Introd. Teoria Analitica dei Numeri

226 Pages·2015·1.02 MB·English

Universita` degli Studi di Parma
Corso di Laurea in Matematica
Introduzione
alla Teoria Analitica dei Numeri
Alessandro Zaccagnini
(versionepreliminare28settembre2015)
Anno Accademico 2014–2015
Il testo e` stato composto per mezzo di un pacchetto di macro creato dall’Autore
e basato su LATEX2ε, (cid:13)c American Mathematical Society. La figure sono state
createconMetaPost. L’ultimaversionediquestotestoe` disponibileall’indirizzo
http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/lezioni/
tdn2005.pdf
Ladatadiquestaversionee` 28settembre2015.
QuestaversionesuInternete` adisposizionedichiunque,gratuita-
mente,perunqualsiasivalidoscopodiistruzione,apattochenon
se ne faccia commercio, che non venga posta in condivisione su
sitiwebsenzal’autorizzazionescrittadell’Autoreechenonvenga
modificatainalcunmodo.
Sipregadiinviaresuggerimentiecritiche,edisegnalareeventualierroridistampa
all’indirizzoquisotto.
Prof.AlessandroZaccagnini
DipartimentodiMatematicaeInformatica
Universita` degliStudidiParma
ParcoAreadelleScienze,53/a–CampusUniversitario
43124Parma,ITALIA
Tel.[phone]–Telefax0521906950
e-mail: [email protected]
pagina web: http://people.math.unipr.it/alessandro.zaccagnini
Indice
Elencodeisimboli 7
Simbolienotazioni 7
1 RisultatiElementari 11
1.1 L’algoritmodiEuclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 ITeoremidiFermat,Eulero,WilsoneGauss . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Ternepitagoriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Sommediduequadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 IlTeoremadeiquattroquadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Laleggedireciprocita` quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Formuleperinumeriprimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Problemiaperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 FunzioniAritmetiche 37
2.1 Definizionieprimeproprieta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Alcunefunzioniaritmeticheimportanti . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 IlprodottodiEulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 SeriediDirichletformali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5 Problemiaperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 DistribuzionedeiNumeriPrimi 57
3.1 Risultatielementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 ITeoremidiEuleroediChebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 LeformulediMertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 LeformulediSelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 DimostrazionedelTeoremadeiNumeriPrimi . . . . . . . . . . . 72
3.6 Altririsultatisualcunefunzioniaritmetiche . . . . . . . . . . . . 79
3.7 Grandi intervalli fra numeri primi consecutivi: il problema di
Erdo˝s–Rankin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8 Problemiaperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3
4 A.Zaccagnini. IntroduzioneallaTeoriaAnaliticadeiNumeri(2014)
4 Priminelleprogressioniaritmetiche 89
4.1 Caratteridiungruppoabeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 CaratteriefunzioniL diDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 PreliminariperilTeoremadiDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 IlTeoremadiDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 LadisuguaglianzadiPo´lya–Vinogradov . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6 IlTeoremadiGauss&Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Problemiaperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 MetodidiCrivello 105
5.1 Ilprincipiodiinclusione–esclusioneelaformuladiLegendre . . . 106
5.2 IlcrivellodiBrun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 ApplicazionidelcrivellodiBrun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.1 Primiepolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.2 Maggiorazionedelnumerodiprimiinunintervallo . . . . 115
5.3.3 Polinomidiprimogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.4 Polinomidisecondogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.5 Rappresentazionicomesommadiquadrati . . . . . . . . 117
5.4 Ilcrivello“grande” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Applicazionidelcrivellogrande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6 Problemiaperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 IntroduzioneallaTeoriaAnaliticadeiNumeri 131
6.1 IlprogrammadiRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 L’equazionefunzionaledellafunzionezeta . . . . . . . . . . . . . 132
6.3 Altreproprieta` diζinS+(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4 Distribuzionedeglizeridellafunzionezeta . . . . . . . . . . . . 140
6.5 Laregioneliberadazeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.6 Laformulaesplicita: legamefraψeζ . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.7 DimostrazionedelTeoremadeiNumeriPrimi . . . . . . . . . . . 151
6.8 LacongetturadiRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.9 UnafamosaaffermazionediEulero . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.10 Applicazionidellaformulaesplicita . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.10.1 Distanzafraprimiconsecutivi . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.10.2 Formulaasintoticanegliintervallicorti . . . . . . . . . . 157
6.10.3 Formulaasintoticaquasiovunque . . . . . . . . . . . . . 161
6.11 IlTeoremaelaCongetturadiMontgomery . . . . . . . . . . . . 165
6.12 Considerazionifinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.12.1 AncorasulTeoremadiDirichlet . . . . . . . . . . . . . . 171
6.12.2 Distribuzionedeglizerietermined’errore . . . . . . . . . 171
6.13 TheZeta-FunctionSong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Indice 5
6.14 Problemiaperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7 IlproblemadiGoldbach 177
7.1 Problemiadditivi: ilmetododelcerchio . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2 IlproblemadiGoldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3 Dovesonoledifficolta`? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.3.1 ApprossimazionedellafunzioneθdiChebyshev . . . . . 188
7.3.2 Ilcontributodegliarchisecondari . . . . . . . . . . . . . 189
7.4 Risultati“perquasitutti”gliinteripari . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.5 Varianti: ilTeoremadeitreprimiediprimigemelli . . . . . . . . 191
A Appendice 193
A.1 Formuledisommazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.2 LefunzioniGammaeBeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
A.3 LaformuladiWalliselaformuladiStirling . . . . . . . . . . . . 198
A.4 Lemmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
B DistribuzionedeiNumeriPrimi 205
C FunzioniAritmeticheElementari 207
D GeneratorieOrdinimodulop 209
Bibliografia 211
Indiceanalitico 223
6 A.Zaccagnini. IntroduzioneallaTeoriaAnaliticadeiNumeri(2014)
Simboli e notazioni
Scriveremo f :=g per indicare l’uguaglianza per definizione. Dato un qualunque
insieme finito A, indicheremo con |A| la sua cardinalita`. Le lettere d, i, j, k,
m, n, q indicano di solito numeri interi (non necessariamente positivi), mentre la
lettera pdenotasempreunnumeroprimo. Leletterex,y,t indicanonumerireali.
Per convenzione N indica l’insieme degli interi non negativi, e quindi 0∈N.
Z, Q, R e C hanno il significato consueto, mentre F indica il campo finito con
q
q elementi (se q e` una potenza di un primo). Indicheremo con Z l’insieme delle
n
classi di resto modulo n, che ricordiamo costituire un anello commutativo con
identita`, e con Z∗ l’insieme delle unita` di Z , cioe` l’insieme dei suoi elementi
n n
invertibili. In questo contesto, non e` possibile alcuna confusione con i numeri
p-adici.
Scriveremo d |n quando d ed n sono interi ed esiste un altro intero q tale che
dq=n. Osserviamocheconquestaconvenzioned |0perognid ∈Z,mentre0|n
implica n = 0. Scriveremo d (cid:45) n per negare questa relazione. Scriveremo anche
pα (cid:107)n (ma solo per numeri primi p) se α e` la piu´ grande potenza di p che divide
n, cioe` se pα |n ma pα+1 (cid:45)n. Quando n, m sono numeri interi non entrambi nulli,
indicheremocon(n,m)econ[n,m]rispettivamenteilmassimocomundivisoreed
ilminimocomunemultiplodinedm. Supporremosempre(n,m)>0e[n,m]>0,
anchesenomsononumerinegativi.
Quasi sempre p indica l’n-esimo numero primo, e log x l’iterata n-esima
n n
dellafunzionelogaritmo: log x:=loglogx elog x:=loglog x pern≥2.
2 n+1 n
Scriveremo
∗
∑ ∑ ∑
d|n amodq amodq
rispettivamente per indicare una somma estesa a tutti i divisori positivi d di n
(anchequandone` unnumeronegativo),perindicareunasommasututteleclassi
direstomoduloqosututteleclassia mod qcon(a,q)=1(quandoquestesomme
sonobendefinite). Lesommeeiprodottiindicaticon
∑ oppure ∏
n≤x n≤x
7
8 A.Zaccagnini. IntroduzioneallaTeoriaAnaliticadeiNumeri(2014)
sonoestesiatuttii numerinaturalinell’intervallo[1,x]. Quando lavariabilee` pe`
sottintesochequestesommeoprodottisonoestesisoloaiprimichesoddisfanole
condizioni richieste. Per convenzione, assegneremo il valore 0 alla somma vuota,
edilvalore1alprodottovuoto.
Con [x] := max{n ∈ Z: n ≤ x} indichiamo la parte intera del numero reale
x, e con {x} := x−[x] ∈ [0,1) la sua parte frazionaria. ℜ(z), ℑ(z) e z denotano
rispettivamente parte reale, parte immaginaria e coniugato del numero comples-
so z. Indicheremo con i l’unita` immaginaria, con e(x) la funzione esponenziale
complessa e2πix (di solito quando x e` un numero reale) e con e (x) la funzione
q
(cid:0) (cid:1)
e x/q .
Useremo i simboli di Bachmann–Landau (o, O), di Vinogradov ((cid:28), (cid:29)) e di
Hardy-Littlewood (Ω) con il seguente significato: siano f, g funzioni definite in
un intorno di x , ma non necessariamente in x (che puo` essere +∞). Se g e` non
0 0
negativainunintornodix scriviamo f(x)=O(g(x))oppure f(x)(cid:28)g(x)se
0
|f(x)|
limsup <+∞,
g(x)
x→x
0
cioe` seesisteC∈R+ talechepertuttiglix inunopportunointornodix siha
0
|f(x)|≤Cg(x).
Se la costanteC non e` uniforme, ma dipende dai parametri A, B, ..., scriveremo
f(x) = O (g(x)) oppure f(x) (cid:28) g(x). Scriviamo f(x) (cid:29) g(x) se f e`
A,B,... A,B,...
positivaedinoltreg(x)(cid:28) f(x). Scriviamo f(x)=o(g(x))se
f(x)
lim =0
x→x g(x)
0
(cid:0) (cid:1)
ed f(x)=Ω g(x) se f(x)none` o(g(x)),cioe` se
|f(x)|
limsup >0.
g(x)
x→x
0
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Scriveremo f(x) = Ω g(x) oppure f(x) = Ω g(x) per indicare, rispettiva-
− +
mente,
f(x) f(x)
liminf <0 e limsup >0.
x→x0 g(x) x→x0 g(x)
(cid:0) (cid:1)
Con f(x)=Ω g(x) indichiamo che le due relazioni precedenti valgono simul-
±
taneamente. Scriveremoinoltre f ∼gse
f(x)
lim =1,
x→x g(x)
0
Indice 9
ed f (cid:16)gperindicarecheg(x)(cid:28) f(x)(cid:28)g(x)quandox→x .
0
Quandoc∈R,useremol’abbreviazione
(cid:90) (cid:90) c+i∞
f(s)ds per f(s)ds,
(c) c−i∞
cioe` perl’integralesullarettaverticaledeinumericomplessidiparterealec.
La definizione e le proprieta` elementari di alcune funzioni speciali sono da-
te nel testo: piu´ precisamente, la funzione ζ di Riemann e` definita nel §2.4, la
funzioniΓeBdiEuleronell’AppendiceA.2.
Struttura
Per quanto possibile queste dispense sono autocontenute. Solo qualche risultato
E 1.2.3 e` stato citato ed utilizzato senza dimostrazione. Il simbolo nel margine rimanda
all’Esercizio3del§1.2. Inumerifraparentesiquadratesiriferisconoaitesticitati
nellaBibliografia.
Ogni paragrafo contiene un elenco di esercizi e riferimenti bibliografici per
approfondimenti. Altri esercizi si possono trovare nei libri di Apostol [5], di Hua
[79] e di Landau [97]. Nel paragrafo finale di ogni capitolo presentiamo infor-
malmente e rapidamente alcuni dei piu´ importanti problemi aperti pertinenti. La
sceltanaturalmentee` arbitrariaediscutibile: perunapanoramicabenpiu´ vasta,si
vedanoilibridiGuy[57],diRibenboim[152]ediShanks[162].
Un’introduzionemoltosempliceediscorsivaagliargomentitrattatisitrovanel
librodiBeiler[8]. LastoriadellaTeoriadeiNumerie` trattatainenormedettaglio
neivolumidiDickson[27],epiu´ ingeneraleinOre[135].
AltrelettureconsigliatesonoilibridiGauss[41],Knopfmacher[89],Landau
[95], Narkiewicz [132], Nathanson [133], Prachar [150], Tura´n [166], Lang [98].
Il libro di Montgomery & Vaughan [126] contiene gli sviluppi della teoria svolta
qui ed e` un ottimo libro per approfondire seriamente il contenuti di questo corso;
inoltre,contieneanchediversecentinaiadiesercizi. Sivedaanchel’Enciclopedia
on-linedellesuccessionidiinteriall’indirizzohttp://oeis.org/
Ringraziamenti
Desidero ringraziare quanti mi hanno segnalato errori, imprecisioni, migliora-
menti e nuovi riferimenti bibliografici. Fra questi, in particolare A. Languasco,
G.Molteni,A.Perelli,G.RossieC.Viola.
Ringrazio anche tutti gli studenti dei miei corsi, che hanno contribuito a tro-
vareerroriesuggeriremiglioramentinellapresentazione.
10 A.Zaccagnini. IntroduzioneallaTeoriaAnaliticadeiNumeri(2014)