Introdução à Análise Real

246 Pages·2011·1.67 MB·Portuguese

Introdução à Análise Real
Francisco Júlio Sobreira de Araújo Corrêa
2
Prólogo
As ideias básicas contidas nos cursos de Cálculo, tais como Derivada
e Integral, têm suas gêneses em conceitos e problemas geométricos que a
Matemática Grega colocava entre as suas principais preocupações. Dentre
esses destacam-se o traçado de retas tangentes e a quadratura de figuras.
Muito embora essas construções geométricas estejam relacionadas com
ideias aparentemente simples, o seu entendimento perfeito somente se
tornou possível com o advento do Cálculo Diferencial e Integral cuja
criação remonta ao século XVII associada às pessoas de Fermat, Newton,
Leibniz, entre outros, que começaram a associar tais noções geométricas
às de derivada e integral que, por sua vez, estão associadas ao conceito
de limite. A ausência desse último foi exatamente o que impediu que os
matemáticosgregosseantecipassemaosdoséculosXVIIesubsequentesna
criação do Cálculo. A Quadratura da Parábola, efetuada por Arquimedes,
é um exemplo típico de quanto os matemáticos da Grécia Antiga se
aproximaram da criação do Cálculo. Muito embora os criadores do
Cálculo tenham preenchido certas lacunas deixadas pelos gregos, havia
ainda muitas deficiências no que se refere ao formalismo e o rigor. Os
conceitos estavam repletos de motivações geométricas e físicas, o que
não é uma coisa ruim, mas o rigor que se impunha na Matemática,
principalmente a partir do século XVIII, exigia que os conceitos do
Cálculo, baseados em interpretações geométricas, fossem devidamente
aritmetizados. Isso foi feito por vários matemáticos entre os quais se
destacam Cauchy, Riemann, Bolzano, Weierstrass, entre outros, que
colocaram em bases firmes e rigorosas os conceitos de limite, continuidade
etc. Até mesmo o corpo dos números reais teve que ser construído de
maneira formal para justificar passagens cruciais de certas demonstrações
que, no Cálculo, eram consideradas intuitivamente óbvias. Na verdade,
mantidas as devidas proporções, o início do Cálculo, com suas motivações
e interpretações geométricas, assemelhava-se aquilo que desenvolvemos no
Cálculo Diferencial e Integral, ao passo que a Análise Matemática, que ora
iniciamos, está próxima daquilo que os matemáticos dos séculos XVIII e
XIX fizeram com o Cálculo (veja Ávila1).
1Geraldo Ávila, O Ensino do Cálculo e da Análise, Matemática Universitária, N.
33, Dezembro (2002), 83-95.
1
2 Análise-prólogo UFPA
Deve-seressaltarqueadivisãoCálculo /Análiseseimpõeporquestões
históricas como também por motivações pedagógicas e psicológicas. Faz-
se necessário considerar o amadurecimento progressivo do(a) estudante
que apreende os conceitos do Cálculo de maneira intuitiva para, em um
estágioposterior,retornaraosmesmosconceitos,dessavezvestidosarigor.
Será esse o objetivo desse curso. Começaremos introduzindo o Corpo dos
Reais, via Postulado de Dedekind, para, a seguir, elaborar formalmente
os conceitos de limite, continuidade, diferenciabilidade e integração. Dito
isso, comecemos a apreciar o Cálculo Diferencial e Integral em traje de
gala.
Agradecimento. Gostariadeexternaromeuprofundoagradecimentoao
Prof. Daniel Cordeiro de Morais Filho, do Departamento de Matemática e
Estatística da Universidade Federal de Campina Grande, e à Profa Joelma
Morbach, da Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará,
por suas valiosas sugestões que contribuíram para a melhoria deste livro.
Além disso, e como não poderia deixar de ser, agradeço à Graça, ao Junior
e Hilda Maria por tudo de bom que me deram.
Finalmente, agradeço, antecipadamente, a todos aqueles que venham
a contribuir com sugestões para a melhoria deste texto. Sugestões
podem ser enviadas aos endereços eletrônicos [email protected] ou
[email protected]
Sumário
1 Corpos Ordenados e o Postulado de Dedekind
7
1 Corpos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Supremo e Ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Postulado de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Princípio da Indução Finita . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5 Apêndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
A Análise e a Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
6 Apêndice II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Conjuntos Enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2 Sequências de Números Reais
33
1 Noções Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2 Limites de Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Propriedades Algébricas de Limites de Sequências . . . . .
39
3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4 Apêndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Continuidade e Números Irracionais . . . . . . . . . . . . .
49
5 Apêndice II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
O Número e Revisitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3 Teorema de Bolzano-Weierstrass e Sequências de Cauchy
53
1 Algumas Sequências Especiais . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2 Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .
57
3
4 Análise-prólogo UFPA
3 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5 Apêndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Limite Inferior e Limite Superior de Sequências . . . . . .
63
4 Noções Iniciais Sobre Séries Numéricas
67
1 Definição e Exemplos de Séries . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2 Alguns Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3 Testes de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5 Critérios de Convergência para Séries
79
1 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2 Teste da Razão ou de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . .
81
3 Teste da Raiz ou de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4 Teste da Condensação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5 Teste da Integral Imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6 Limites de Funções
93
1 Ponto de Acumulação de um Conjunto . . . . . . . . . . .
93
2 Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Limites Infinitos e Limites no Infinito . . . . . . . . . . . .
102
3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
7 Funções Contínuas
105
1 Exemplos e Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2 Condição Necessária e Suficiente para a Continuidade . . .
111
3 Conjuntos Abertos e Funções Contínuas . . . . . . . . . .
115
4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
UFPA Análise-Prólogo 5
8 Máximos e Mínimos e o Teorema do Valor Intermediário
121
1 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
2 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . .
125
3 O Método da Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
9 A Derivada
135
1 Noções Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
3 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . .
145
4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
6 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
Funções Contínuas sem Derivadas . . . . . . . . . . . . . .
151
10 O Teorema do Valor Médio e Aplicações
153
1 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
2 Estudo do Comportamento de Funções . . . . . . . . . . .
158
3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
11 Regras de L’Hospital
169
1 Primeira Regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . .
169
2 Segunda Regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . .
173
3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
12 Aproximação Polinomial
179
1 Aproximações de Funções por Polinômios . . . . . . . . . .
179
2 A Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
6 Análise-prólogo UFPA
13 Séries de Potências: Noções Elementares
191
1 Definição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
2 Funções Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
14 A Integral de Riemann: Noções Iniciais
205
1 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
2 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
3 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
5 Apêndice I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
Conjuntos de Medida Nula. Condição de Integrabilidade .
222
15 O Teorema Fundamental do Cálculo
223
1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
2 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . .
226
3 Duas Fórmulas para o Cálculo de Integrais . . . . . . . . .
228
4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
16 As Funções Logarítmica e Exponencial
233
1 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
2 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
Bibliografia
242
Capítulo 1
Corpos Ordenados e o Postulado
de Dedekind
Neste capítulo, introduziremos de maneira formal, mas evitando certos
detalhes técnicos, o corpo dos números reais. Você já trabalhou, desde o
ensino fundamental, com vários tipos de números tais como os naturais,
inteiros, racionais e reais. Entretanto, muitas das propriedades desses
números foram omitidas, ou usadas sem justificativas rigorosas, o que
é perfeitamente natural em estágios iniciais e até mesmo em cursos de
Cálculo. Aqui, introduziremos formalmente o conjunto dos números reais,
sempre comparando-os com o dos racionais, ressaltando suas semelhanças
e suas diferenças fundamentais.
1 Corpos Ordenados
Começaremos com algumas considerações sobre certas propriedades
que os conjuntos dos racionais e dos reais têm em comum.
Definição 1. Um corpo é um conjunto não-vazio F no qual se acham
definidas duas operações
+ : F ×F → F,
que a cada (x,y) ∈ F ×F associa um elemento x+y ∈ F e
· : F ×F → F,
que a cada (x,y) ∈ F × F associa um elemento x · y ∈ F chamadas,
respectivamente, adição e multiplicação que satisfazem as seguintes
propriedades:
(A ) A adição é comutativa, x+y = y +x, para quaisquer x,y ∈ F.
1
7
8 Análise-Capítulo1 UFPA
(A ) A adição é associativa, x + (y + z) = (x + y) + z, para quaisquer
2
x,y,z ∈ F.
(A ) Existe um único elemento 0 ∈ F (chamado zero ou elemento neutro
3
da adição) tal que x+0 = x, qualquer que seja x ∈ F.
(A ) A cada x ∈ F corresponde um único −x ∈ F (chamado inverso
4
aditivo do número x), tal que x+(−x) = 0.
(M ) A multiplicação é comutativa, x·y = y·x, para quaisquer x,y ∈ F.
1
(M ) A multiplicação é associativa, x·(y ·z) = (x·y)·z, para quaisquer
2
x,y,z ∈ F.
(M ) Existe um único elemento 1 ∈ F (chamado “um” ou elemento neutro
3
da multiplicação), tal que x·1 = x, para todo x ∈ F.
(M ) A cada x ∈ F, x ̸= 0, corresponde um único elemento x−1 ∈ F,
3
também designado por 1, tal que x·x−1 = 1.
x
(MD) A multiplicação é distributiva com relação à adição, x · (y + z) =
x·y +x·z, para quaisquer x,y,z ∈ F.
Doravante, quando tivermos um corpo (F,+,·) a multiplicação de dois
elementos x,y ∈ F será designada simplesmente por xy.
Exemplo 1. O exemplo típico de corpo é o conjunto dos números
racionais { }
p
Q = ; p,q ∈ Z,q ̸= 0
q
munido com as operações usuais de adição e multiplicação de frações.
O(A) leitor(a) pode verificar isso facilmente como exercício.
O conjunto dos números reais, com suas conhecidas operações usuais,
é também um corpo, porém isso é mais delicado de ser estabelecido e o
faremos mais adiante.
Quando você efetua as divisões expressas em uma fração, uma outra
formaderepresentarosnúmerosracionais,chamadarepresentação decimal
de números racionais, éobtida. Dessamaneira, osistemaderepresentação
decimal posicional nos permite expressar os números naturais usando
somente dez inteiros
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9
os quais são chamados dígitos. Relembremos alguns fatos básicos sobre a
representação decimal de números racionais.
Definição 2. Uma decimal é uma expressão da forma
±a ,a a a ...,
0 1 2 3
onde a um número inteiro não-negativo e a ,a ,a ,... são dígitos
0 1 2 3