International Tables for Crystallography, Vol. A: Space Group Symmetry

895 Pages·2016·16.318 MB·English

by  Mois I. Aroyo (editor)

INTERNATIONAL TABLES
FOR
CRYSTALLOGRAPHY
Volume A
SPACE-GROUP SYMMETRY
Edited by
MOIS I. AROYO
Sixth Edition
Published for
THE INTERNATIONAL UNION OF CRYSTALLOGRAPHY
by
2016
Contributing authors
H. Arnold: Institut fu¨r Kristallographie, Rheinisch- P. Konstantinov: Institute for Nuclear Research and Nuclear
Westfa¨lische Technische Hochschule, Aachen, Germany. [1.2, Energy, 72 Tzarigradsko Chaussee, BG-1784 Sofia, Bulgaria.
1.5] [2.1]
M.I.Aroyo:DepartamentodeFı´sicadelaMateriaCondensada, V. Kopsky´†: Bajkalska 1170/28, 100 00 Prague 10, Czech
Universidad del Paı´s Vasco (UPV/EHU), Bilbao, Spain. [1.2, Republic.[1.7]
1.4, 1.5, 2.1, 3.2] D. B. Litvin: Department of Physics, The Eberly College of
E. F. Bertaut†: Laboratoire de Cristallographie, CNRS, Science,PennState–Berks Campus,ThePennsylvaniaState
Grenoble,France.[1.5] University,POBox7009,Reading,PA19610-6009,USA.[1.7,
3.6]
H. Burzlaff: Universita¨t Erlangen–Nu¨rnberg, Robert-Koch-
Strasse 4a, D-91080Uttenreuth, Germany.[3.1,3.3] A. Looijenga-Vos: Laboratorium voor Chemische Fysica,
Rijksuniversiteit Groningen,The Netherlands.[2.1]
G. Chapuis: E´cole Polytechnique Fe´de´rale de Lausanne, BSP/
Cubotron,CH-1015 Lausanne,Switzerland. [1.4,1.5] Ulrich Mu¨ller: Fachbereich Chemie, Philipps-Universita¨t,
D-35032Marburg,Germany.[1.7, 3.2, 3.5]
W. Fischer: Institut fu¨r Mineralogie, Petrologie und Kristallo-
K. Momma: National Museum of Nature and Science, 4-1-1
graphie, Philipps-Universita¨t, D-35032 Marburg, Germany.
Amakubo,Tsukuba, Ibaraki305-0005, Japan. [2.1]
[3.4, 3.5]
H. D. Flack: Chimie mine´rale, analytique et applique´e, Univer- U.Shmueli:SchoolofChemistry,TelAvivUniversity,69978Tel
Aviv,Israel. [1.6]
sity ofGeneva, Geneva, Switzerland.[1.6,2.1]
B. Souvignier: Radboud University Nijmegen, Faculty of
A. M. Glazer: Department of Physics, University of Oxford,
Science, Mathematics and Computing Science, Institute for
Parks Road, Oxford,United Kingdom. [1.4]
Mathematics,AstrophysicsandParticlePhysics,Postbus9010,
H.Grimmer:ResearchwithNeutronsandMuons,PaulScherrer
6500 GLNijmegen,The Netherlands.[1.1,1.3, 1.4, 1.5]
Institut,WHGA/342,VilligenPSI,CH-5232,Switzerland.[3.1]
J.C.H.Spence:DepartmentofPhysics,ArizonaStateUniversity,
B. Gruber†: Department of Applied Mathematics, Faculty of Rural Rd,Tempe,AZ 85287,USA. [1.6]
Mathematics and Physics, Charles University, Malostranske´
P. M. de Wolff†: Laboratorium voor Technische Natuurkunde,
na´m. 25, CZ-11800 Prague 1, Czech Republic.[3.1]
TechnischeHogeschool, Delft, The Netherlands. [3.1]
Th. Hahn†: Institut fu¨r Kristallographie, RWTH Aachen H. Wondratschek†: Laboratorium fu¨r Applikationen der
University,52062 Aachen, Germany.[2.1,3.2]
Synchrotronstrahlung (LAS), Universita¨t Karlsruhe,
H. Klapper: Institut fu¨r Kristallographie, RWTH Aachen Germany.[1.2,1.4, 1.5, 1.7]
University,52062 Aachen, Germany.[3.2] H. Zimmermann: Institut fu¨r Angewandte Physik, Lehrstuhl fu¨r
E. Koch: Institut fu¨r Mineralogie, Petrologie und Kristallo- Kristallographie und Strukturphysik, Universita¨t Erlangen–
graphie, Philipps-Universita¨t, D-35032 Marburg, Germany. Nu¨rnberg, Bismarckstrasse 10, D-91054 Erlangen, Germany.
[3.4, 3.5] [3.1,3.3]
†Deceased.
Contents
PAGE
Forewordtothesixthedition(C.P.Brock) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. xv
Preface(M.I.Aroyo) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. xvii
Symbolsforcrystallographicitemsusedinthisvolume .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. xx
PART 1. INTRODUCTION TO SPACE-GROUP SYMMETRY .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1
1.1. A general introduction to groups (B. Souvignier) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2
1.1.1.Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2
1.1.2.Basicpropertiesofgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2
1.1.3.Subgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4
1.1.4.Cosets .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5
1.1.5.Normalsubgroups,factorgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6
1.1.6.Homomorphisms,isomorphisms .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 7
1.1.7.Groupactions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9
1.1.8.Conjugation,normalizers .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 10
1.2. Crystallographic symmetry (H. Wondratschek and M. I. Aroyo, with Tables 1.2.2.1 and 1.2.2.2 by
H. Arnold)
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12
1.2.1.Crystallographicsymmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12
1.2.2.Matrixdescriptionofsymmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 13
1.2.2.1. Matrix–columnpresentationofisometries .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 13
1.2.2.2. Combinationofmappingsandinversemappings .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15
1.2.2.3. Matrix–columnpairsand(3+1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(3+1)matrices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 16
1.2.2.4. Thegeometricmeaningof(W,w) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 16
1.2.2.5. Determinationofmatrix–columnpairsofsymmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 18
1.2.3.Symmetryelements .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 19
1.3. A general introduction to space groups (B. Souvignier) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22
1.3.1.Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22
1.3.2.Lattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22
1.3.2.1. Basicpropertiesoflattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22
1.3.2.2. Metricproperties .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 23
1.3.2.3. Unitcells .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 24
1.3.2.4. Primitiveandcentredlattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 24
1.3.2.5. Reciprocallattice .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 27
1.3.3.Thestructureofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 28
1.3.3.1. Pointgroupsofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 28
1.3.3.2. Cosetdecompositionwithrespecttothetranslationsubgroup .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 29
1.3.3.3. Symmorphicandnon-symmorphicspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 31
1.3.4.Classificationofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 31
1.3.4.1. Space-grouptypes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 31
1.3.4.2. Geometriccrystalclasses .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 33
1.3.4.3. BravaistypesoflatticesandBravaisclasses .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 34
1.3.4.4. Otherclassificationsofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 37
1.4. Space groups and their descriptions (B. Souvignier, H. Wondratschek, M. I. Aroyo, G. Chapuis and
A. M. Glazer)
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
1.4.1.Symbolsofspacegroups(H.Wondratschek) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
1.4.1.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
vii
CONTENTS
1.4.1.2. Space-groupnumbers .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
1.4.1.3. Schoenfliessymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42
1.4.1.4. Hermann–Mauguinsymbolsofthespacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 43
1.4.1.5. Hermann–Mauguinsymbolsoftheplanegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 48
1.4.1.6. Sequenceofspace-grouptypes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 49
1.4.2.Descriptionsofspace-groupsymmetryoperations(M.I.Aroyo,G.Chapuis,B.SouvignierandA.M.Glazer) .. .. .. .. 50
1.4.2.1. Symbolsforsymmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 50
1.4.2.2. Seitzsymbolsofsymmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 51
1.4.2.3. Symmetryoperationsandthegeneralposition .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 53
1.4.2.4. Additionalsymmetryoperationsandsymmetryelements .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 55
1.4.2.5. Space-groupdiagrams .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 56
1.4.3.Generationofspacegroups(H.Wondratschek) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 59
1.4.3.1. Selectedorderfornon-translationalgenerators .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 60
1.4.4.GeneralandspecialWyckoffpositions(B.Souvignier) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 61
1.4.4.1. Crystallographicorbits .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 61
1.4.4.2. Wyckoffpositions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 62
1.4.4.3. Wyckoffsets .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 64
1.4.4.4. Eigensymmetrygroupsandnon-characteristicorbits .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 66
1.4.5.Sectionsandprojectionsofspacegroups(B.Souvignier) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 67
1.4.5.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 67
1.4.5.2. Sections .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 68
1.4.5.3. Projections .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 71
1.5. Transformations of coordinate systems (H. Wondratschek, M. I. Aroyo, B. Souvignier and G. Chapuis) 75
1.5.1.Origin shift and change of the basis (H. Wondratschek and M. I. Aroyo, with Table 1.5.1.1 and Figs. 1.5.1.2 and
1.5.1.5–1.5.1.10byH.Arnold) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 75
1.5.1.1. Originshift .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 75
1.5.1.2. Changeofthebasis .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 76
1.5.1.3. Generalchangeofcoordinatesystem .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 83
1.5.2.Transformationsofcrystallographicquantitiesundercoordinatetransformations(H.WondratschekandM.I.Aroyo) .. 83
1.5.2.1. Covariantandcontravariantquantities .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 83
1.5.2.2. Metrictensorsofdirectandreciprocallattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 84
1.5.2.3. Transformationofmatrix–columnpairsofsymmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 84
1.5.2.4. Augmented-matrixformalism .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 84
1.5.2.5. Example:paraelectric-to-ferroelectricphasetransitionofGeTe .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 86
1.5.3.Transformationsbetweendifferentspace-groupdescriptions(G.Chapuis,H.WondratschekandM.I.Aroyo) .. .. .. .. 87
1.5.3.1. Spacegroupswithmorethanonedescriptioninthisvolume .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 87
1.5.3.2. Examples .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 88
1.5.4.Synoptictablesofplaneandspacegroups(B.Souvignier,G.ChapuisandH.Wondratschek,withTables1.5.4.1–1.5.4.4by
E.F.Bertaut) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91
1.5.4.1. Additionalsymmetryoperationsandsymmetryelements .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91
1.5.4.2. Synoptictableoftheplanegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 95
1.5.4.3. Synoptictableofthespacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 95
1.6. Methods of space-group determination (U. Shmueli, H. D. Flack and J. C. H. Spence) .. .. .. .. .. .. .. 107
1.6.1.Overview .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 107
1.6.2.Symmetrydeterminationfromsingle-crystalstudies(U.ShmueliandH.D.Flack) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 107
1.6.2.1. Symmetryinformationfromthediffractionpattern .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 107
1.6.2.2. Structure-factorstatisticsandcrystalsymmetry .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 109
1.6.2.3. Symmetryinformationfromthestructuresolution .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 110
1.6.2.4. Restrictionsonspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 111
viii
CONTENTS
1.6.2.5. Pitfallsinspace-groupdetermination .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 111
1.6.3.Theoreticalbackgroundofreflectionconditions(U.Shmueli) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 112
1.6.4.Tablesofreflectionconditionsandpossiblespacegroups(H.D.FlackandU.Shmueli) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 114
1.6.4.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 114
1.6.4.2. Examplesoftheuseofthetables .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 114
1.6.5.Specializedmethodsofspace-groupdetermination(H.D.Flack) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 114
1.6.5.1. Applicationsofresonantscatteringtosymmetrydetermination .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 114
1.6.5.2. Space-groupdeterminationinmacromolecularcrystallography .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 126
1.6.5.3. Space-groupdeterminationfrompowderdiffraction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 127
1.6.6.Spacegroupsfornanocrystalsbyelectronmicroscopy(J.C.H.Spence) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 128
1.7. Topics on space groups treated in Volumes A1 and E of International Tables for Crystallography
(H. Wondratschek, U. Mu¨ller, D. B. Litvin and V. Kopsky´)
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 132
1.7.1.Subgroupsandsupergroupsofspacegroups(H.Wondratschek) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 132
1.7.1.1. Translationengleiche(ort-)subgroupsofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 133
1.7.1.2. Klassengleiche(ork-)subgroupsofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 134
1.7.1.3. Isomorphicsubgroupsofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 134
1.7.1.4. Supergroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 134
1.7.2.RelationsbetweenWyckoffpositionsforgroup–subgroup-relatedspacegroups(U.Mu¨ller) .. .. .. .. .. .. .. .. .. 135
1.7.2.1. Symmetryrelationsbetweencrystalstructures .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 135
1.7.2.2. Substitutionderivatives .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 135
1.7.2.3. Phasetransitions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 135
1.7.2.4. Domainstructures .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 136
1.7.2.5. PresentationoftherelationsbetweentheWyckoffpositionsamonggroup–subgroup-relatedspacegroups .. .. .. 136
1.7.3.Relationshipsbetweenspacegroupsandsubperiodicgroups(D.B.LitvinandV.Kopsky´) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 136
1.7.3.1. Layersymmetriesinthree-dimensionalcrystalstructures .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 137
1.7.3.2. Thesymmetryofdomainwalls .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 138
PART 2. THE SPACE-GROUP TABLES .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 141
2.1. Guide to the use of the space-group tables (Th. Hahn, A. Looijenga-Vos, M. I. Aroyo, H. D. Flack,
K. Momma and P. Konstantinov)
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 142
2.1.1.Conventionaldescriptionsofplaneandspacegroups(Th.HahnandA.Looijenga-Vos) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 142
2.1.1.1. Classificationofspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 142
2.1.1.2. Conventionalcoordinatesystemsandcells .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 142
2.1.2.Symbolsofsymmetryelements(Th.HahnandM.I.Aroyo) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 144
2.1.3.Contentsandarrangementofthetables(Th.HahnandA.Looijenga-Vos) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 150
2.1.3.1. Generallayout .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 150
2.1.3.2. Spacegroupswithmorethanonedescription .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 150
2.1.3.3. Headline .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 151
2.1.3.4. International(Hermann–Mauguin)symbolsforplanegroupsandspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 151
2.1.3.5. Pattersonsymmetry(H.D.Flack) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 152
2.1.3.6. Space-groupdiagrams .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 154
2.1.3.7. Origin .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 158
2.1.3.8. Asymmetricunit .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 159
2.1.3.9. Symmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 160
2.1.3.10. Generators .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 161
2.1.3.11. Positions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 162
2.1.3.12. Orientedsite-symmetrysymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 163
2.1.3.13. Reflectionconditions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 163
2.1.3.14. Symmetryofspecialprojections .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 167
ix
CONTENTS
2.1.3.15. Monoclinicspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 169
2.1.3.16. Crystallographicgroupsinonedimension .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 172
2.1.4.Computerproductionofthespace-grouptables(P.KonstantinovandK.Momma) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 172
2.2. The 17 plane groups (two-dimensional space groups) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 175
2.3. The 230 space groups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 193
PART 3. ADVANCED TOPICS ON SPACE-GROUP SYMMETRY .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 697
3.1. Crystal lattices (H. Burzlaff, H. Grimmer, B. Gruber, P. M. de Wolffand H. Zimmermann) .. .. .. .. 698
3.1.1.Basesandlattices(H.BurzlaffandH.Zimmermann) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 698
3.1.1.1. Descriptionandtransformationofbases .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 698
3.1.1.2. Lattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 698
3.1.1.3. Topologicalpropertiesoflattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 698
3.1.1.4. Specialbasesforlattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 698
3.1.1.5. Remarks .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 699
3.1.2.Bravaistypesoflatticesandotherclassifications(H.BurzlaffandH.Zimmermann) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 700
3.1.2.1. Classifications .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 700
3.1.2.2. DescriptionofBravaistypesoflattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 700
3.1.2.3. Delaunayreductionandstandardization .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 701
3.1.2.4. ExampleofDelaunayreductionandstandardizationofthebasis .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 707
3.1.3.Reducedbases(P.M.deWolff) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 709
3.1.3.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 709
3.1.3.2. Definition .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 709
3.1.3.3. Mainconditions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 709
3.1.3.4. Specialconditions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 710
3.1.3.5. Latticecharacters .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 712
3.1.3.6. Applications .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 713
3.1.4.Furtherpropertiesoflattices(B.GruberandH.Grimmer) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 714
3.1.4.1. Furtherkindsofreducedcells .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 714
3.1.4.2. Topologicalcharacterizationoflatticecharacters .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 714
3.1.4.3. Afinerdivisionoflattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 715
3.1.4.4. Conventionalcells .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 715
3.1.4.5. Conventionalcharacters .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 717
3.1.4.6. Sublattices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 718
3.2. Point groups and crystal classes (Th. Hahn, H. Klapper, U. Mu¨ller and M. I. Aroyo) .. .. .. .. .. .. .. 720
3.2.1.Crystallographicandnoncrystallographicpointgroups(Th.HahnandH.Klapper) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 720
3.2.1.1. Introductionanddefinitions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 720
3.2.1.2. Crystallographicpointgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 721
3.2.1.3. Subgroupsandsupergroupsofthecrystallographicpointgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 731
3.2.1.4. Noncrystallographicpointgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 731
3.2.2.Point-groupsymmetryandphysicalpropertiesofcrystals(H.KlapperandTh.Hahn) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 737
3.2.2.1. Generalrestrictionsonphysicalpropertiesimposedbysymmetry .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 737
3.2.2.2. Morphology .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 739
3.2.2.3. Etchfigures .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 740
3.2.2.4. Opticalproperties .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 740
3.2.2.5. Pyroelectricityandferroelectricity .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 741
3.2.2.6. Piezoelectricity .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 741
3.2.3.Tablesofthecrystallographicpoint-grouptypes(H.Klapper,Th.HahnandM.I.Aroyo) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 742
3.2.4.Molecularsymmetry(U.Mu¨ller) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 772
x
CONTENTS
3.2.4.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 772
3.2.4.2. Definitions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 772
3.2.4.3. Tablesofthepointgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 773
3.2.4.4. Polymericmolecules .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 774
3.2.4.5. Enantiomorphismandchirality .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 775
3.3. Space-group symbols and their use (H. Burzlaffand H. Zimmermann) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 777
3.3.1.Point-groupsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 777
3.3.1.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 777
3.3.1.2. Schoenfliessymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 777
3.3.1.3. Shubnikovsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 777
3.3.1.4. Hermann–Mauguinsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 777
3.3.2.Space-groupsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 779
3.3.2.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 779
3.3.2.2. Schoenfliessymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 779
3.3.2.3. TheroleoftranslationpartsintheShubnikovandHermann–Mauguinsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 779
3.3.2.4. Shubnikovsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 779
3.3.2.5. Internationalshortsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 780
3.3.3.Propertiesoftheinternationalsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 780
3.3.3.1. Derivationofthespacegroupfromtheshortsymbol .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 780
3.3.3.2. Derivationofthefullsymbolfromtheshortsymbol .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 781
3.3.3.3. Non-symbolizedsymmetryelements .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 781
3.3.3.4. Standardizationrulesforshortsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 782
3.3.3.5. Systematicabsences .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 789
3.3.3.6. Generalizedsymmetry .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 790
3.3.4.Changesintroducedinspace-groupsymbolssince1935 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 790
3.4. Lattice complexes (W. Fischer and E. Koch) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 792
3.4.1.Theconceptoflatticecomplexesandlimitingcomplexes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 792
3.4.1.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 792
3.4.1.2. Crystallographicorbits,Wyckoffpositions,WyckoffsetsandtypesofWyckoffset .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 792
3.4.1.3. Pointconfigurationsandlatticecomplexes,referencesymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 793
3.4.1.4. Limitingcomplexesandcomprehensivecomplexes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 794
3.4.1.5. Additionalpropertiesoflatticecomplexes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 795
3.4.2.Theconceptofcharacteristicandnon-characteristicorbits,comparisonwiththelattice-complexconcept .. .. .. .. .. .. 796
3.4.2.1. Definitions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 796
3.4.2.2. Comparisonoftheconceptsoflatticecomplexesandorbittypes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 796
3.4.3.Descriptivelattice-complexsymbolsandtheassignmentofWyckoffpositionstolatticecomplexes .. .. .. .. .. .. .. .. 798
3.4.3.1. Descriptivesymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 798
3.4.3.2. AssignmentofWyckoffpositionstoWyckoffsetsandtolatticecomplexes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 800
3.4.4.Applicationsofthelattice-complexconcept .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 800
3.4.4.1. Geometricalpropertiesofpointconfigurations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 800
3.4.4.2. Relationsbetweencrystalstructures .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 823
3.4.4.3. Reflectionconditions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 823
3.4.4.4. Phasetransitions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 823
3.4.4.5. Incorrectspace-groupassignment .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 824
3.4.4.6. Applicationofdescriptivelattice-complexsymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 824
3.4.4.7. Weissenbergcomplexes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 824
3.5. Normalizers of space groups and their use in crystallography (E. Koch, W. Fischer and U. Mu¨ller) .. .. 826
3.5.1.Introductionanddefinitions(E.Koch,W.FischerandU.Mu¨ller) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 826
xi
CONTENTS
3.5.1.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 826
3.5.1.2. Definitions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 826
3.5.2.Euclideanandaffinenormalizersofplanegroupsandspacegroups(E.Koch,W.FischerandU.Mu¨ller) .. .. .. .. .. 827
3.5.2.1. Euclideannormalizersofplanegroupsandspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 827
3.5.2.2. Affinenormalizersofplanegroupsandspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 830
3.5.3.Examplesoftheuseofnormalizers(E.KochandW.Fischer) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 838
3.5.3.1. Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 838
3.5.3.2. Equivalentpointconfigurations,equivalentWyckoffpositionsandequivalentdescriptionsofcrystalstructures .. .. 838
3.5.3.3. Equivalentlistsofstructurefactors .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 849
3.5.3.4. Euclidean-andaffine-equivalentsub-andsupergroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 849
3.5.3.5. Reductionoftheparameterregionstobeconsideredforgeometricalstudiesofpointconfigurations .. .. .. .. .. 850
3.5.4.Normalizersofpointgroups(E.KochandW.Fischer) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 851
3.6. Magnetic subperiodic groups and magnetic space groups (D. B. Litvin) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 852
3.6.1.Introduction .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 852
3.6.2.Surveyofmagneticsubperiodicgroupsandmagneticspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 852
3.6.2.1. Reducedmagneticsuperfamiliesofmagneticgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 852
3.6.2.2. Surveyofmagneticpointgroups,magneticsubperiodicgroupsandmagneticspacegroups .. .. .. .. .. .. .. .. 853
3.6.3.Tablesofpropertiesofmagneticgroups .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 857
3.6.3.1. Latticediagram .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 857
3.6.3.2. Heading .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 857
3.6.3.3. Diagramsofsymmetryelementsandofthegeneralpositions .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 859
3.6.3.4. Origin .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 861
3.6.3.5. Asymmetricunit .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 861
3.6.3.6. Symmetryoperations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 861
3.6.3.7. Abbreviatedheadline .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 862
3.6.3.8. Generatorsselected .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 862
3.6.3.9. Generalandspecialpositionswithspins(magneticmoments) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 862
3.6.3.10. Symmetryofspecialprojections .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 862
3.6.4.ComparisonofOGandBNSmagneticgrouptypesymbols .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 863
3.6.5.Maximalsubgroupsofindex(cid:3)(cid:3)4 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 863
Authorindex .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 867
Subjectindex .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 869
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