,engorda. (e) R: Inválido. Ainda que os remédios X e Y sejam muito parecidos, não são idênticos, o que não garante que curem exatamente as mesmas doenças. Mas é um argumento indutivo (por analogia). Já que os remédios são bem parecidos, parece haver uma boa probabilidade da conclusãoserverdadeira. (f) R: Inválido. ‘Frequentemente’ não é a mesma coisa que ‘sempre’. Podemos dizer que é um argumento indutivo. ‘Frequentemente’ indica que há uma probabilidade razoável de que a conclusãoserverdadeira—semdargarantias,evidentemente. (g) R:Válido/dedutivo.ComoalgunsmarcianospassamasfériasemSaturno,etodososmarcianos são cor-de-rosa, esses marcianos são indivíduos que passam as férias em Saturno e são cor- de-rosa. (Observação: quando falamos de ‘indivíduos’, não estamos falando apenas de seres humanos,esimdequalquerentidadequepossaserindividualizada,distinguidadeoutras.) 1 (h) R:Inválido.Imaginequehajadoismilhõesdepapagaiosapenas,quemetadedelessejaverde e tenha uma asa só, e que a outra metade sejam papagaios vermelhos com duas asas. Assim, há um milhão de papagaios verdes (e são então muitos) e um milhão de papagaios com duas asas (que também são muitos). Mas não haveria nenhum papagaio verde com duas asas ... Assim,aspremissaspodemserverdadeiraseaconclusãofalsa.Argumentoinválido,portanto. Comparecomoexemploaseguir.Masédifícilclassificá-locomoindutivotambém. (i) R: Válido/dedutivo. ‘A maioria’ significa ‘mais do que a metade’. Como a maioria (dos papa- gaios) é verde, segundo as premissas, e a maioria tem duas asas, tem que haver pelo menos umpapagaioverdecomduasasas. (j) R: Válido/dedutivo. Pitangueiras são plantas, e nenhuma planta (o que inclui então pitan- gueiras)sobrevivesemluzsolar.Daíaconclusãodequepintangueirasnãosobrevivemsemluz solar. (k) R:Inválido.Talveznãotãoobviamente,masnotequedofatodaconclusãoserverdadeiranão podemosconcluirqueoargumentoéválido.Substitua,noargumento,apalavra‘humanos’por ‘laranjeiras’evocêteráumargumento,obviamenteinválido,comamesmaforma.Tambémnão éumargumentoindutivo. (l) R: Depende... A questão está em como interpretar a primeira premissa, ‘as aves voam’. Se queremos dizer com isso que ‘todas as aves voam’, então o argumento é válido. Se a premissa apenas significa, contudo, que ‘as aves em geral voam’, ou ‘aves típicas voam’, então isso não querdizer‘todas’,dandoespaçoàpossibilidadedequeTweetysejaumaavequenãovoa.Mas seagrandemaioriadasavesvoa,temosumbomargumentoindutivo. (m) R: Depende... Estamos falando de todos os tubarões e sardinhas? Se estamos, nesse caso, o argumento é válido. Caso contrário, se estamos dizendo apenas que há alguns tubarões e sardinhasquevivemnafloresta,nãoéválido.Nemmesmoindutivo. (n) R: Inválido.Aindaquevivamnaflorestasomentetubarõesesardinhas,enadamais,issonão quer dizer que todos os tubarões e sardinhas vivam na floresta. Por exemplo, se afirmamos que ‘somente astronautas norte-americanos pisaram na Lua’, isso não quer dizer que todos os astronautas norte-americanos tenham pisado na Lua (a maioria nem foi lá). Também não é indutivo. (o) R: Inválido. Do fato que muita gente, ou até mesmo todos, acreditem na existência de algo, nãoseseguequetalcoisaexista. (p) R:Válido/dedutivo.Umapremissadizque,seMarianãofoiaSalvador,entãofoiaJoãoPessoa ouNatal. Maselanão foia JoãoPessoa.Assim, setambémnão foiaNatal, entãodeveter ido aSalvador,certo?Éoquedizaconclusãodoargumento. (q) R:Inválido.Obviamente.Aindaquefosseverdadequetodososgaúchosgostemdechurrasco, isso não exclui a existência de mais pessoas, além de gaúchos, que também gostem de chur- rasco,eJoãobempodeserumadelas. 2 Cezar A. Mortari. Introdução à lógica. 2a ed. ¯ São Paulo: Editora Unesp, 2017. Respostas dos exercícios do capítulo 3 Exercício 3.1 (a) ‘Onomedarosa’éotítulodeumaobradeUmbertoEco. R:Verdadeira. (b) Stanfordtemoitoletras. R:Falsa.Stanfordéumacidade,nãoumapalavra.Masapalavra‘Stanford’,essasim,temoito letras. (c) ‘3+1’éiguala‘4’. R:Falsa.Asexpressões‘3+1’e‘4’nãosãoasmesmas!Umatemtrêssímbolos,aoutraapenas um.Oqueéverdadeéque3+1=4,masissojáéoutracoisa. (d) ‘PedroÁlvaresCabral’descobriuoBrasil. R:Falsa.SealguémdescobriuoBrasil,certamentenãoterásidoonomedeCabral... (e) ‘Logik’nãoéumapalavradoportuguês. R:Verdadeira.‘Logik’éumapalavraalemã,etemomesmosignificadoque‘lógica’emportu- guês. (f) “Logik”nãopodeserusadacomosujeitodeumasentençadoportuguês. R:Verdadeira.Éjustamenteoqueacontecenasentençaacima!Notequenãoestamosfalando da palavra alemã ‘Logik’ (que começa com ‘L’), mas da expressão “Logik”, que começa com aspassimples. (g) “Pedro”nãoéonomedeSócrates,maséonomede‘Pedro’. R:Verdadeira. (h) HáumlivrodeJamesJoycecujonomeéUlisses. R:Falsa.UlisseséumapersonagemdeHomero,nãootítulodeumlivro. Exercício 3.2 (a) ‘Rosa’éumexemplodeumapalavradissílaba. (b) NapoleãofoiimperadordaFrança. (c) ‘Sócrates’éonomedeumfilósofogrego. (d) Apalavra‘water’temomesmosignificadoqueapalavraportuguesa‘água’. (e) Aexpressão“Rosa”éonomedapalavra‘Rosa’,que,porsuavez,éonomedeRosa. (f) Asentença‘nenhumgatoépreto’éfalsa. (g) Onumeral‘8’designaasomade4mais4. (h) 2+2éiguala3+1,mas‘3+1’édiferentede‘4’. (i) ‘Todavia’ e ‘contudo’, mas não ‘também’, têm o mesmo significado que ‘mas’, contudo, ‘não’, não. Cezar A. Mortari. Introdução à lógica. 2a ed. ¯ São Paulo: Editora Unesp, 2017. Respostas dos exercícios do capítulo 4 Exercício 4.1 (a) b∈A (b) k∈/ B (c) {a,b,c} (d) b∈{a,b,c} (e) {b}∈{a,c,{b}} (f) {x | x éumfilósofobrasileiro} (g) {x | x éumnúmeropare x >6e x <20},ouentão {x | x éumnúmeropartalque6< x <20} (h) Platão∈/ {x | x éumfilósofoemoranoCantodaLagoa} Exercício 4.2 Claro. Enquanto (cid:59) é o conjunto vazio (portanto, sem elemento algum), {(cid:59)} é um conjunto unitário, cujo único elemento é (cid:59). Do mesmo modo, {0,1} é um conjunto que tem dois elementos, 0 e 1, ao passoque{{0,1}}éumconjuntounitário—seuúnicoelementoéoconjunto{0,1}. Exercício 4.3 (b) A⊆A UmavezquetodoelementodeAéumelementodeA,segue-seimediatamentedadefiniçãoda relação⊆queA⊆A. (d) seA⊆B e B⊆AentãoA=B Suponhamos que A⊆ B e B ⊆A. Por definição, temos que todo elemento de Aé um elemento de B e, por outro lado, que todo elemento de B é um elemento de A. Em outras palavras, não existeumelementodeAquenãoestejaemB,eumdeBquenãoestejaemA.Assim,AeBtêm osmesmoselementose,pordefinição,A=B. (e) seA⊂B entãoA(cid:54)=B SuponhamosqueA⊂B.Peladefinição,temosqueA⊆B eA(cid:54)=B.Portanto,A(cid:54)=B. Exercício 4.4 (a) A⊆B (b) A⊂B (c) D∪S (d) c∈A∩B (e) a∈B (f) a∈/ M ∪N 1 Exercício 4.5 (a) VERDADEIRA. c éumdoselementosdoconjunto{a,c,e}. (b) VERDADEIRA. e nãoestéentreoselementosdoconjunto{a,b,c}. (c) FALSA.Arelaçãodeinclusão⊂éarelaçãodeinclusãoprópria.{0,1,2}éumsubconjuntodesi mesmo,comotodoconjunto,masnãoumsubconjuntopróprio.Comparecomoitemaseguir. (d) VERDADEIRA. Nesse caso temos a relação usual de inclusão ⊆, e todo conjunto é subconjunto desimesmo. (e) VERDADEIRA.Todososelementosde{a,b}estãoentreoselementosde{a,b,c}. (f) FALSA.Oselementosdoconjunto{b,{a}}sãodois: beoconjunto{a}.Eanãoénenhumdeles. (g) VERDADEIRA.{a}éumdosdoiselementosdoconjunto{b,{a}}. (h) FALSA. Os elementos do conjunto {c,{b},a} são três: c, o conjunto {b}, e a. E o conjunto {a} nãoénenhumdeles. (i) VERDADEIRA.Auniãode{a,b}e{d,c,e}éoconjunto{a,b,d,c,e},doqual c éumelemento. (j) VERDADEIRA.Oconjuntovazio(cid:59)ésubconjuntodequalquerconjunto. (k) FALSA.Noteque0e1,elementosde{0,1,2},nãopertencemaoconjunto{3,2,5,4,6}. (l) VERDADEIRA. A intersecção de {1,b,c} e {4,d,1,f,b} é justamento o conjunto {1,b}, que é subconjuntodesimesmo. Exercício 4.6 (a) A×B = {x,y,z}×{2,4} = {〈x,2〉,〈x,4〉,〈y,2〉,〈y,4〉,〈z,2〉,〈z,4〉} (b) B×C = {2,4}×{π} = {〈2,π〉,〈4,π〉} (c) B×A = {2,4}×{x,y,z} = {〈2,x〉,〈2,y〉,〈2,z〉,〈4,x〉,〈4,y〉,〈4,z〉} (d) D×F ×B = {a,b}×{4}×{2,4} = {〈a,4,2〉,〈a,4,4〉,〈b,4,2〉,〈b,4,4〉} (e) C×F ×A = {π}×{4}×{x,y,z} = {〈π,4,x〉,〈π,4,y〉,〈π,4,z〉} (f) E−B = {1,4,8}−{2,4} = {1,8} (g) D×(B−E) = {a,b}×({2,4}−{1,4,8}) = {a,b}×{2} = {〈a,2〉,〈b,2〉} (h) (B∩E)×F = ({2,4}∩{1,4,8})×{4} = {4}×{4} = {〈4,4〉} (i) (E∪F)×D = ({1,4,8}∪{4})×{a,b} = {1,4,8}×{a,b} = {〈1,a〉,〈1,b〉,〈4,a〉,〈4,b〉,〈8,a〉,〈8,b〉} 2 (j) (C∪F)×(A−{x}) = ({π}∪{4})×({x,y,z}−{x}) = {π,4}×{y,z} = {〈π,y〉,〈π,z〉,〈4,y〉,〈4,z〉} (k) (cid:80)(A) = (cid:80)({x,y,z}) = (cid:8)(cid:59),{x},{y},{z},{x,y},{y,z},{x,z},{x,y,z}(cid:9) (l) (cid:80)(B) = (cid:80)({2,4}) = (cid:8)(cid:59),{2},{4},{2,4}(cid:9) Exercício 4.7Assoluçõesabaixosãoapenasumexemplo;outrastambémsãopossíveis (a) domínio:{x | x écatarinense} imagem:{x | x éummunicípiodeSantaCatarina} (b) domínio:{x | x éumhomemcasado} imagem:{x | x éumamulhercasada} (c) domínio:{x | x éumamulhercasada} imagem:{x | x éumhomemcasado} (d) domínio:{x | x éumserhumanonascidonoséculoXX} imagem:{x | x éumnúmeronaturalmaiorque1900emenorque2001} (e) domínio:{x | x éumserhumano} imagem:{x | x éumhomemqueteveaomenosumfilhooufilha} (f) domínio:{x | x éumserhumano} imagem:{x | x éumnúmeronaturaltalque,aomenosparaalgumserhumano y, x éaidade de y} (g) domínio:{x | x éumcírculo} imagem:{x | x éumnúmerorealpositivo} (h) domínio:{x | x éumestadobrasileiro} imagem:{x | x éumacapitaldealgumestadobrasileiro} (i) domínio:{x | x éumserhumanoqueteveaomenosumfilhooufilha} imagem:{x | x éumserhumanodosexomasculinoqueéprimogênito} (j) domínio:{4,9,16} imagem:{2,3,4} 3 Cezar A. Mortari. Introdução à lógica. 2a ed. ¯ São Paulo: Editora Unesp, 2017. Respostas dos exercícios do capítulo 5 Exercício5.1 (a) C (b) ¬C (c) C ∨ F (d) C ∧ S (e) S ∧ ¬C (f) ¬C ∧ ¬F (g) ¬C → F (h) ¬S → F (i) C → ¬F (j) C ↔ ¬F (k) ¬M (l) C (m) M ∨T (n) ¬¬M (o) M ∧ ¬C (p) C ↔ ¬M (q) ¬C → M (r) ¬T ∧ ¬C Exercício5.2 (a) S ∧ ¬C (b) S ↔ ¬F (c) ¬C ∧ ¬F (d) ¬(C ∧ F) (e) ¬(C ∨ F) (f) ¬C ∨ ¬F (g) (F ∧ S) → F (h) ¬C → ¬(F ∧ S) (i) C ∨ (F ∧ ¬S) (j) (C ∧ S) ∨ (F ∧ S) (k) (¬F ∧ ¬C) ∧ S 1 Exercício5.3 (a) M ∧ ¬¬C (b) C ↔ ¬M (c) ¬C → ¬M (d) ¬T ∧ ¬C (e) M → (C ∨T) (f) ¬M → ¬(C ∧T) (g) ¬(C ∨ ¬C) (h) M → (T ∨ ¬T) (i) (M ∧C) ∨ (¬M ∧ ¬C) (j) C → ¬¬T (k) (M ∧C) → (C ∧ M) (l) ¬(M ∧C) → (¬M ∨ ¬C) (m) T ∨ (¬T ∧C) (n) (¬T ∧ ¬C) ↔ ¬(M ∧ ¬M) Exercício5.4 (a) Aristótelesnãoéumfilósofo (b) AristótelesePlatãosãofilósofos. (c) Aristóteleséumfilósofo,masSócratesnãoé. (d) SócrateséumfilósofoegostadePlatão. (e) PlatãonãogostadeSócratesedetestaAristóteles. (f) OuSócratesnãogostadePlatão,ouPlatãonãogostadeSócrates. (g) SeAristótelesnãoéumfilósofo,entãoPlatãonãoodetesta. (h) PlatãogostadeSócratesseesomentesedetestaAristóteles. (i) SePlatãodetestaAristóteles,entãoouAristótelesouPlatãoéumfilósofo. (j) SeSócratesePlatãosãofilósofos,entãoSócratesgostadePlatãoePlatãogostadeSócrates. 2 Cezar A. Mortari. Introdução à lógica. 2a ed. ¯ São Paulo: Editora Unesp, 2017. Respostas dos exercícios do capítulo 6 Exercício 6.1Nãoconsigoimaginarumasituaçãoemqueaspremissassejamverdadeiraseacon- clusãofalsa. Oargumentoéoseguinte: P1 OuNetunonãoéumplanetajoviano,outemanéis. P2 Netunoéumplanetajoviano. C Netunotemanéis. Tentemos imaginar uma situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Nessa situação, é falso que Netuno tem anéis. Agora, se a premisa 2 é verdadeira (que Netuno é um planeta joviano — um gigante gasoso como Júpiter), será falso nessa situação que Netuno não é um planeta joviano. Contudo, a primeira premissa diz que ou Netuno não é um planeta joviano ouNetunotemanéis.Comotanto‘Netunonãoéumplanetajoviano’quanto‘Netunotemanéis’são falsas,essapremissaseriafalsa—contrariandonossahipótesedequeelaeraverdadeira.Assim,não há como ter uma situação em que as premissas desse argumento sejam verdadeiras e a conclusão falsa.Éoquechamamosdeumargumentoválido. Exercício 6.2 α β α(cid:207)β V V F F V V V F V F F F Exercício 6.3‘Nemαnemβ’éverdadeiraseesomenteseαeβ foremambasfalsas.Atabelapara ↓é: α β α↓β V V F F V F V F F F F V Exercício 6.4(a)F (b)V (c)F (d)V (e)V (f)V (g)F (h)V 1 Exercício 6.5 (a) ¬A→B Essafórmulaéfalsaemumavaloração v talque: v(A)=F, v(B)=F. Emqualqueroutravaloraçãoafórmulaéverdadeira;porexemplo: v(A)=V, v(B)=F. (b) A∧¬¬C Essafórmulasóéverdadeiraemumavaloração v talque: v(A)=V, v(C)=V. Emqualqueroutravaloraçãoafórmulaéverdadeira;porexemplo: v(A)=F, v(C)=F. (c) (C →B)↔¬A Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=F, v(B)=V, v(C)=V. Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=V, v(B)=V, v(C)=F. (d) ¬B→(¬A∨C) Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=F, v(B)=V, v(C)=F. Essafórmulasóéfalsaemumavaloração v talque: v(A)=V, v(B)=F, v(C)=F. (e) ¬B∧¬(C ∨A) Essafórmulasóéverdadeiraemumavaloração v talque: v(A)=F, v(B)=F, v(C)=F. Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=V, v(B)=V, v(C)=F. (f) (B→A)→¬(C ↔B) Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=F, v(B)=V, v(C)=F. Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=V, v(B)=V, v(C)=V. (g) ¬A→¬(B↔C) Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=V, v(B)=V, v(C)=F. Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque: v(A)=F, v(B)=V, v(C)=V. (h) (A∧B)∨(¬A∧¬B) Essa fórmula só é verdadeira em uma valoração v na qual Ae B tenham o mesmo valor, por 2
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