Integration, probabilites et processus aleatoires

248 Pages·2005·1.103 MB·French

by  Le Gall J.-F.

Magist(cid:18)ere MMFAI
Int(cid:19)egration, Probabilit(cid:19)es
et Processus Al(cid:19)eatoires
Jean-Franc(cid:24)ois Le Gall
Septembre 2005
D(cid:19)epartement Math(cid:19)ematiques et Applications
Ecole normale sup(cid:19)erieure de Paris
2
Sommaire
I Int(cid:19)egration 5
1 Espaces mesur(cid:19)es 7
1.1 Ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Int(cid:19)egration par rapport (cid:18)a une mesure 15
2.1 Int(cid:19)egration de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Fonctions int(cid:19)egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Int(cid:19)egrales d(cid:19)ependant d’un param(cid:18)etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Construction de mesures 27
3.1 Mesures ext(cid:19)erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Liens avec l’int(cid:19)egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Un exemple d’ensemble non mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Int(cid:19)egrale de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de repr(cid:19)esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Espaces Lp 41
4.1 D(cid:19)e(cid:12)nition et in(cid:19)egalit(cid:19)e de Ho(cid:127)lder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 L’espace de Banach Lp(E; ;(cid:22)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A
4.3 Th(cid:19)eor(cid:18)emes de densit(cid:19)e dans les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Mesures produits 53
5.1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es sur les espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Construction de la mesure-produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.1 Int(cid:19)egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.3 Calcul du volume de la boule unit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3
6 Mesures sign(cid:19)ees 65
6.1 D(cid:19)e(cid:12)nition et variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 La d(cid:19)ecomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 La dualit(cid:19)e Lp Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
(cid:0)
6.4 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de repr(cid:19)esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Formule de changement de variables
et compl(cid:19)ements 77
7.1 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Mesure de Lebesgue sur la sph(cid:18)ere unit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II Probabilit(cid:19)es 85
8 Fondements de la th(cid:19)eorie des probabilit(cid:19)es 87
8.1 D(cid:19)e(cid:12)nitions g(cid:19)en(cid:19)erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1 Espaces de probabilit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.2 Variables al(cid:19)eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.1.3 Esp(cid:19)erance math(cid:19)ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.1.4 Exemple : le paradoxe de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1.5 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.6 Fonction de r(cid:19)epartition d’une variable al(cid:19)eatoire r(cid:19)eelle . . . . . . . . . 95
8.1.7 Tribu engendr(cid:19)ee par une variable al(cid:19)eatoire . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Moments de variables al(cid:19)eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.1 Moments d’ordre p et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.2 La r(cid:19)egression lin(cid:19)eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.3 Fonctions caract(cid:19)eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2.4 Fonction g(cid:19)en(cid:19)eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9 Ind(cid:19)ependance 105
9.1 Ev(cid:19)enements ind(cid:19)ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Variables al(cid:19)eatoires et tribus ind(cid:19)ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3 Le lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.4 Sommes de variables al(cid:19)eatoires ind(cid:19)ependantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10 Convergence de variables al(cid:19)eatoires 121
10.1 Les di(cid:11)(cid:19)erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2 La loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.3 La convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.4 Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.4.1 La convergence des mesures empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.4.2 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.4.3 Extension au cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4
11 Conditionnement 139
11.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 La d(cid:19)e(cid:12)nition de l’esp(cid:19)erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.2.1 Cas des variables int(cid:19)egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.2.2 Cas des variables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.2.3 Le cas particulier des variables de carr(cid:19)e int(cid:19)egrable . . . . . . . . . . . 145
11.3 Propri(cid:19)et(cid:19)es sp(cid:19)eci(cid:12)ques de l’esp(cid:19)erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.4 Calculs d’esp(cid:19)erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.4.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.4.2 Cas des variables a(cid:18) densit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.4.3 Conditionnement gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.5 Probabilit(cid:19)es de transition et lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 153
III Processus al(cid:19)eatoires 157
12 Th(cid:19)eorie des martingales
(cid:18)a temps discret 159
12.1 D(cid:19)e(cid:12)nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.2 Temps d’arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.3 Convergence presque su^re des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.4 La convergence dans Lp pour p > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.5 Uniforme int(cid:19)egrabilit(cid:19)e et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.6 Martingales r(cid:19)etrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13 Cha^(cid:16)nes de Markov 189
13.1 D(cid:19)e(cid:12)nition et premi(cid:18)eres propri(cid:19)et(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
13.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2.1 Variables al(cid:19)eatoires ind(cid:19)ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2.2 Marches al(cid:19)eatoires sur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.2.3 Marche al(cid:19)eatoire simple sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.2.4 Processus de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.3 La cha^(cid:16)ne de Markov canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.4 La classi(cid:12)cation des (cid:19)etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.5 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
13.6 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.7 Martingales et cha^(cid:16)nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14 Introduction au mouvement brownien 217
14.1 Le mouvement brownien comme limite de marches al(cid:19)eatoires . . . . . . . . . 217
14.2 La construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
14.3 La mesure de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.4 Premi(cid:18)eres propri(cid:19)et(cid:19)es du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.5 La propri(cid:19)et(cid:19)e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14.6 Fonctions harmoniques et probl(cid:18)eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5
14.7 Fonctions harmoniques et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6
Partie I
Int(cid:19)egration
7

Chapitre 1
Espaces mesur(cid:19)es
1.1 Ensembles mesurables
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.1 Soit E un ensemble quelconque. Une tribu (ou (cid:27)-alg(cid:18)ebre) sur E est une
famille de parties de E telle que:
A
(i) E ;
2 A
(ii) A Ac ;
2 A ) 2 A
(iii) Si A pour tout n N, on a aussi A .
n n
2 A 2 2 A
n N
[2
Les(cid:19)el(cid:19)ementsde sontappel(cid:19)espartiesmesurables, ouparfois -mesurabless’ilyaambigu^(cid:16)t(cid:19)e.
A A
On dit que (E; ) est un espace mesurable.
A
Cons(cid:19)equences de la d(cid:19)e(cid:12)nition :
(1) ?
2 A
(2) Si A pour tout n N, on a aussi A .
n n
2 A 2 2 A
n N
\2
(3) Puisqu’on peut toujours prendre A = ? pour n assez grand, la propri(cid:19)et(cid:19)e (iii) entra^(cid:16)ne
n
que est stable par r(cid:19)eunions (cid:12)nies (et de m^eme par intersection (cid:12)nies).
A
Exemples.
= (E) ;
(cid:15) A P
= ?;E est la tribu triviale ;
(cid:15) A f g
l’ensemble des parties de E qui sont (au plus) d(cid:19)enombrables ou dont le compl(cid:19)ementaire
(cid:15)
est (au plus) d(cid:19)enombrable forme une tribu sur E.
Pour donner des exemples plus int(cid:19)eressants, on remarque qu’une intersection quelconque
de tribus est encore une tribu. Ceci conduit a(cid:18) la d(cid:19)e(cid:12)nition suivante.
9
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.2 Soit un sous-ensemble de (E). Il existe alors une plus petite tribu sur
C P
E qui contienne . Cette tribu not(cid:19)ee (cid:27)( ) peut ^etre d(cid:19)e(cid:12)nie par
C C
(cid:27)( ) = :
C A
tribu;
A \C(cid:26)A
(cid:27)( ) est appel(cid:19)ee la tribu engendr(cid:19)ee par .
C C
Tribu bor(cid:19)elienne. Pour donner un premier exemple de l’int(cid:19)er^et de la notion de tribu
engendr(cid:19)ee, consid(cid:19)erons le cas ou(cid:18) E est un espace topologique.
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.3 Supposons que E est un espace topologique, et soit la classe des ouverts
O
de E. La tribu (cid:27)( ) est appel(cid:19)ee tribu bor(cid:19)elienne et not(cid:19)ee (E).
O B
La tribu bor(cid:19)elienne est donc la plus petite tribu qui contienne tous les ouverts de E. Les
(cid:19)el(cid:19)ements de (E) sont appel(cid:19)es bor(cid:19)eliens de E.
B
Dans la suite, a(cid:18) chaque fois que l’on consid(cid:19)erera un espace topologique, par exemple R
ou Rd, on supposera sauf indication du contraire qu’il est muni de sa tribu bor(cid:19)elienne.
Exercice. V(cid:19)eri(cid:12)er quelatribu (R)estaussi engendr(cid:19)ee parlesintervalles ]a;b[, a;b R,
B 2
a < b, ou par les intervalles ] ;a[, a R, ou encore les intervalles ] ;a[, a Q (on
(cid:0)1 2 (cid:0)1 2
peut aussi remplacer intervalles ouverts par intervalles ferm(cid:19)es).
Tribu-produit. Un deuxi(cid:18)eme exemple important de la notion de tribu engendr(cid:19)ee est la
tribu-produit.
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.4 Soient (E ; ) et (E ; ) deux espaces mesurables. La tribu-produit est
1 1 2 2
A A
la tribu sur E E d(cid:19)e(cid:12)nie par
1 2
(cid:2)
= (cid:27)(A A ; A ;A :
1 2 1 2 1 1 2 2
A (cid:10)A (cid:2) 2 A 2 A g
Exercice. V(cid:19)eri(cid:12)er que
(R2) = (R) (R):
B B (cid:10)B
1.2 Mesures positives
Soit (E; ) un espace mesurable.
A
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.2.1 Une mesure positive sur (E; ) est une application (cid:22) : [0; ] qui
A A (cid:0)! 1
v(cid:19)eri(cid:12)e les propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes:
(i) (cid:22)(?) = 0 ;
(ii) Pour toute famille (A ) de parties mesurables disjointes,
n n N
2
(cid:22) A = (cid:22)(A ):
n n
(cid:16)n[2N (cid:17) Xn2N
10