introduc¸˜ao`a´algebra linear

489 Pages·2015·2.47 MB·Portuguese

˜ ` ´
INTRODUC¸AO A ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
[email protected]
13 de novembro de 2001
Introduc¸˜ao `a A´lgebra Linear
Copyright c 2001 by Reginaldo de Jesus Santos
(cid:176)
Nenhuma parte desta publicac¸˜ao poder´a ser reproduzida por qualquer meio sem a pr´evia
autorizac¸˜ao, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revis˜ao, Supervisor de Produc¸˜ao, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
Ficha Catalogr´afica
Santos, Reginaldo J.
S237i Introduc¸˜ao `a A´lgebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2001.
1. A´lgebra Linear I. T´ıtulo
CDD: 512.5
Conteu´do
Pref´acio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Apˆendice I: Notac¸˜ao de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 M´etodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv Conteu´do
2 Invers˜ao de Matrizes e Determinantes 66
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.3 M´etodo para Invers˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 106
2.2.3 Matriz Adjunta e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Apˆendice II: Demonstrac¸˜ao do Teorema 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Apˆendice III: Caracterizac¸˜ao do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.3.1 Operac¸o˜es Matriciais em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3 Espac¸os Euclidianos 140
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸˜ao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.2 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.2.1 Equac¸˜ao do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.2.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.3 Os Espac¸os R-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.3.1 Independˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A´lgebra Linear Matricial 13 de novembro de 2001
Conteu´do v
3.3.2 Combinac¸˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.3.3 Independˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 Subespac¸os do R-n 212
4.1 Subespac¸os Base e Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Apˆendice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.2.1 Posto e Nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.2 Aplicac¸˜ao a Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.2.3 A Imagem de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5 Ortogonalidade 249
5.1 Produto Escalar em R-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.1.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.1.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.2 Subespac¸os Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.2.1 Subespac¸os Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.2.2 Problema de Quadrados M´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.3.1 Rotac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.3.2 Translac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6 Transformac¸o˜es Lineares (opcional) 296
6.1 Definic¸˜ao, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.1.1 Definic¸˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13 de novembro de 2001 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.2 A Imagem e o Nu´cleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.2.1 Injetividade e Sobrejetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.3 Composic¸˜ao de Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.3.1 Matriz de uma Transformac¸˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.3.2 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.3 Semelhanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
7 Diagonalizac¸˜ao 341
7.1 Diagonalizac¸˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.1.1 Motivac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
7.1.3 Diagonalizac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
7.2 Diagonalizac¸˜ao de Matrizes Sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.2.1 Motivac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Apˆendice V: Demonstrac¸˜ao do Teorema 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.3 Aplicac¸˜ao na Identificac¸˜ao de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.3.2 Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
7.3.3 Par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Respostas dos Exerc´ıcios 407
Bibliografia 470
´Indice Alfab´etico 474
A´lgebra Linear Matricial 13 de novembro de 2001
Pref´acio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introduc¸˜ao `a A´lgebra Linear ou de
A´lgebra Linear Matricial. O texto pode, mas n˜ao ´e necess´ario, ser acompanhado do programa
MATLAB .
∗
O conteu´do ´e dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares.
Aqui todas as propriedades da ´algebra matricial s˜ao demonstradas. A resoluc¸˜ao de sistemas lineares
´e feita usando somente o m´etodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz at´e que ela esteja
na forma escalonada reduzida). Este m´etodo requer mais trabalho do que o m´etodo de Gauss
(transformando a matriz, apenas, at´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por
que tamb´em ´e usado no estudo da invers˜ao de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb´em
estudado o determinante, que ´e definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste
cap´ıtulo podem ser, a crit´erio do leitor, feitas somente para matrizes 3 3.
×
O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano, no espac¸o e no Rn. Os vetores s˜ao definidos inicialmente
∗MATLAB ´e marca registrada de The Mathworks, Inc.
vii
viii Conteu´do
de forma geom´etrica, assim como a soma e a multiplicac¸˜ao por escalar. S˜ao provadas algumas
propriedades geometricamente. Depois s˜ao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural
semanecessidadedadefinic¸˜aodebase. Oprodutoescalar´edefinidotamb´emgeometricamente. S˜ao
estudados tamb´em retas e planos no espac¸o. Depois, o conceito de vetor ´e generalizado para o Rn.
O conceito de dependˆencia e independˆencia linear ´e introduzido de forma alg´ebrica, acompanhado
da interpretac¸˜ao geom´etrica para os casos de R2 e R3.
No Cap´ıtulo 4 s˜ao tratados os conceitos de subespac¸os e de base de subespac¸os. S˜ao estudados
os espac¸os linha e coluna de uma matriz e o seu posto. No Cap´ıtulo 5 s˜ao abordados o produto
escalar e bases ortonormais. Al´em de subespac¸os ortogonais e quadrados m´ınimos.
Transformac¸o˜es Lineares de Rn em Rm s˜ao estudadas no Cap´ıtulo 6. O Cap´ıtulo 7 traz um
estudo da diagonalizac¸˜ao de matrizes em geral e a diagonalizac¸˜ao de matrizes sim´etricas atrav´es de
um matriz ortogonal. E´ feita uma aplicac¸˜ao ao estudo das sec¸o˜es coˆnicas.
Osexerc´ıciosest˜aoagrupadosemtrˆesclasses. Os“Exerc´ıciosNum´ericos”, quecont´emexerc´ıcios
que s˜ao resolvidos fazendo c´alculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de
uma m´aquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que cont´em exerc´ıcios que requerem demons-
trac¸o˜es. Alguns s˜ao simples, outros s˜ao mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria
e geralmente s˜ao acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLAB”, que cont´em
exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLAB ou outro software. Os comandos necess´arios a
resoluc¸˜ao destes exerc´ıcios s˜ao tamb´em fornecidos juntamente com uma explicac¸˜ao r´apida do uso.
Os exerc´ıcios num´ericos s˜ao imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸˜ao dos outros, depende do n´ıvel e
dos objetivos pretendidos para o curso.
O MATLAB ´e um software destinado a fazer c´alculos com matrizes (MATLAB = MATrix LA-
Boratory). Os comandos do MATLAB s˜ao muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alg´ebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados `as rotinas pr´e-definidas, pa-
cotes para c´alculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que s˜ao direcionadas para
A´lgebra Linear Matricial 13 de novembro de 2001
Pref´acio ix
o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido atrav´es da internet no enderec¸o
http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introduc¸˜ao ao MATLAB e ins-
truc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Mais informac¸o˜es sobre o que o MATLAB ´e capaz, podem
ser obtidas em [3, 23].
No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus
conhecimentos. Os Exerc´ıcios Num´ericos e os Exerc´ıcios usando o MATLAB est˜ao resolvidos apo´s
o u´ltimo cap´ıtulo utilizando o MATLAB. Desta forma o leitor que n˜ao estiver interessado em usar o
software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse,
pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLAB e do pacote
gaal.
O programa MATLAB pode ser adquirido gratuitamente na compra do Guia do Usu´ario [23].
Por exemplo, o Guia do Usu´ario j´a foi adquirido, atrav´es da internet, na livraria Blackwell’s na
Inglaterra (http://bookshop.blackwell.co.uk), por US$ 61,00, acompanhado de um CD com
o programa.
Gostaria de agradecer a todos os professores que nos u´ltimos trˆes anos adotaram edic¸o˜es anterio-
resdestetexto emparticularaosprofessores RenatoPedrosa daUNICAMP,Rosa MariaS.B. Chaves
da USP-SP, Lana Mara R. dos Santos da UFV e Ana Tucci de Carvalho da PUC-MG. Gostaria de
agradecer tamb´em aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e sugesto˜es,
entre eles Dan Avritzer, Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci, Seme
Gebara, Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado, Helder
C. Rodrigues, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Rog´erio S. Mol, Denise Burgarelli, Maria Laura
M. Gomes, Maria Cristina C. Ferreira, Paulo C. de Lima, Jos´e Barbosa Gomes, Moacir G. dos Anjos
e Daniel C. de Morais Filho.
13 de novembro de 2001 Reginaldo J. Santos
x Pref´acio
Sugest˜ao de Cronograma
Cap´ıtulo 1 Sec¸o˜es 1.1 e 1.2 4 aulas
Cap´ıtulo 2 Sec¸o˜es 2.1 e 2.2 4 aulas
Cap´ıtulo 3 Sec¸o˜es 3.1 a 3.3 6 aulas
Cap´ıtulo 4 Sec¸o˜es 4.1 e 4.2 4 aulas
Cap´ıtulo 5 Sec¸o˜es 5.1 a 5.3 6 aulas
Cap´ıtulo 7 Sec¸o˜es 7.1 a 7.3 6 aulas
Total 30 aulas
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