introduc¸˜ao`a teoria dos n´umeros

146 Pages·2001·0.6 MB·Portuguese

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INTRODUC¸ AO A
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TEORIA DOS NUMEROS
V´ıtor Neves
******************************
Departamento de Matem´atica
Universidade de Aveiro
2001

Introdu¸c˜ao
O presente texto resulta da evolu¸c˜ao de um conjunto de notas de apoio `a disci-
plina Introdu¸c˜ao `a Teoria dos Nu´meros do segundo semestre do terceiro ano da
licenciatura em Ensino de Matem´aticada Universidade de Aveiro.
Parafraseando um mestre, n˜ao pretendemos ”escrever para autodidatas, mas sim
para alunos com professor”, pelo que deix´amos para o leitor demonstrar – por vezes
explicitamente como exerc´ıcio – o que´e manifestamente rotineiro (n˜ao necessariamente
trivial...) ou nos parece estar fora do ˆambito de um primeiro curso sobre Teoria dos
Nu´meros.
N˜ao sendo especialistas, limitamo-nos a aspectos cl´assicos e elementares da Teoria,
de car´acter mais formativo e menos t´ecnico: a orienta¸c˜ao foi de facto muito forte no
sentido de preparar docentes para o ensino secund´ario.
Ocap´ıtulosobreextens˜oesdocorpodosnu´merosreais(Cap. 8)pretenderecuperaro
estudodasconstru¸c˜oesdocorporealesuasextens˜oesmaisimportantes,quedeixoudese
fazer sistematicamente nas licenciaturas, mas continua a ser importante se se pretende
aprofundar o conceito de Nu´mero. As extens˜oes n˜ao arquimedianas s˜ao afloradas de
modo a alertar para a sua existˆencia e onde podem ser estudadas.
A finalidade principal do texto – apoiar uma disciplina semestral – obrigou a es-
colhas n˜ao muito agrad´aveis: por quest˜oes de tempo n˜ao se tem mostrado razo´avel
tratar cuidadosamente a equa¸c˜ao de Pell, aspectos de Teoria Anal´ıtica, aproxima¸c˜ao
por frac¸c˜oes cont´ınuas, ra´ızes primitivas, crit´erios de primalidade ou Teoria Combi-
nat´oria. Tais assuntos poderiam ser abordados se a filosofia subjacente a este texto
se modificasse; mesmo assim, nem toda a mat´eria aqui descrita tem sido trabalhada
durante o semestre nas aulas te´oricas ou te´orico-pr´aticas.
Utilizamos um m´ınimo de A´lgebra, de modo a construir um texto t˜ao independente
quanto poss´ıvel.
Os saltos na numera¸c˜ao das p´aginas s˜ao um expediente de organiza¸c˜ao tipogr´afica
incompleta: podemincluir-sesempremaisp´aginasalterandomuitopoucoasreferˆencias
de edi¸c˜ao para edi¸c˜ao.
Agradecemos aos Mestres Paulo Almeida e Rui Duarte e `a Doutora Ana Foulqui´e
a leitura cuidada das v´arias vers˜oes preliminares destas notas bem como as sugest˜oes
que apresentaram.
NOTAC¸A˜O
Salvo referˆencia em contr´ario, vari´aveis representadas por letras
minu´sculas designam nu´meros inteiros.
Aveiro
Maio de 2001
V´ıtor Neves
´
Indice
I Introdu¸c˜ao `a Teoria dos Nu´meros 1
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica 3
1.1 Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Axiom´atica de Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Soma, ordem e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 O m´aximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Teorema Fundamental da Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Congruˆencias 201
2.1 Propriedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.2 Invers˜ao I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.3 Congruˆencias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.3.1 Invers˜ao II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2.4 A fun¸c˜ao φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.4.1 Sistemas reduzidos de res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson . . . . . . . . . . . . 207
2.5 Congruˆencias polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.5.2 M´odulo primo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2.5.3 M´odulo potˆencia de base prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.5.4 Teorema Chinˆes do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3 Res´ıduos quadr´aticos 301
3.1 Introdu¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.3 Lei de Reciprocidade Quadr´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4 Equa¸c˜oes Diofantinas 401
i
´Indice ITN (2001)
4.1 Ternos Pitag´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
4.2 Somas de duas quartas potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
4.3 Somas de dois quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
4.4 Somas de quatro quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
5 Fun¸c˜oes aritm´eticas 501
5.1 Introdu¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
5.2 Produto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
5.3 Fun¸c˜oes multiplicativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
5.4 F´ormula de Invers˜ao de M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
5.5 A fun¸c˜ao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
5.6 Nu´meros perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
II Nu´meros reais 601
6 Fundamenta¸c˜ao 603
6.1 Corpos ordenados e nu´meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
6.2 Uma vis˜ao construtiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
6.3 Extens˜oes pr´oprias do corpo dos nu´meros racionais . . . . . . . . . . . . 610
6.4 Corpos ordenados completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
6.5 Existˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
6.6 Nu´meros transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
6.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
7 D´ızimas e Frac¸c˜oes cont´ınuas 701
7.1 D´ızimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
7.2 Frac¸c˜oes cont´ınuas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
7.3 Frac¸c˜oes peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
8 Extens˜oes 801
8.1 Os nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
8.2 Quaterni˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
8.3 Extens˜oes ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
8.3.1 (In)Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
8.3.2 Parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
ii VN
Int. a` Teoria dos Nu´meros Ind´ıce
III Aplica¸c˜oes 901
9 Criptografia 903
9.1 Introdu¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
9.2 Sistemas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
9.3 Codifica¸c˜ao Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
9.4 Criptografia de chave pu´blica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
9.5 Assinaturas; ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
VN iii
´Indice ITN (2001)
iv VN
Parte I
Introdu¸c˜ao `a Teoria dos Nu´meros
1