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N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE INTÉGRATION Chapitres 7 et 8 123 Réimpressioninchangéedel’éditionoriginalede1963 ©Hermann,Paris,1963 ©N.Bourbaki,1981 ©N.BourbakietSpringer-VerlagBerlinHeidelberg2007 ISBN-10 3-540-35324-0 SpringerBerlinHeidelbergNewYork ISBN-13 978-3-540-35324-9 SpringerBerlinHeidelbergNewYork Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationréservéspourtouspays. Laloidu11mars1957interditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollective. Toutereprésentation,reproductionintégraleoupartiellefaiteparquelqueprocédéquecesoit,sansleconsentement del’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticles425etsuivants duCodepénal. SpringerestmembreduSpringerScience+BusinessMedia springer.com Maquettedecouverture:WMXDesignGmbH,Heidelberg Imprime´surpapiernonacide 41/3100/YL-543210- CHAPITRE VI1 MESURE DE HAAR Dans ce chapitre et le suivant, lorsque nous parlerons d'une fonction (resp. d'une mesure), il s'agira indifféremment d'une fonction (resp. d'une mesnre) réelle ou complexe ; si T est un espace localement compact, la notation X(T) désignera indiffé- remment l'espace X,(T) ou l'espace Tc(T); de même pour les notations Y(T), V(T), LP(T, p), dd(T), etc. Il est naturellement sous-entendu que dans une question où interviennent plusieurs fonctions, mesures ou espaces vectoriels, les résultats obtenus sont valables lorsque ces fonctions, mesures ou espaces vectoriels sont tous réels ou tous complexes. L'espace X(T) sera toujours supposé muni de la topologie de la convergence uniforme, l'espace V(T) de la topologie de la convergence compacte, et l'espace S(T) de la topologie limite inductive dont lu définition est rap- pelée en tête du chapitre VI.L a notation X+(T)d ésignera l'ensemble des fonctions 2 O de X(T). Si A c T, on notera toujours cp, la fonction caractéristique de A. Si t E T, E~ désignera la mesure positive définie par la masse f 1 au point t. Tous les espaces localement convexes seront supposés séparés. On notera e les éléments neutres de tous les groupes consi- dérés, sauf mention expresse du contraire. 1. Construction d'une mesure de Ham. 1. DéJinitions et notations. Soit G un groupe topologique opérant continûment à gauche (Top. gén., chap. III, 3e éd., $ 2, no 4) dans un espace 8 INT~GRATION chap. VII, $ 1 localement compact X ; pour s E G et x EX, soit sx le trans- formé de x par On notera y,(s), ou y(s), l'homéomorphisme S. de X sur X défini par (1) y(s)x = sx. On a (2) y(sf) = y(s)y(t). Si f est une fonction définie sur X, y(s)f sera définie par trans- port de structure, c'est-à-dire par la formule (y(s)f)(y(s)x) = f(x); autrement dit : Si p est une mesure définie sur X, y(s)y sera aussi définie par transport de structure, ce qui conduit a Autrement dit Si A est un ensemble (y(s)p)-intégrable, s-'A est pintégrable, et La mesure y(s)p peut aussi être définie comme l'image de p Par y(s). Au lieu d'écrire d(y(s)p)(x), il est parfois commode d'écrire dp(s-lx) ; alors, (5) prend la forme suivante : le membre de droite se déduit de celui de gauche «en chan- geant x en sx ». DÉFINITION 1. - Soit p une mesure sur X. a) On dit que p est invariante par G si y(s)p = j~ pour tout s E G. no 1 CONSTRUCTION D'UNE MESURE DE HAAR 9 b) On dit que p est relativement invariante par G si y(s)p est proportionnelle à p pour tout s E G. c) On dit que p est quasi-invariante par G si y(s)p est équi- valente à p pour tout s E G. Remarques. - 1) Supposons y invariante. Alors ]pl, gp, 9 p sont invariantes. Si p est réelle, pf et p- sont invariantes. 2) Supposons p relativement invariante et non nulle. Il existe, pour tout s G, un nombre complexe ~(s)u nique tel E que x et la fonction sur G est une représentation de G dans C* appelée multiplicateur de p. La formule (5) donne alors et la formule (6) donne Avec les conventions faites plus haut, (7) peut aussi s'écrire 3) Comme Iy(s)~l= y(s)(lpl), dire que p est quasi-inva- riante revient à dire que 1p.1 est quasi-invariante. Si p est quasi-invariante et si pr est une autre mesure sur X équivalente à p, y(s)pr est équivalente à y(s)p, donc à p, donc à pl, de sorte que p' est quasi-invariante. Dire que p est quasi-invariante par G signifie donc que la classe de p est invariante par G. Pour que p soit quasi-invariante, il faut et il suffit que l'ensemble des parties localement p-négligeables de X soit invariant par G (chap. V, § 5, no 5, th. 2), OU encore que, pour toute partie compacte p-négligeable K de X et tout s G, E sK soit p-négligeable (loc. cit., Remarque). Si p est quasi-invariante, le support de p est invariant 1 O INTEGRATION chap. VII, 8 1 par G. En particulier, si G est transitif dans X, ce support est ou bien vide (si p . = O) ou bien égal à X (si p # O). Lemme 1. - Soient X, Y, Z trois espaces topologiques, Y étant localement compact. Soit (x, y) -xy une applica-ti on continue de X x Y dans Z, qui définit une application x u, de X dans g(Y; Z) par la relation u,(y) = xy. Soient f une fonction continue dans Z, a valeurs dans R ou dans un espace de Banach, S le support de f, et p une mesure sur Y. On suppose que, pour tout x, E X , il existe un voisinage V de x, dans X U tel que uil(S) soit relativement compact dans Y. Alors : xsv a) pour tout x E X, f O u, est continue dans Y et à support compact ; - S* b) l'application x f(xy)dp(y), qui est définie d'aprds a), est continue dans X. L'assertion a) est évidente. Prouvons b). Comme la continuité est une propriété locale, on se ramène au cas où U ugl(S) est contenu dans une partie compacte Y' de Y. - XEX Comme la fonction (x,y ) f(xy) est continue dans X x Y, f u, O tend uniformément dans Y' vers f O u, quand x tend vers x, (Top. Gén., chap. X, 2e éd., 5 3, no 4, th. 3), donc p(f u,) tend O vers ,u(f use).D 'où le lemme. O Revenons maintenant aux notations antérieures. PROPOSITI1O. N- Supposons G localement compact. Soit p une mesure relativement invariante non nulle sur X. Alors x son multiplicateur est une fonction continue dans G. En effet, soient f E Z(X), S le support de f, s, un point de G, et V un voisinage compact de s, dans G ; alors est compact dans X ; d'aprés le lemme 1 et la formule (S), x(s)-l(p, f) dépend continûment de s ; si on a choisi f telle x que (p, f) # O, on voit que est continu. Soit maintenant G un groupe topologique opérant conti- nQment A droite dans un espace localement compact X ; pour s E G et x E X, soit xs le transformé de x par S. On notera Sx(s), ou S(s), l'homéomorphisme de X défini par Par transport de structure, on définit l'action de S(s) sur les fonctions et les mesures sur X : On convient d'écrire dp(xs) au lieu de d(S(s)p)(x), et (5') prend la forme On définit de manière analogue les mesures invariantes, relativement invariantes et quasi-invariantes par G sur X. Si x p est relativement invariante, on définit son multiplicateur par les formules
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