Table Of ContentTeubner Studienblicher
Mathematik
Afflerbach: Statlstik-Praktikum mit dem PC. OM 24,80
Ahlswede/Wegener: Suchprobleme. DM 32,-
Aigner: Graphentheorle. DM 29,80
Ansorge: Dlfferenzenapproxlmatlonen partleller Anfangswertaufgaben. DM 32,-(LAMM)
Behnen/Neuhaus: Grundkurs Stochastik. 2. Auf!. DM 36,-
Bohl: Finite Modelle gewiShnllcher Randwertaufgaben. DM 32,-(LAMM)
Bohmer: Spline-Funktlonen. DM 32,-
Brocker: Analysis In mehreren Varlablen. DM 34,
Bunse/Bunse-Gerstner: Numerische Llneare Algebra. 314 Seiten. DM 36,
Clegg: Varlationsrechnung. DM 19,80
v. Collani: Optima Ie Warenelngangskontrolle. DM 29,80
Collatz: Dlfferentialglelchungen. 6. Auf!. DM 34,-(LAMM)
Collatz/Krabs: Approxlmationstheorle. DM 29,80
Constantinescu: Dlstrlbutionen und Ihre Anwendung In der Physik. DM 22,80
Dinges/Rost: Prlnzlpien der Stochastlk. DM 36,-
Fischer/Sacher: ElnfUhrung In die Algebra. 3. Auf!. DM 23,80
Floret: MaS-und Integrationstheorle. DM 34,-
Grigorieff: Numerlk gewohnllcher Dlfferentlalglelchungen
Band 2: DM 34,-
Hackbusch: Theorie und Numerlk elllptischer Differentlalglelchungen. DM 38,
Hackenbroch: Integrationstheorle. DM 22,80
Hainzl: Mathematik fur Naturwlssenschaftler. 4. Auf!. DM 36,-(LAMM)
Hassig: Graphentheoretische Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Hettich/Zenke: Numerische Methoden der Approximation und seml-Inflnltlven
Optlmlerung. DM 26,80
Hilbert: Grundlagen der Geometrle. 13. Auf!. DM 28,80
Jeggle: Nlchtllneare Funktlonalanalysls. DM 28,80
Kall: Analysis fUr Okonomen. DM 28,80 (LAMM)
Kall: L1neare Algebra fur Okonomen. DM 24,80 (LAMM)
Kall: Mathematische Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Kohlas: SI; . ilsl+ Methoden des Operations Research. DM 26,80 (LAMM)
Integrationstheorie
Eine EinfUhrung in die Integrationstheorie
und ihre Anwendungen
Von Dr. rer. nat. Wolfgang Hackenbroch
o. Professor an der UniversiUit Regensburg
Mit 8 Figuren
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
1987
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VORWORT
Der vorliegende Text tiber Integration ist aus einem dreisemestrigen
Grundkurs "Analysis" hervorgegangen. Diesem Ursprung, wie auch der
Erfahrung, daB es den Studenten hoherer Vorlesungen aus der Analysis
oder Stochastik haufig an maBtheoretischem Grundwissen mangelt, ent
sprechen die Ziele dieser Einftihrung, namlich
- von den im Laufe des ersten Semesters erworbenen mathematischen
Kenntnissen auszugehen
- Riemann-Stieltjes-Integrale tiber Intervallen an den Anfang zu stell en
und gerade so weit zu entwickeln, wie sie nach wie vor von Nutzen sind, mit
beliebigen Verteilungsfunktionen als Integratoren, und unter EinschluB
von Kurvenintegralen im Rn
- davon unabhangig dann das Lebesgue-Integral tiber allgemeinen MaB
raumen aufzubauen, wobei im Zweifel stets der handlicheren, wenn auch
etwas spezielleren Formulierung vor maBtheoretischen Verfeinerungen der
Vorzug gegeben wurde
- schlieBlich die Theorie auch anzuwenden.
Ais Anwendungen werden solche Themenkreise der Analysis behandelt,
die einerseits von grundsatzlichem eigenen Interesse sind, und wo anderer
seits ein flexibler Integralbegriff unentbehrlich ist. Hierzu gehort ein Pa
ragraph iiber Fouriertransformation auf dem Rn, dann eine ausfiihrliche
Behandlung der auf Faltung mit glatten Funktionen beruhenden Reich
haltigkeitssatze fiir Testfunktionen in Verbindung mit den Grundideen
der Distributionentheorie, aber auch, als Beispiel fiir die Kraft von Hil
bertraumschliissen und damit fur die Bedeutung der Vollstandigkeit des
Raumes L2(,,), ein Beweis des Radon-Nikodym'schen Satzes iiber die Exi
stenz von Dichten.
Ein eigener Abschnitt widmet sich dem Studium spezieller MaBe und ihrer
Integrale. Neben dem LebesguemaB und allgemeinen ProduktmaBen (mit
dem Satz von Fubini) sind dies vor allem BorelmaBe auf Intervallen (im
Zusammenhang mit Stieltjes-Integralen), diskrete MaBe (und Summatio
nen) sowie die BildmaBe (mit zugehorigem Transformationslemma).
Ein Grenzfall unseres Programms ist die Diskussion des GauB'-schen Di
vergenzsatzes im letzten Paragraphen, der als einziger Satz in diesem Buch
nicht ganz bewiesen wird. Die Existenz des RandmaBes ist zwar durch
eine einfache maBtheoretische Uberlegung sehr plausibel gemacht. Ein
vollstandiger Beweis scheint aber doch am zweckmiiBigsten iiber eine Re
duktion auf das LebesguemaB mit Hilfe lokaler Koordinaten geftihrt zu
werden und ist damit eher ein Gegenstand der Differentialrechnung.
Dieser Text enthalt keine Ubungsaufgaben - man findet sie zur Geniige in
den Lehrbiichern der Analysis bzw. MaBtheorie (etwa den im Literatur
verzeichnis angegebenen). Der Leser kann also sicher sein, daB ihm nicht
mehr - aber auch nicht weniger - zugemutet wird, als die vielen, zwar
knapp, aber doch "vollstandig" argumentierenden Beweise sorgfci.ltig mit
zuvollziehen und dabei den Blick auf das Ganze nicht zu verlieren. Er
wird dann von selbst die unerlaBliche Routine im Umgang mit Integralen
gewinnen.
5
Bei der Bearbeitung der Korrekturen haben mich Frau I. Thalmaier und
Herr Dr. K. Barbey aufs beste unterstiitzt; Herr Dr. M. Moller half
mit Rat und Tat, wo immer Schwierigkeiten bei der Textverarbeitung
auftraten. Ihnen gilt mein herzlicher Dank. Ganz besonderen Dank sage
ich Frau I. Herrmann, die mit groBem Geschick und unermiidlicher Geduld
ein handgeschriebenes Manuskript in ein wohlgesetztes Buch verwandelte.
Regensburg, im September 1987 Wolfgang Hackenbroch
INHALTSVERZEI CHNIS
§1 Stieltjes- und Riemann-Integrale auf kompakten
Intervallen 7
§2 U nbestimmtes Integral; uneigentliche Integrale 21
§3 Kurvenintegrale im Rn und Stammfunktionen bei
Funktionen mehrerer Variabler 29
§4 MeBraume 37
§5 MeBbare Funktionen 41
§6 Ma6e 45
§7 Integrale 56
§8 Grenzwertsiitze fur Integrale 64
§9 Einige spezielle MaBe und ihre Integrale 70
§ 10 Die Riiume LP(p) fur p = 1,2,00. Satz von
Radon-Nikodym 86
§11 Produktma6e und Satz von Fubini 86
§ 12 Der Substitutionssatz 93
§ 13 Faltung und Gliittung 103
§ 14 Regularitiit von MaBen und Dichtheitsalissagen 109
§15 Fouriertransformation 120
§ 16 Diskussion des GauB'schen Integralsatzes 127
Literaturverzeichnis 139
Symbolverzeichnis 139
Stichwortverzeichnis 141
§ 1. Stieltjes- und Riemann-Integrale auf kompakten
Intervallen.
ft
Wir wollen das element are Stieltjes- (bzw. Riemann-) Integral f dg als
Grenzwert entsprechender Zerlegungssummen definieren und die wichtig
sten Rechenregeln fur seine Abhiingigkeit von fund g ableiten. Fur stetig
differenzierbares g er~ibt sich eine Reduktion auf "klassische" Riemann
Integrale der Form fa f(x) dx.
Wir fixieren in diesem Paragraphen ein nicht-ausgeartetes kompaktes In
tervall I = [0:,,8] in R.
Bezeichnungen: 1. Eine Zerlegung Z = (to, t1, ... , tr) des Intervalls
list eine endliche aufsteigend geordnete Familie von Zwischenpunkten
to = 0: < t1 < ... < tr = ,8.
2. Zu einer Zerlegung Z = (to, t1, ... , tr) von lund zwei Funktionen
f, g : I -+ C betrachten wir die Zerlegungssummen
r
I: I:
Idgl := Ig(tk) - g(tk-1)1
Z k=l
I: Ir :
f dg := f(tk-1)(g(tk) - g(tk-1))
Z k=l
I: r
df dg := I:(f(tk) - f(tk-1))(g(tk) - g(tk-d)·
Z k=l
lemma (iiber parlielle Summation): Bei beliebiger Zerlegung Z von lund
beliebigen Funktionen f, g : I -+ C gilt
I: I: I:
f dg + g df + df dg = f(,8)g(,8) - f( 0: )g( 0:)
Z Z Z
Beweis:
r
f(,8)g(,8) - f(o:)g(o:) = I:U(tk)g(tk) - f(tk-dg(tk-d) =
k=l
r r
= I:f(tk)(g(tk) - g(tk-1)) + I:g(tk-I)(f(tk) - f(tk-d)
k=l k=l
= I:fdg+ I:dfdg+ I:gdf. •
Z Z Z
8 Integrationstheorie
Bezeichnung: Fiir zwei Zerlegungen Z, Z' von I heiBt Z' Verfeinerung
von Z (in Zeichen: Z' ~ Z), wenn jeder Zerlegungspunkt von Z auch zu
Z' gehort.
Beobachtung: Die Gesamtheit Z aller Zerlegungen Z von list beziiglich
der Verfeinerungsrelation ~ "nach oben gerichtet", d.h. zu beliebigen
Z, Z' E Z existiert ein Z" E Z mit Z" ~ Z & Z" ~ Z'.
Definition: Ein Netz iiber Z in C ist eine Familie (a Z ) Z E Z von Zah
len az E C. (az)zEz konvergiert gegen a E C (kurz: az -- a oder
limaz = a), wenn gilt:
zu "1£ > 0 3 Zo E Z so, daB laz - al < £ fiir Z ~ Zoo
Bemerkung: Fiir Netze in C gelten dieselben Grenzwertregeln wie fiir
Folgen (mit nur leicht modifizierten Beweisen), insbesondere fur konver
gente Netze (az)zEz und (bZ)ZEZ die Konvergenz der Netze (az+bz)zEZ
bzw. (az· bZ)ZEZ mit
limaz + limbz = lim(az + bz)
limaz ·limbz = lim(az· bz);
femer gilt das Cauchy-Kriterium:
(aZ)ZEZ konvergiert{:}(az)zEz ist Cauchy-Netz
d.h. zu jedem £ > 0 existiert ein Zo E Z so, daB laz - az,l < £ fiir aIle
Z,Z' ~ Zoo
Beispiel: 1 Bezeichnet fiir Z := (to, t1, ••. , tr) E Z die nichtnegative
Zahl IZI := maxl<k<r(tk - tk-d das FeinheitsmaB von Z, so gilt fiir das
Netz (IZl)zEz off~nbar IZI -- o.
2 Bei beliebigem 9 : 1-- C ist das Netz (Lz Idgl)zEz monoton
wachsend (also Z ~ Z' ::::} Lz Idgl ~ Lz' Idgl) und konvergiert in R+
gegen sein Supremum:
L L
Idgl / sup Idgl =: Variation (g)
z ZEZ Z
