Introducao a Analise em Rn

161 Pages·2004·1.54 MB·Portuguese

Introdu¸c˜ao `a An´alise em Rn
J. Campos Ferreira
3 de Junho de 2004

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Indice
Introdu¸c˜ao 5
1 Generalidades e primeiros exemplos 7
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Exemplos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Gr´aficos e linhas de n´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exemplos de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Estrutura¸c˜ao de Rm. Sucess˜oes 17
2.1 Produto interno, norma e distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sucess˜oes em Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 No¸c˜oes topol´ogicas em Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Continuidade e limite 43
3.1 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 C´alculo diferencial 83
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 C´alculo diferencial de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 C´alculo diferencial de ordem superior `a primeira . . . . . . . . . . . 117
4.4 Teoremas das fun¸c˜oes impl´ıcitas e da fun¸c˜ao inversa . . . . . . . . . 129
4.5 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
´Indice Remissivo 159
3
4
Introdu¸c˜ao
Uma grande parte deste trabalho ´e o resultado de uma revis˜ao do texto intitulado
Introdu¸c˜ao `a An´alise em Rn, que redigi h´a mais de vinte anos para os alunos
que ent˜ao frequentavam no Instituto Superior T´ecnico a disciplina de An´alise
Matem´atica II. Decidi-me a efectuar essa revis˜ao — e at´e a acrescentar diversos
complementos cuja redac¸c˜ao est´a em curso — porque alguns colegas e amigos me
asseguraram que o trabalho poderia ter ainda hoje alguma utilidade, como texto
de apoio a uma parte das suas aulas da referida disciplina.
Gostaria de deixar aqui expresso o meu reconhecimento aos Professores Fran-
cisco Teixeira, Jo˜ao Palhoto de Matos e Pedro Gir˜ao e ao Engenheiro Paulo Abreu
pelas suas valiosas contribui¸c˜oes para a concretiza¸c˜ao deste projecto.
Lisboa, Novembro de 2002
Jaime Campos Ferreira
5
6
Cap´ıtulo 1
Generalidades e primeiros exemplos
1.1 Introdu¸c˜ao
Foi estudada anteriormente a no¸c˜ao geral de fun¸c˜ao. De forma intuitiva, pode
pensar-se que uma fun¸c˜ao f associa a cada elemento x de um dado conjunto A,
chamado dom´ınio de f, um e um s´o elemento f(x) de um conjunto B; o subcon-
junto de B formado por todos os valores f(x) ´e, como sabemos, o contradom´ınio
de f.
No caso geral, A e B podem ser conjuntos com elementos de natureza qualquer.
No entanto, quase todo o nosso trabalho anterior incidiu sobre um caso particular,
ali´as muito importante: o de tanto A como B serem subconjuntos do conjunto R,
dos nu´meros reais (dizia-se ent˜ao, como vimos, que as fun¸c˜oes consideradas eram
fun¸c˜oes reais de (uma) vari´avel real).
Vamos iniciar agora uma generaliza¸c˜ao desse estudo, de enorme interesse em
toda a esp´ecie de aplica¸c˜oes: estudaremos fun¸c˜oes reais de m vari´aveis reais, (com
m inteiro positivo), isto ´e, fun¸c˜oes cujo contradom´ınio ´e ainda um subconjunto de
R mas cujo dom´ınio ´e uma parte do conjunto Rm = R × R × ··· × R (produto
cartesiano de m factores todos iguais a R). As fun¸c˜oes deste tipo s˜ao tamb´em
designadas por fun¸c˜oes reais de vari´avel vectorial (express˜ao relacionada com a
designa¸c˜ao de vectores, dada correntemente aos elementos de Rm). Mais geral-
mente ainda, v´arios aspectos do nosso estudo incidir˜ao sobre fun¸c˜oes vectoriais de
vari´avel vectorial (fun¸c˜oes com dom´ınio A ⊂ Rm e contradom´ınio B ⊂ Rn , com
m e n inteiros positivos).
Neste quadro geral, estudaremos v´arias no¸c˜oes fundamentais — como as de
limite e continuidade — e abordaremos o estudo do c´alculo diferencial, bem como
algumas das suas aplica¸c˜oes mais importantes.
Recordemos que, antes de iniciarmos o estudo das fun¸c˜oes reais de uma vari´avel
real, tivemos necessidade de organizar convenientemente os nossos conhecimentos
sobre o pr´oprio conjunto R; da mesma forma, teremos agora de come¸car por
estruturar de forma adequada o conjunto Rm, para que possamos assentar numa
base s´olida o estudo que vamos empreender. Esse trabalho ser´a feito no Cap´ıtulo 2,
dedicando-se os restantes par´agrafos deste cap´ıtulo `a considera¸c˜ao de exemplos e
7
Cap´ıtulo 1. Generalidades e primeiros exemplos
`a exposi¸c˜ao de algumas ideias muito simples, que conv´em abordar nesta fase
introdut´oria do nosso trabalho.
1.2 Alguns exemplos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais
Uma fun¸c˜ao real de duas vari´aveis reais, f, definida numa parte A de R2, faz
corresponder a cada par ordenado de nu´meros reais, (x,y), pertencente ao con-
junto A, um u´nico nu´mero real, f(x,y). Vejamos alguns exemplos concretos.
1. Seja f a fun¸c˜ao definida pela f´ormula:
f(x,y) = x2 +y2,
no conjunto de todos os pontos (x,y) ∈ R2.
Trata-se de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis, aqui designadas por x e y; conv´em
lembrar, no entanto, que as letras escolhidas para vari´aveis s˜ao inteiramente
secund´arias: a mesma fun¸c˜ao poderia ser definida, por exemplo, pela f´or-
mula:
f(u,v) = u2 +v2, (u,v) ∈ R2.
Conv´em tamb´em observar desde j´a que, se «fixarmos» uma das vari´aveis
num determinado valor, obteremos uma fun¸c˜ao de uma s´o vari´avel (a va-
ri´avel «n˜ao fixada»); assim, por exemplo, fixando y no valor 2 obter-se-ia a
fun¸c˜ao parcial (que designamos por ϕ):
ϕ(x) = f(x,2) = x2 +4, x ∈ R.
Analogamente, atribuindo a x o valor −1 obter-se-ia uma nova fun¸c˜ao par-
cial:
ψ(y) = f(−1,y) = y2 +1, x ∈ R.
Como ´e ´obvio ter-se-ia, necessariamente:
ϕ(−1) = f(−1,2) = ψ(2).
2. Considere-se agora a fun¸c˜ao g definida pela f´ormula:
p p
g(x,y) = x2 +y2 −1− 9−x2 −y2,
no conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais tem sentido (no con-
junto R, onde g toma valores) a express˜ao que figura no 2o membro.
Trata-se de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais cujo dom´ınio pode repre-
sentar-se no plano xy pela coroa circular determinada pelas circunferˆencias
de centro na origem e raios 1 e 3 (incluindo os pontos que pertencem `as
pr´oprias circunferˆencias).
8
1.2. Exemplos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais
y
√5
PSfrag replacements
1 2 3
x
√5
−
Figura 1.1
Neste caso, se fixarmos por exemplo a vari´avel x no valor 2, obteremos a
fun¸c˜ao parcial:
p p
θ(y) = g(2,y) = y2 +3− 5−y2
√ √
cujo dom´ınio ´e o intervalo [− 5, 5] . Se, em vez de x = 2, pusermos x = 0
ou x = 3, obteremos respectivamente as fun¸c˜oes:
p p
g(0,y) = y2 −1− 9−y2
e
p p
g(3,y) = y2 +8− −y2
O dom´ınio da primeira ´e o conjunto [−3, −1] ∪ [1, 3] e o da segunda tem
apenas um ponto (o ponto 0).
3. Seja h a fun¸c˜ao definida pela f´ormula
x
h(x,y) = arcsin ,
y
no conjunto de todos os pontos (x,y) ∈ R2 tais que arcsinx/y ∈ R.
y
x
PSfrag replacements
Figura 1.2
E´ f´acil reconhecer que o dom´ınio de h ´e o conjunto representado geome-
tricamente pelos dois ˆangulos verticalmente opostos que tˆem por lados as
9
Cap´ıtulo 1. Generalidades e primeiros exemplos
bissectrizes dos quadrantes pares e dos quadrantes ´ımpares, e que n˜ao con-
t´em o eixo das abcissas (os lados dos ˆangulos referidos pertencem ainda ao
dom´ınio, mas n˜ao o seu v´ertice comum).
4. Conv´em observar que, tal como no caso das fun¸c˜oes de uma s´o vari´avel,
para definir uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais n˜ao ´e necess´ario dar uma
express˜ao anal´ıtica. Assim, por exemplo, definir-se-ia tamb´em uma fun¸c˜ao
de duas vari´aveis reais por meio de qualquer dos enunciados seguintes:
(a) Seja f a fun¸c˜ao definida em R2 e tal que
f(x,y) = 0 se x e y s˜ao nu´meros inteiros
f(x,y) = 1 se x ou y n˜ao s˜ao inteiros.
√
Ter-se-ia, por exemplo: f(1,−5) = 0, f(2,1/3) = f(π, 2) = 1, etc.
(b) Seja g a fun¸c˜ao cujo dom´ınio ´e o c´ırculo definido pela desigualdade
x2 +y2 ≤ 4
e tal que
p
g(x,y) = 1−x2 −y2 se x2 +y2 < 1
e
g(x,y) = 0 se 1 ≤ x2 +y2 ≤ 4.
Adiante faremos mais algumas referˆencias `as fun¸c˜oes mencionadas neste
exemplo, a prop´osito da no¸c˜ao de gr´afico de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis
reais, considerada no par´agrafo seguinte.
1.3 Gr´aficos e linhas de n´ıvel
Consideremos no «espa¸co ordin´ario» um referencial cartesiano ortonormado. Por
um processo bem conhecido, cada ponto P do espa¸co determina ent˜ao um terno
ordenado de nu´meros reais (x,y,z), designados respectivamente por abcissa, or-
denada e cota do ponto P; reciprocamente, cada terno ordenado de nu´meros reais
— isto ´e, cada elemento de R3 — determina um ponto do espa¸co ordin´ario.
Assim, fixado um referencial, fica estabelecida uma bijec¸c˜ao entre o conjunto
R3 e o espa¸co ordin´ario, considerado como conjunto de pontos.
Nestas condi¸c˜oes, sendo z = f(x,y) uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais, de-
finida num conjunto A ⊂ R2, chama-se gr´afico da fun¸c˜ao f no referencial con-
siderado o conjunto de todos os pontos (x,y,z) cujas coordenadas verificam a
condi¸c˜ao z = f(x,y) (poderia tamb´em dizer-se que o gr´afico de f ´e o conjunto de
(cid:0) (cid:1)
todos os pontos da forma x,y,f(x,y) , com (x,y) ∈ A).
10