Interprétation d'algèbres de Hopf d'arbres en théorie des représentations

165 Pages·2014·1.74 MB·French

MØmoire de troisiŁme annØe
InterprØtation d’algŁbres de Hopf d’arbres
en thØorie des reprØsentations
sous la direction de
Florent HIVERT
et
Vincent PILAUD
Joºl Gay
21 octobre 2014
2
Table des matiŁres
1 Introduction au domaine de recherche 5
1.1 CatØgori(cid:28)cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Coe(cid:30)cients de structure du produit/coproduit d’une algŁbre . . . . . . . 6
1.1.2 Coe(cid:30)cients de structure de la restriction/induction des reprØsentations
d’une tour d’algŁbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 CatØgori(cid:28)cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Groupes de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 AlgŁbres de Hopf, AlgŁbres de Hopf sur des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 AlgŁbre sur les permutations, FQSym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 AlgŁbre de Loday-Ronco sur les arbres binaires . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 AlgŁbre de Loday-Ronco Duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Pistes de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Curriculum Vitae 17
3 MØmoire de master 19
3.1 DØ(cid:28)nition(s?) d’algŁbres amassØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 L’exemple des triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Une dØ(cid:28)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Le phØnomŁne de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Classi(cid:28)cation des algŁbres amassØes de type (cid:28)ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Cadre gØnØral et ØnoncØs des thØorŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 (cid:19)Existence(cid:20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 (cid:19)UnicitØ(cid:20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 RØalisation gØomØtrique de l’associaŁdre selon Chapoton, Fomin et Zelevinsky . 76
3.3.1 (cid:201)tat des lieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Fonction support et rØduction du problŁme . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.3 Esquisse des preuves restantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Complexes de sous-mots et polytope de briques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.1 Complexes de sous-mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.2 Con(cid:28)guration racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.3 Polytopes de briques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Complexes de sous-mots et degrØ de compatibilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5.2 DegrØ de compatibilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
4 TABLE DES MATI¨RES
3.5.3 Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6 Groupes de Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.1 SystŁme de Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.2 SystŁme de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.3 Classi(cid:28)cation des groupes de Coxeter (cid:28)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.4 Mots sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.5 Poids et coracines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7 GØomØtrie discrŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7.1 Complexes et Øventails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7.2 Polytopes simples et simpliciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 ExposØ de premiŁre annØe 109
4.1 Nombre de partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.1 Expression sous forme de produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.2 (cid:201)quation fonctionnelle de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.3 Contour d’intØgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.4 Nombre de partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.1 GØnØralitØs sur les fonctions pØriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.2 Fonction ℘ de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.3 Fonction ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Fonctions modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1 Demi-plan de PoincarØ et Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.2 Fonctions modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4 Fonction η de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4.1 PrØsentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4.2 (cid:201)quation fonctionnelle de η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4.3 (cid:201)quation fonctionnelle de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Bibliographie 163
Chapitre 1
Introduction au domaine de
recherche
InterprØtation d’algŁbres de Hopf
d’arbres en thØorie des reprØsentations
Introduction
La thØorie des reprØsentations d’algŁbres, bien comprise dans certains cas (eg. les groupes
(cid:28)nis en caractØristique nulle [Ser78]), a ØtØ largement ØtudiØe et motive encore d’importants
travaux. Elle prØsente en particulier de nombreuses connections avec la combinatoire [Ful97].
Si on considŁre une tour d’algŁbres [BL09] plut(cid:244)t qu’une algŁbre, les opØrations de restriction
et d’induction dØ(cid:28)nissent de nouvelles structures algØbriques sur les groupes de Grothendieck
[CR90]. Sous certaines conditions [BL09], ces groupes sont munis d’une structure d’algŁbre de
Hopf [Gei77] dans laquelle les ØlØments se composent par un produit, et se dØcomposent par
un coproduit.
La combinatoire algØbrique produit naturellement des algŁbres de Hopf dont les bases sont
indexØes par des familles combinatoires, et dont les produits et coproduits sont dØ(cid:28)nis par des
opØrations combinatoires sur les objets [Hiv07]. L’exemple fondamental est l’algŁbre Sym des
fonctions symØtriques, dont la base est indexØe par les partitions, et qui provient de la thØorie
des reprØsentations des groupes symØtriques [Mac95, Ful97]. La base importante de Sym pour
ce point de vue des reprØsentations est appelØe la base des fonctions de Schur. Le produit de
deux fonctions de Schur est donnØ par la rŁgle de Littlewood-Richardson, et est bien compris
gr(cid:226)ce (cid:224) un relŁvement non commutatif sous la forme de l’algŁbre de Poitier Reutenauer FSym
sur les tableaux de Young standard [PR95, DHNT11]. L’algŁbre de Loday-Ronco [LR98] sur
les arbres binaires prØsentant de fortes similaritØs avec celle-ci, on peut espØrer que ces deux
algŁbres de Hopf proviennent de la thØorie des reprØsentations d’une tour d’algŁbres. La mŒme
question se pose pour l’algŁbre Cambrienne, qui gØnØralise l’algŁbre de Loday-Ronco [CP14],
et dont la base est indexØe par les arbres Cambriens, motivØs par des constructions gØomØ-
triques de l’associaŁdre [Sta63, HL07, LP13].
Mon projet de recherche concerne la catØgori(cid:28)cation de ces algŁbres de Hopf combinatoires :
5
6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION AU DOMAINE DE RECHERCHE
il s’agit de les rØaliser comme groupes de Grothendieck de tours d’algŁbres. Cette dØmarche
s’inscrit dans un e(cid:27)ort de catØgori(cid:28)cation initiØ dans la littØrature des derniŁres dØcennies
[CF94, KT97, BHT04, HNT06, BL09].
1.1 CatØgori(cid:28)cation
1.1.1 Coe(cid:30)cients de structure du produit/coproduit d’une algŁbre
Nous allons ici dØcrire un problŁme auquel on est souvent confrontØ en algŁbre ou en com-
binatoire. On se donne A une algŁbre qui admet une base (b ) , oø Λ est une famille
λ λ∈Λ
combinatoire. On s’intØresse (cid:224) la dØcomposition sur cette base du produit de deux ØlØments
de la base :
(cid:88)
b ·b = cν b .
λ µ λµ ν
ν∈Λ
Les coe(cid:30)cients cν qui apparaissent dans cette expression s’appellent les coe(cid:30)cients de struc-
λµ
turedel’algŁbreAdanslabase(b ).DansbeaucoupdecasquinousintØressentcescoe(cid:30)cients
λ
sont des entiers positifs.
Par exemple, considØrons l’algŁbre Sym des fonctions symØtriques ØtudiØe dans [Zel81]. Elle
possŁdeunebaseintØressante,lafamilledesfonctionsdeSchur(s ) ,oøΛestl’ensemblede
λ λ∈Λ
toutes les partitions d’un entier. (On dit que λ est une partition de n ∈ N, et on Øcrit λ (cid:96) n si
(cid:80)
λ = (λ ,λ ,λ ,...) avec λ ≥ λ ≥ ..., ∀i,λ > 0 et n = λ .) Les coe(cid:30)cients de structure
1 2 3 1 2 i i i
pour la multiplication sur la base (s ) s’appellent les coe(cid:30)cients de Littlewood-Richardson
λ
[Mac95].
Ces coe(cid:30)cients peuvent nous intØresser sous deux aspects. D’abord, si ce sont des entiers,
on peut penser (comme c’est souvent le cas en combinatoire) qu’ils comptent une famille
combinatoire.AinsiilexisteplusieursbasesdeSymdontlescoe(cid:30)cientsdestructurecomptent
di(cid:27)Ørents types de tableaux de Young. Nous allons dØcrire dans la suite une autre fa(cid:231)on
d’interprØter ces entiers.
Remarque 1.1.1. Un produit est une application bilinØaire × : A×A −→ A soit aussi une
application linØaire A⊗A → A. En transposant cette application on obtient une comultipli-
cation c’est-(cid:224)-dire une application linØaire ∆ : A → A ⊗ A. On peut Øgalement dØ(cid:28)nir des
coe(cid:30)cients de structure pour la comultiplication dans une cogŁbre (et donc pour une bigŁbre)
en posant :
(cid:88)
∆b = dλµ(b ⊗b ).
ν ν λ µ
λ,µ∈Λ
1.1.2 Coe(cid:30)cients de structure de la restriction/induction des reprØsenta-
tions d’une tour d’algŁbre
On note K = C ou R. On rappelle [Ser78] qu’une reprØsentation linØaire d’un groupe G est
la donnØe d’un espace vectoriel V et d’un morphisme de groupe ρ : G → GL(V) (c’est-(cid:224)-dire
d’une action de G sur V par applications linØaires inversibles). Cette donnØe est Øquivalente
(cid:224) la donnØe d’un KG-module, oø KG est l’algŁbre du groupe (on dira aussi plus simplement
G-module). On obtient cette Øquivalence en linØarisant l’action.
1.1. CAT(cid:201)GORIFICATION 7
La thØorie des reprØsentations s’intØresse particuliŁrement aux modules irrØductibles (aussi
appelØs modules simples), qui n’admettent pas d’autres sous-G-modules qu’eux-mŒmes et le
sous-module nul. Ce sont en e(cid:27)et des briques ØlØmentaires qui nous permettent de recrØer des
G-modules. Plus prØcisØment une algŁbre est dite semi-simple si tous les modules sur cette
algŁbresonttotalementrØductibles,c’est-(cid:224)-diresommedemodulesirrØductibles.UnG-module
totalement rØductible s’Øcrit alors
V (cid:39) (cid:77)Vmi(V),
i
i
oø les V sont des modules irrØductibles. Ainsi, (cid:224) isomorphisme prŁs on dØcrit tous les G-
i
modules semi-simples en connaissant simplement les modules irrØductibles et en se donnant
des multiplicitØs. Le thØorŁme de Maschke [Ser78] a(cid:30)rme que tous les groupes (cid:28)nis ont des
algŁbres de groupes semi-simples en caractØristique zØro.
Un dernier rØsultat intØressant est que si l’on se donne un (G×G(cid:48))-module irrØductible, oø
G et G(cid:48) sont deux groupes (cid:28)nis, alors il est nØcessairement de la forme V ⊗W oø V est un
G-module irrØductible et W est un G(cid:48)-module irrØductible.
Prenonsunexemple.OnconsidŁrelegroupeS despermutationssurnØlØments.Ils’agitd’un
n
groupe (cid:28)ni, donc toutes ses reprØsentations sont complŁtement rØductibles. De plus la thØorie
de ses modules irrØductibles est bien connue : ces modules sont indexØs par les partitions de
l’entier n, et les bases des modules par les tableaux de Young [Mac95, Ful97]. On note V pour
λ
le S -module irrØductible correspondant (cid:224) la partition λ (cid:96) n.
n
L’intØrŒt de cette famille des groupes symØtriques est que l’on a une tour de groupes (Sn)n∈N
et une famille de morphismes :
τ : S ×S −→ S
n,m n m n+m
quinousdonneparlinØarisationunetourd’algŁbre(KSn)n∈N avecunefamilledemorphismes
ρ : KS ⊗KS −→ KS
n,m n m n+m
qui sont (cid:19) associatifs (cid:20) pour la composition. DŁs lors on peut considØrer le (KS ⊗KS )-
n m
module restreint d’un KS -module (c’est-(cid:224)-dire le module dont l’espace est le mŒme, et
n+m
sur lequel on ne fait agir plus que le sous-groupe S ×S et pas tout le groupe S ). Ce
n m n+m
S ×S -module restreint n’a plus de raisons d’Œtre irrØductible, et on le dØcompose alors
n m
sur les modules irrØductibles de S ×S , qui sont tous de la forme V ⊗V oø V est un
n m λ µ λ
S -module, et V un S -module. On a obtenu la dØcomposition :
n µ m
Vν = (cid:77)(Vλ⊗Vµ)dνλµ,
λ(cid:96)n
µ(cid:96)m
oø les multiplicitØs dν sont des coe(cid:30)cients de structure de la restriction et induction de la
λµ
tour d’algŁbre (KSn)n∈N. On peut voir ces coe(cid:30)cients comme les coe(cid:30)cients de structure
d’une cogŁbre construite arti(cid:28)ciellement avec une base vØri(cid:28)ant les bonnes relations.
Il existe une opØration dans le sens inverse de la restriction, qui permet d’associer (cid:224) un
(S ×S )-module un S -module. On appelle cette opØration l’induction. L(cid:224) encore l’in-
n m n+m
duit d’un module irrØductible n’est pas forcØment irrØductible, et on obtient des coe(cid:30)cients
de structure cν d’un produit en dØcomposant les (S ×S )-modules irrØductibles V ⊗V
λµ n m λ µ
8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION AU DOMAINE DE RECHERCHE
en KS -modules irrØductibles V .
n+m ν
On a donc rØussi (cid:224) associer (cid:224) une tour d’algŁbre (cid:224) la fois un produit et un coproduit. Si
en plus ces deux opØrations se comportent (cid:19) bien (cid:20), c’est-(cid:224)-dire vØri(cid:28)ent des conditions de
compatibilitØ que nous dØtaillerons plus loin, on obtient une algŁbre de Hopf.
1.1.3 CatØgori(cid:28)cation
On a prØsentØ dans les deux sections prØcØdentes deux fa(cid:231)ons d’obtenir des coe(cid:30)cients de
structure : en partant d’une algŁbre/cogŁbre, ou en partant d’une tour d’algŁbres.
Quand on se donne une tour d’algŁbres (An)n∈N (oø A0 est le corps de base) avec la suite
d’applications
ρ : A ⊗A −→ A ,
n,m n m n+m
et en supposant que la thØorie des reprØsentations des A soit connue, on a vu qu’on peut en
n
dØduire des coe(cid:30)cients de structure pour un produit et pour un coproduit. On dØ(cid:28)nit alors
un espace vectoriel engendrØ par une base vØri(cid:28)ant les relations que l’on souhaite pour le mu-
nird’unproduitetd’uncoproduit.CetespacevectorielestdoncassociØ(cid:224)notretourd’algŁbres.
Les problØmatiques envisagØes pour ma thŁse concernent le sens inverse : on se donne une
algŁbre/cogŁbre engendrØe par une certaine base, on calcule les coe(cid:30)cients de structure et on
cherche une tour d’algŁbre qui (cid:19) rØalise (cid:20) ces coe(cid:30)cients. C’est le problŁme de la catØgori(cid:28)-
cation, qui n’admet pas de mØthode gØnØrique. Ce problŁme et ses variantes est un sujet de
recherche trŁs actif ces derniŁres annØes. Par exemple, Crane et Frenkel [CF94] ont introduit
une notion de Hopf-catØgorie dans le contexte de la catØgori(cid:28)cation des groupes quantiques.
Plus rØcemment Krob et Thibon [KT97] ont montrØ comment une dualitØ entre deux algŁbres
de Hopf (NSym et QSym, [MR95]) provient d’une dualitØ entre deux autres algŁbres de Hopf
associØes (cid:224) la tour d’algŁbre de Hecke (cid:224) q = 0. On peut trouver d’autres exemples dans
[BHT04, HNT06, Ser84].
JedØsiredoncdansmathŁsemepencherdavantagesurcettequestiondecatØgori(cid:28)cationpour
certaines algŁbres combinatoires. N. Bergeron et H. Li donnent dans [BL09] une condition nØ-
cessaire (cid:224) la catØgori(cid:28)cation, mais on est encore loin d’une classi(cid:28)cation systØmatique.
1.1.4 Groupes de Grothendieck
Cette section gØnØralise et donne un cadre plus algØbrique (cid:224) ce qui a ØtØ dit dans la partie
1.1.2. On consultera la section suivante pour la dØ(cid:28)nition prØcise d’algŁbre de Hopf.
DØ(cid:28)nition 1.1.2. Soit B une algŁbre. On note F le groupe abØlien libre engendrØ par les
symboles (M) pour chaque classe d’isomorphisme des B-module de type (cid:28)ni. On note F son
0
sous-groupe gØnØrØ par les (M)−(L)−(N) (cid:224) chaque fois que l’on a une suite exacte courte :
0 −→ L −→ M −→ N −→ 0.
Le groupe de Grothendieck G (B) est dØ(cid:28)ni comme le quotient F/F . On note [V] l’image de
0 0
(V) dans ce quotient.
1.2. ALG¨BRES DE HOPF, ALG¨BRES DE HOPF SUR DES ARBRES 9
Remarque 1.1.3. Le thØorŁme de Jordan H(cid:246)lder donne un sens prØcis (cid:224) la dØcomposition
d’une classe d’un module en classe de modules simples. En fait ces groupes de Grothendieck
nous permettent de pallier au problŁme de la dØcomposition en simple dans le cas non semi-
simple.
Proposition 1.1.4. Soit {V ,...,V } une liste complŁte de modules simples non isomorphes.
1 s
Alors :
s
G (B) ∼= (cid:77)Z[V ].
0 i
i=1
On se donne dØsormais A = (cid:76) A une algŁbre graduØe sur C avec multiplication ρ :
n≥0 n
A⊗A → A. On considŁre les 5 axiomes suivants (voir [BL09] pour les dØtails) :
1. Pour tout n ≥ 0, A est une algŁbre de dimension (cid:28)nie avec multiplication interne et
n
unitØ 1 . A (cid:39) C.
n 0
2. La multiplication externe ρ : A ⊗A → A est un morphisme d’algŁbre injectif
n,m n m n+m
envoyant 1 ⊗1 sur 1 .
n m n+m
3. A est un A ⊗A -bimodule.
m+n m n
4. On a une relation entre la dØcomposition de A comme A ⊗A -module et comme
n+m n m
module-A ⊗A [BL09].
n m
5. On a un analogue de la formule de Mackey reliant induction et restriction [BL09].
Les trois premiŁres conditions dØ(cid:28)nissent une tour d’algŁbres. On considŁre alors le groupe de
(cid:76)
Grothendieck G (A) = G (A ). Ces conditions nous permettent de dØ(cid:28)nir sur G (A)
0 n≥0 0 n 0
une multiplication et une comultiplication comme suit :
[M][N] = (cid:104)IndAm+n M ⊗N(cid:105) et ∆([N]) = (cid:88) (cid:104)ResAk+l N(cid:105).
An⊗Am Ak⊗Al
k+l=n
ThØorŁme 1.1.5 ([BL09]). Si une algŁbre graduØe A sur C vØri(cid:28)e les cinq conditions ci-
dessus, alors G (A) est une algŁbre de Hopf graduØe.
0
En particulier G (A) est une algŁbre de Hopf qui a bien les bons coe(cid:30)cients de structure
0
souhaitØs (par dØ(cid:28)nition). Ceci montre que le problŁme est le sens inverse : Øtant donnØ une
algŁbredeHopf,trouverlatourd’algŁbredontellesoitisomorpheaugroupedeGrothendieck.
1.2 AlgŁbres de Hopf, AlgŁbres de Hopf sur des arbres
1.2.1 GØnØralitØs
On considŁre un triplet (A,×,∆) oø A est un espace vectoriel (voire module), muni de deux
applications linØaires :
× : A⊗A −→ A (produit),
∆ : A −→ A⊗A (coproduit).
On suppose que A = Vect(b ,λ ∈ Λ) oø Λ est une classe combinatoire (ensemble graduØ dont
λ
les composantes homogŁnes sont de cardinalitØ (cid:28)nies). L’espace vectoriel A est une bigŁbre si
les deux opØrations × et ∆ vØri(cid:28)ent de plus la compatibilitØ suivante :
∆◦× = ×◦(∆⊗∆),
10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION AU DOMAINE DE RECHERCHE
oøleproduitdumembrededroiteestletenseurdesproduitsdupremiertermeavecletroisiŁme
et du deuxiŁme avec le quatriŁme. Sous l’hypothŁse oø il existe une fonction appelØe antipode,
et qui est toujours vØri(cid:28)Øe dans les cas considØrØs, ces bigŁbres sont alors des algŁbres de Hopf.
1.2.2 AlgŁbre sur les permutations, FQSym
Nous considØrons ici l’algŁbre de Hopf FQSym (ou AlgŁbre de Malvenuto-Reteunauer (ref?))
sur les permutations. Pour cette algŁbre Λ = S = ∪n∈NSn. On a une base privilØgiØe :
FQSym = (Vect(F |σ ∈ S),×,∆),
σ
sur laquelle nous allons dØ(cid:28)nir le produit et le coproduit.
Le produit
Notations 1.2.1. Soit τ ∈ S = ∪ S et I un ensemble (cid:28)ni de N. On note τ la permutation
n n |I
obtenue en considØrant l’ordre relatif des valeurs de τ dont les positions sont dans I. On note
τ|I la permutation obtenue en considØrant l’ordre relatif des valeurs de τ qui sont dans I. Par
exemple, si τ = 23541 alors τ = 231 et τ = 132.
|{2,4,5} |{2,4,5}
DØ(cid:28)nition 1.2.2. Le produit dans FQSym est dØ(cid:28)ni par :
(cid:88)
F ×F = F ,
σ τ π
π∈σ(cid:1)¯τ
oø σ(cid:1)¯ τ = {π ∈ S |π|[n] = σ et π|[n+1,...,n+m] = τ}. Un produit de deux ØlØments de la base
n+m
de taille n et m comprendra donc (cid:0)n+m(cid:1) termes de taille n+m. Les coe(cid:30)cients de structure
n
sont 0 ou 1.
Un exemple :
F ×F = F +F +F +F +F +F +F +F +F +F .
21 132 21354 23154 23514 23541 32154 32514 32541 35214 35241 35421
Le coproduit
DØ(cid:28)nition 1.2.3. Le coproduit dans FQSym est dØ(cid:28)ni par :
(cid:88)
∆(F ) = F ⊗F ,
π σ τ
π∈σ∗τ
oø σ ∗ τ = {π ∈ S |π = σ et π = τ}. Dans le coproduit d’un ØlØment de
n+m |[n] |[n+1,...,n+m]
longueur n on a une somme de (cid:0)n+1(cid:1) = n+1 termes.
1
Un exemple :
∆(F ) = F ⊗ε+F ⊗F +F ⊗F +F ⊗F +F ⊗F +F ⊗F .
35124 35124 3412 1 231 12 12 123 1 4123 ε 35124
Proposition 1.2.4 ([MR95]). Ces deux lois donnent (cid:224) FQSym une structure d’AlgŁbre de
Hopf.
1.2.3 AlgŁbre de Loday-Ronco sur les arbres binaires
On dØtaille ici une algŁbre de Hopf (qui est en fait une sous-algŁbre de la prØcØdente) que l’on
veut catØgori(cid:28)er. Les parallŁles avec le cas des tableaux de Young nous invitent (cid:224) penser que
cela devrait fonctionner.