Intégration et Analyse de Fourier

373 Pages·2010·2.7 MB·French

Int´egration et Analyse de Fourier
Cours de premi`ere ann´ee
donn´e `a l’Ecole normale sup´erieure de Lyon
ann´ee universitaire 2005-2006
C´edric Villani
Unit´e de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees
´
Ecole normale sup´erieure de Lyon
46 all´ee d’Italie
69364 Lyon Cedex 07
[email protected]

Table des mati`eres
Avant-Propos 5
Bibliographie 9
Notations et conventions 13
Introduction : Motivations de l’int´egrale de Lebesgue 15
CHAPITRE I. Th´eorie abstraite de la mesure 19
I-1. Espaces mesur´es 19
I-2. Rappels de topologie 29
I-3. R´egularit´e des espaces mesur´es 40
I-4. Prolongement de mesures 47
I-5. Compl´etion de mesures 59
I-6. Application : Construction de la mesure de Lebesgue 60
I-7. Compl´ement : Recouvrement et remplissage 61
CHAPITRE II. Int´egration selon Lebesgue et selon Riesz 67
II-1. Fonctions mesurables 67
II-2. Construction de l’int´egrale 74
II-3. L’int´egrale est une forme lin´eaire positive 80
II-4. Le th´eor`eme de Riesz 83
II-5. Int´egration `a valeurs vectorielles 91
CHAPITRE III. Th´eor`emes fondamentaux d’int´egration 95
III-1. Comportement face aux limites 95
III-2. Int´egration sur les espaces produits 110
III-3. Changement de variable 121
III-4. In´egalit´es int´egrales ´el´ementaires 124
III-5. E´qui-int´egrabilit´e et tension 133
III-6. Produits infinis 137
Appendice : Rappels sur les fonctions convexes 148
CHAPITRE IV. La mesure de Lebesgue 151
IV-1. Construction de la mesure de Lebesgue 151
IV-2. Propri´et´es fondamentales de la mesure de Lebesgue 154
IV-3. L’int´egrale de Lebesgue g´en´eralise l’int´egrale de Riemann 161
IV-4. R`egles de calcul associ´ees `a l’int´egrale de Lebesgue 164
IV-5. Mesurabilit´e, non-mesurabilit´e, et paradoxes de Banach–Tarski 170
CHAPITRE V. Les mesures de Hausdorff 179
V-1. Motivations 179
V-2. Construction des mesures de Hausdorff 182
4 TABLE DES MATIE`RES (13 juin 2010)
V-3. Identification des mesures de Hausdorff 188
V-4. Dimension 195
V-5. Utilisation dans les changements de variables 201
CHAPITRE VI. Espaces de Lebesgue et mesures sign´ees 203
VI-1. Espaces Lp de Lebesgue 203
VI-2. In´egalit´es et relations entre espaces de Lebesgue 212
VI-3. Espace des fonctions mesurables 224
VI-4. Espaces de mesures 228
CHAPITRE VII. Analyse de Banach - A` COMPLE´TER 243
VII-1. La compl´etude et ses cons´equences 243
VII-2. R´egularit´e des espaces de Banach 254
VII-3. Projection 270
VII-4. Dualit´e 274
VII-5. Convergence et compacit´e 286
VII-6. Int´egration au sens faible 314
VII-7. Convexit´e 316
VII-8. Retour sur les espaces de Hilbert 327
CHAPITRE VIII. Analyse sur les groupes ab´eliens - A` RE´DIGER 331
CHAPITRE IX. Fonction maximale de Hardy–Littlewood - A` RE´DIGER 333
CHAPITRE X. D´esint´egration 335
X-1. Th´eor`eme de Lebesgue–Radon–Nikodym 335
X-2. D´esint´egration 339
X-3. D´esint´egration constructive 351
X-4. D´erivation des fonctions absolument continues 351
X-5. D´ecomposition des mesures d’une infinit´e de variables 351
CHAPITRE XI. Analyse de Fourier – A` COMPLE´TER 353
XI-1. Th´eorie de Fourier 353
XI-2. Fourier calculateur : deux lois fondamentales des probabilit´es 361
ˆ
XI-3. Fourier physicien : l’Age de la Terre 369
XI-4. Fourier analyste : r´egularit´e 373
Avant-Propos
Ce cours constitue une introduction `a deux outils fondamentaux de l’analyse :
d’une part, la th´eorie de la mesure et de l’int´egration, telle qu’elle a ´et´e d´evelopp´ee
au vingti`eme si`ecle `a partir des id´ees de Borel et Lebesgue; d’autre part, l’analyse de
Fourier. Ces deux sujets sont tr`es li´es, ne serait-ce que pour des raisons historiques.
En r´edigeant ces notes, j’ai adopt´e les principes suivants.
Ce cours n’est pas un ouvrage de r´ef´erence. La bibliographie est volontairement
r´eduite `a un petit nombre d’ouvrages — ceux que j’utilise moi-mˆeme r´eguli`erement.
Pour autant, les perspectives historiques ne seront pas compl`etement n´eglig´ees,
et seront souvent bri`evement ´evoqu´ees au moment de l’introduction des nouveaux
concepts. J’ai ´egalement tˆach´e de motiver l’introduction de l’int´egrale de Lebesgue,
et expliqu´e en d´etail pourquoi elle g´en´eralise celle de Riemann. Outre l’int´erˆet his-
torique de cette question, il m’a sembl´e qu’elle ´etait importante pour les ´etudiants,
qui ont presque tous commenc´e la th´eorie de l’int´egration par l’int´egrale de Rie-
mann; et pour les applications pratiques, puisque c’est presque toujours l’int´egrale
de Riemann ou ses variantes que l’on utilise pour effectuer des calculs num´eriques
d’int´egrales.
Les liens entre th´eorie de la mesure et th´eorie des probabilit´es d’une part, logique
axiomatique d’autre part, seront esquiss´es, mais ces sujets ne seront pas d´evelopp´es.
En particulier, ce cours ne contient pas d’introduction `a la th´eorie des probabilit´es.
Dans mon opinion, une telle introduction devrait se concentrer sur le d´eveloppement
de l’intuition probabiliste, au d´etriment de l’outil technique que constitue la th´eorie
de la mesure; en corollaire, il m’a sembl´e naturel d’incorporer `a ce cours les prin-
cipaux r´esultats de th´eorie de la mesure qui sont utiles en probabilit´es (y compris
des r´esultats assez subtils tels que les th´eor`emes d’existence de Kolmogorov et de
Ionescu Tulcea, ou la loi du 0-1 de Hewitt et Savage).
Lechoix ducadre g´en´eraldanslequel d´evelopper lath´eoriede lamesure abstraite
n’est pas anodin. Traditionnellement, les ouvrages `a tendance probabiliste (comme
ceux de Billingsley) insistent sur la th´eorie des probabilit´es dans les espaces polonais
(m´etriques s´eparables complets), tandis que ceux qui sont plus centr´es sur l’analyse
fonctionnelle, tout en recherchant une grande g´en´eralit´e, pr´ef`erent le cadre locale-
ment compact, non n´ecessairement m´etrique (c’est le cas des ouvrages de Rudin,
Halmos, Bourbaki, etc.). Ce dernier point de vue paraˆıt aujourd’hui difficile `a soute-
nir,´etant donn´e le tr`es faible nombre de personnes int´eress´ees `a faire de l’int´egration
dans des espaces localement compacts non Polonais, en regard de la quantit´e prodi-
gieuse de personnes (dont beaucoup de non-math´ematiciens) qui utilisent la th´eorie
de la mesure et de l’int´egration dans des espaces polonais non localement compacts
tels que l’espace de Wiener.
6 AVANT-PROPOS (13 juin 2010)
C’est donc le point de vue des espaces polonais qui est ici d´evelopp´e prioritaire-
ment, et en particulier toutes les preuves seront effectu´ees dans un cadre m´etrique.
J’ai cependant conserv´e les hypoth`eses de compacit´e locale, non n´ecessairement
m´etrique, dans les ´enonc´es ou` elles semblent naturelles, en particulier le th´eor`eme
de Riesz. Les rappels n´ecessaires de topologie g´en´erale (lemme d’Urysohn, th´eor`eme
de Tychonov) sont donc ´enonc´es sans d´emonstration dans leur version g´en´erale,
et d´emontr´es dans le cadre m´etrique. J’ai tent´e par l`a de satisfaire `a la fois les
lecteurs novices qui auront ainsi acc`es `a des d´emonstrations compl`etes dans un
cadre m´etrique s´eparable, sans avoir jamais `a manipuler de topologie abstraite; et
les lecteurs amateurs de topologie, qui pourront facilement reconstituer les preuves
d’´enonc´es plus abstraits.
On pr´esente assez souvent la compl´etion de la tribu bor´elienne comme une
op´eration agr´eable et peu couˆteuse. Il ne me semble pas clair que cette op´eration
permette de gagner beaucoup, sinon quelques mots de justification suppl´ementaires
ici ou l`a; en revanche je suis convaincu qu’elle apporte des complications inutiles
dans l’´etude de certaines questions naturelles, par exemple sur des sujets tels que le
r´earrangement de fonctions. Il est significatif que dans le r´ecent ouvrage d’analyse de
Lieb et Loss, seule la tribu bor´elienne soit utilis´ee, et ce, sans que les d´emonstrations
en souffrent aucunement. J’ai donc pr´esent´e au lecteur la compl´etion omme une
op´eration dont il faut se m´efier – pour ma part, je ne l’utilise pas.
L’´etude des espaces de Lebesgue est l’occasion de d´evelopper une introduction
´el´ementaire mais assez compl`ete `a l’analyse fonctionnelle (chapitre VII). En´ecrivant
cette partie, par souci de rendre les preuves plus intuitives et plus constructives,
j’ai soigneusement ´evit´e tout recours `a des structures topologiques abstraites (on y
consid`ere uniquement des espaces de Banach), et j’ai syst´ematiquement utilis´e des
hypoth`eses de s´eparabilit´e ou de d´enombrabilit´e, quand le besoin s’en fait sentir,
pour ´eviter l’axiome du choix. C’est ainsi que le th´eor`eme de Hahn-Banach n’est
d´emontr´e que dans le cadre “restreint” des espaces vectoriels norm´es s´eparables.
On pourra voir dans ce choix une r´egression : par endroits, la pr´esentation dans ce
chapitre a plus de points communs avec le traitement originel de Banach, dans les
ann´ees 1930, qu’avec la th´eorie des espaces vectoriels topologiques d´evelopp´ee dans
les ann´ees 1950 et 1960.
De mˆeme, pour ce qui est de l’analyse harmonique sur des groupes localement
compacts, j’ai choisi de pr´esenter des d´emonstrations compl`etes des ´enonc´es les plus
importants (Th´eor`eme de Haar, dualit´e de Pontryagin, etc.) mais uniquement dans
le cas de groupes qui, en plus d’ˆetre localement compacts, sont m´etrisables et σ-
compacts. Ce choix diminue bien suˆr la g´en´eralit´e des ´enonc´es d´emontr´es, mais il est
suffisant pour traiter la quasi-totalit´e des groupes que l’on rencontre en pratique,
avec des preuves parfois nettement simplifi´ees.
En ce qui concerne le plan des notes, voici les quelques autres points qui me
paraissent notables.
Les questions de r´egularit´e des mesures sont abord´ees d`es le premier chapitre,
et plus g´en´eralement diverses propri´et´es faisant intervenir topologie et th´eorie de la
mesure en mˆeme temps. Des th´eor`emes d’extension `a la Carath´eodorysont pr´esent´es
dans la foul´ee. J’ai pris soin d’´enoncer une version du th´eor`eme de Carath´eodory qui
soit suffisamment g´en´erale pour pouvoirˆetre utilis´ee dans le th´eor`eme d’existence de
AVANT-PROPOS 7
lamesureproduit,dansceluidel’existence delamesuredeLebesgue,maisaussidans
le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz (dont la d´emonstration “classique” reprend
certains ´el´ements de la d´emonstration du th´eor`eme de Carath´eodory).
La lin´earit´e de l’int´egrale de Lebesgue est d’habitude ´etablie comme corollaire
du th´eor`eme de convergence monotone; cette approche est ´economique, mais a l’in-
conv´enient p´edagogique de commencer `a traiter des propri´et´es de l’int´egrale par
passage `a la limite, avant de parler de la propri´et´e plus fondamentale (au cahier des
charges de toute notion d’int´egrale!) de lin´earit´e. J’ai donc dans un premier temps
´etabli la lin´earit´e par un argument qui copie la preuve du th´eor`eme de convergence
monotone, et juste apr`es j’aifait le lien avec l’approche de Riesz, bas´ee sur les formes
lin´eaires.Ladiscussionduth´eor`emedeconvergencemonotoneestrepriseparlasuite,
dans un chapitre ind´ependant consacr´e aux propri´et´es de l’int´egrale.
Une place importante a ´et´e accord´ee au th´eor`eme d’Egorov, qui en pratique
se r´ev`ele souvent plus maniable que le th´eor`eme de convergence domin´ee. Pour
faire sentir la puissance de ce th´eor`eme, j’ai indiqu´e comment on peut l’utiliser
pour d´emontrer le th´eor`eme de convergence domin´ee. En fait on pourrait choisir le
th´eor`eme d’Egorov comme point de d´epart de la th´eorie des passages `a la limite;
mais il est sans doute plus naturel de r´eserver ce rˆole au th´eor`eme de convergence
monotone, pour son analogie formelle avec la propri´et´e d’additivit´e d´enombrable.
L’´etude des tribus et mesures produits (dans le cadre d’un produit fini ou infini)
aurait puˆetreexpos´ee d`es le d´ebut du cours, puisque le concept d’int´egrale n’est pas,
strictement parlant, n´ecessaire `a leur introduction. Cependant, j’ai suivi l’usage qui
consiste `a nepas s´eparer cette´etudedu th´eor`eme de Fubini; en outrela construction
est facilit´ee par le concept de fonction mesurable. Pour compenser ce d´efaut de
plan, j’ai annonc´e d`es le premier chapitre le r´esultat d’existence de mesure produit,
apr`es le th´eor`eme de Carath´eodory, et j’en ai donn´e une d´emonstration dans un
cas particulier. J’ai ´egalement annonc´e le th´eor`eme d’existence de Kolmogorov `a cet
endroit.
L’introduction de la mesure de Lebesgue est l’occasion d’une discussion assez
pr´ecise sur la mesurabilit´e et la non-mesurabilit´e, en rapport avec les paradoxes de
Banach-Tarski. Le lecteur y est encourag´e `a se m´efier de l’axiome du choix, ou mˆeme
`a ne pas l’utiliser du tout. Toute l’analyse classique peut se construire sans la forme
forte de l’axiome du choix.
Les mesures de Hausdorff sont absentes de la plupart des trait´es introductifs
(`a l’exception notable de celui de Billingsley); ce sujet est d’habitude r´eserv´e `a un
public plus averti. En raison de l’importance de ce concept dans de nombreuses
branches des math´ematiques, et de la popularit´e du concept de mesure fractale ou
de dimension fractale, il m’a sembl´e qu’on ne devrait pas s’en passer, mˆeme dans un
ouvrage d’introduction.
L’uniforme convexit´e des espaces de Lebesgue Lp (p > 1) est d´emontr´ee `a par-
tir des in´egalit´es de Hanner plutˆot que des in´egalit´es de Clarkson; on obtient ainsi
des estimations essentiellement optimales du module de convexit´e. On propose au
passage une d´emonstration tr`es simple des in´egalit´es de Hanner, bas´ee sur une ap-
plication directe de l’in´egalit´e de Jensen.
Dans le chapitre d’analyse fonctionnelle, j’ai inclus des ´enonc´es de compacit´e
dont je sais par exp´erience qu’ils sont tr`es pr´ecieux dans certains probl`emes d’ana-
lyse, mais dont la d´emonstration est souvent difficile `a trouver dans les ouvrages de
8 AVANT-PROPOS (13 juin 2010)
r´ef´erence : en particulier, le th´eor`eme de compacit´e de Dunford-Pettis, et celui de
Schur.
LeChapitre??traiteaussibienduTh´eor`emedeRadon–Nikodym(bienrepr´esent´e
dans les ouvrages de r´ef´erence) que du probl`eme plus g´en´eral de la d´esint´egration
de la mesure, d’ordinaire r´eserv´e aux ouvrages probabilistes un peu avanc´es. J’ai
adopt´e des conventions selon lesquelles la repr´esentation de Radon–Nikodym ap-
paraˆıt vraiment comme un cas particulier de la notion de d´esint´egration; je fais
cependant le lien avec d’autres notions plus g´en´erales de d´esint´egration. Ce chapitre
continue avec des ´enonc´es de reconstruction de la densit´e de Radon–Nikodym dans
des espaces localement compacts; j’y pr´esente aussi bien le th´eor`eme classique de
densit´e de Lebesgue (reconstruction ponctuelle) que des ´enonc´es l´eg`erement moins
pr´ecis mais plus simples de reconstruction L1.
Le Chapitre XI adopteun style diff´erent des pr´ec´edents :moins ax´e sur la rigueur
et la g´en´eralit´e, il tente de donner une intuition des applications de l’analyse de
Fourier dans des probl`emes divers issus de diff´erents champs scientifiques.
Je remercie ceux qui m’ont aid´e `a la r´edaction de ces notes par des commen-
taires, rectifications et aides ponctuelles, en particulier Luigi Ambrosio, Guillaume
Aubrun, Ha¨ım Br´ezis, Nassif Ghoussoub, E´tienne Ghys, Franc¸ois Japiot, S´ebastien
Martineau, Quentin M´erigot, Jean-Claude Sikorav.
Bibliographie
Lestextessuivantssontparticuli`erement recommand´espourapprofondircecours.
Cours concis :
Le cours de l’Ecole Polytechnique de J.-M. Bony, Int´egration et analyse hilber-
tienne (´edition 2001), constitue un excellent expos´e, concis et clair.
Le cours d’A. Gramain, Int´egration (Hermann, Paris, 1988) est agr´eable `a lire
et contient ´egalement des rappels sur l’int´egrale de Riemann.
Cours plus d´etaill´es sur l’int´egration :
Le grand classique est sans conteste l’ouvrage de W. Rudin, Real and Complex
Analysis (McGrawHill, New York, 1987, 3e ´edition), qui est ´egalement une r´ef´erence
pr´ecieuse pour l’analyse complexe.
Un expos´e clair et pr´ecis de la th´eorie de l’int´egration et de m´ethodes d’“analyse
r´eelle” en g´en´eral se trouve dans les premiers chapitres du livre de G. Folland, Real
analysis, (Wiley, New York, 1999, 2e ´edition).
L’ouvrage r´ecent de E. Lieb et M. Loss, Analysis (American Mathematical So-
ciety, Providence, 2001, 2e ´edition) est clair, p´edagogique et original; ses chapitres 1
`a 5 constituent une ouverture vivement recommand´ee.
Uneintroduction`alath´eoriedelamesurepeutaussisetrouverdansdenombreux
ouvrages de th´eorie des probabilit´es, tels celui de P. Billingsley, Probability and
Measure (Wiley, New York, 1979); et dans des ouvrages traitant de sujets li´es `a
la th´eorie de la mesure g´eom´etrique. Parmi ces derniers, on recommande la belle
synth`ese expos´ee au d´ebut de l’ouvrage de recherche de L. Ambrosio, N. Fusco et
D. Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity problems (Oxford
University Press, Oxford, 2000).
Compl´ements sur l’analyse de Fourier :
Deux ouvrages classiques proposent de nombreux d´eveloppements de l’analyse
de Fourier, dans des domaines tr`es divers des math´ematiques :
Fourier series and integrals, de H. Dym et H.P. McKean (Academic Press,
Boston, 1972), particuli`erement int´eressant pour les liens avec la th´eorie des groupes
et l’analyse complexe;
Fourier analysis, de T.W. K¨orner (Cambridge University Press, Cambridge,
1993, 5e ´edition), un livre merveilleux qui se lit comme un roman ou presque.
Perspectives historiques :
10 BIBLIOGRAPHIE (13 juin 2010)
L’ouvrage passionnant de J.-P. Kahane et P.G. Lemari´e-Rieusset, S´eries de
Fourier et ondelettes (Nouvelle Biblioth`eque Math´ematique, Cassini, Paris, 1998),
joue un double rˆole en relation avec ce cours. D’une part, la contribution de Ka-
hane est une remarquable synth`ese de l’histoire des s´eries de Fourier, depuis leur
cr´eation jusqu’`a la th´eorie moderne, en relation avec les progr`es de l’int´egration. On
y assistera en passant `a la naissance de la th´eorie des ensembles, d´evelopp´ee par
Cantor pour r´esoudre des probl`emes de r´egularit´e de s´eries enti`eres! D’autre part, la
contribution de Lemari´e-Rieusset pr´esentera l’histoire des ondelettes et leur th´eorie
moderne.
L’ouvrage de r´ef´erence en ce qui concerne la naissance et le d´eveloppement
de l’int´egrale de Lebesgue, et des th´eories concurrentes, est le magistral trait´e de
T. Hawkins, Lebesgue’s theory of integration (Chelsea Publishing Company, The
Bronx, 1970).
Le Cours de H. Lebesgue lui-mˆeme `a l’Acad´emie des Sciences en 1903-1904,
Le¸cons sur l’int´egration (deuxi`eme ´edition Gauthiers-Villars, Paris, 1950) est tou-
jours int´eressant `a parcourir! Sa Note aux Comptes Rendus de l’Acad´emie des
Sciences, Sur une g´en´eralisation de l’int´egrale d´efinie, dat´ee du 29 avril 1901, peut
ˆetre consid´er´ee comme l’acte de naissance de la th´eorie moderne de l’int´egration.
Autres ouvrages de r´ef´erence :
Un ouvrage m´ethodique et concis sur l’int´egration dans Rn et l’´etude fine des
fonctions (d´erivabilit´e, etc.) est le trait´e de L.C. Evans et R. Gariepy, Measure
theory and fine properties of functions, CRC Press, Boca Raton, 1992); cet ouvrage
contient presque tous les outils de th´eorie de la mesure dont se servent les analystes
qui travaillent dans Rn.
L’ouvrage passionnant de S. Wagon, The Banach-Tarski Paradox (Cambridge
University Press, 1993,3e´edition) fait le point sur les paradoxes et les interrogations
axiomatiques li´es `a la mesurabilit´e et `a la non-mesurabilit´e, du type de celui de
Banach-Tarski.
Les ouvrages de K. Falconer, The Geometry of fractal sets (Cambridge Uni-
versity Press, 1985) et Fractal Geometry (Wiley, 1989) constituent une excellente
r´ef´erence sur les mesures et la dimension de Hausdorff (les r´esultats principaux en
sont repris dans le livre d’Evans et Gariepy d´ej`a mentionn´e) et leurs applications `a
l’´etude des objets fractals. Le deuxi`eme de ces ouvrages, ´ecrit pour un public non-
sp´ecialiste, contient de nombreuses images de courbes fractales et une excellente
synth`ese sur leur apparition dans divers domaines des math´ematiques, de la phy-
sique et de la mod´elisation. Sur ce sujet on pourra ´egalement consulter l’ouvrage
c´el`ebre de B. Mandelbrot, Les objets fractals (...).
Un ouvrage tr`es complet, `a consulter uniquement en cas de recherche sur un
sujet pr´ecis : Real Analysis and Probability, de R.M. Dudley (Cambridge Univer-
sity Press, 2002, 2e ´edition). On y trouve ´egalement de nombreux commentaires
historiques et bibliographiques. Un autre livre de r´ef´erence sur les liens entre th´eorie
de la mesure, analyse fonctionnelle et topologie est la somme de N. Dunford et
J.T. Schwartz, Linear Operators (Interscience Publishers Inc., New York, 1958).
Le livre de J.C. Oxtoby, Measure and Category (A survey of the analogies bet-
ween topological and measure spaces) (Springer-Verlag, New York, 1980, 2e ´edition)