Integraltafel: Zweiter Teil Bestimmte Integrale PDF
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INTEGRALTAFEL ZWEITER TElL BESTIMMTE INTEGRALE HERAUSGEGEBEN VON WOLFGANG GROBNER NIKOLAUS HOFREITER UNO EM. O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT INNSBRUCK O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT WIEN Fiinfte, verbesserte Auflage 1973 SPRINGER-VERLAG WIEN . NEW YORK Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte. insbesondere die der "Obersetzung, des Nachdruckes, der Entnahrne von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photornechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur aUBzugsweiser Verwertung, vorbehalten. IC 1950, 1958, 1961, 1966, and 1973 by Springer-Verlag/Wien Softcover reprint of the hardcover 5th edition 1973 Library of Congress Catalog Card Number 73-9499 ISBN-13: 978-3-211-81187-0 e-ISBN-13: 978-3-7091-7601-6 DOl: 10.1007/978-3-7091-7601-6 Vorwort. Der zweite Teil der Integraltafel, welcher die bestimmten Integrale umfaBt, gleicht in seinem Aufbau dem ersten Teil. Er enthaJ.t vor allem solche Integrale, die im ersten Teil nicht vorkommen, weil die betreffenden Integralfunktionen nicht naher bekannt oder nicht tabelliert sind, so daB nur bei speziellen Grenzen bekannte Zahlwerte oder bekannte Parameterfunktionen auftreten. Um jedoch praktischen Bediirfnissen entgegenzukommen, wurden auch viele Integrale, die schon im ersten Teil verzeichnet sind, ftir spezielle, besonders haufig auftretende Grenzen berechnet und in den zweiten Teil mit aufgenommen. Noch mehr als im ersten war im zweiten Teil die Frage der richtigen Abgrenzung des Stoffes schwer zu lOsen; es ist kaum moglich, hier allen Ansprtichen gerecht zu werden, ohne den Umfang der Tafel tiber Gebtihr anschwellen zu lassen. Wir haben uns daher in allen Fallen bemtiht, durch Einftihrung von Parametem moglichst viele gleichartige Integrale zusammenzufassen; das erleichtert zugleich die tJbersicht, zieht andererseits aber die Unbequemlichkeit mit sich, daB der gerade ge suchte Integralwert nicht unmittelbar abgelesen werden kann, sondem erst durch Einsetzen der passenden Parameterwerte ermittelt werden muB. In einzelnen wichtigeren FaJ.len haben wir jedoch zur allgemeinen Formel noch eine Reihe von speziellen fiir besondere Parameterwerte hinzugefiigt. Die Einteilung und Anordnung der Integralformeln ist analog derjenigen des ersten Teiles nach den Integranden, wie aus dem Inhaltsverzeichnis unmittelbar ersichtlich ist. Bei Hinweisen wird jede Formel durch die Nummer ihres Abschnittes und durch die Nummer, die sie in diesem Ab schnitt trii.gt, gekennzeichnet; so bedeutet z. B. 221.2 a die in Abschnitt 221 (Elliptische Integrale in der Legendreschen kanonischen Form) enthaltene Formel 2 a. Wird aber auf eine Formel des selben Abschnittes verwiesen, so bleibt die Abschnittsnummer weg. Bei Rtickverweisungen auf Formeln des ersten Teiles tritt eine I voran; z. B. bedeutet 116.11 b die Formel 11 b im Ab schnitt 16 des ersten Teiles unserer Integraltafel. Wahrend die tJberpriifung der Formeln des ersten Teiles einfach durch Differenzieren erfolgen kann, ist dasselbe im zweiten Teil nicht mehr moglich. Wir geben daher zu jeder Integralformel hier einen Weg an, der zu ihrer Berechnung dient oder dienen kann. Damit solI auch der Zweck erreicht werden, eine Anleitung zur Berechnung gleichartiger Integrale zu geben, die in die Tafel nicht aufgenommen wurden. Meistens ftihren verschiedene Wege zum selben Ziel; wir haben jeweils einen Weg gewahlt, der sich im Rahmen unserer Tafel kurz angeben laBt, wollen aber damit keineswegs behaupten, daB dieser auch immer der kiirzeste und eleganteste Weg sei. Die wichtigsten allgemeinen Methoden und allgemeinen Integralformeln sind in den einleitenden Abschnitten 021 und 031 kurz aufgezahlt. Es bedeuten demnach z. B. die der Formel 333.51 a in Klammem angefiigten Hinweise (322.9 a, 021.3), daB diese Formel aus der Formel 322.9 a durch die Methode 021.3, d. h. durch partielle Integration gewonnen werden kann. Besondere Sorgfalt wurde auch im zweiten Teil auf die Zuverlassigkeit und Fehlerfreiheit der Formeln verwandt; samtliche Formeln wurden unabhangig durchgerechnet und iiberpriift. Dabei wurde auch darauf geachtet, den Geltungsbereich der Formeln sowie der in ihnen auftretenden Variablen und Parameter genau festzulegen. IV Vorworl Wir danken allen unseren Mitarbeitem in Braunschweig, die in der ersten Zeit wertvolle Kontrollrechnungen durchgefiihrt haben, besonders aber Frau Dr. M. Ho/reiter, die all die Jahre hindurch keine Miihe gescheut hat, um die schwierigsten Formeln sorgfaltig zu iiberpriifen. Unser herzlichster Dank gebiihrt auch Herm W. Korperth, der die vorbildliche Reinschrift hergestellt hat, sowie dem Springer-Verlag fiir die Herausgabe der Tafel. w. Innsbruck und Wien, September 1950. Grobner und N. Hofreiter V orwort zur fiinften Auflage. Da nur ganz wenige Anderungen wiinschenswert waren, wurde auch fUr die fiinfte Auflage dieselbe Reinschrift verwendet, die schon der ersten Auflage gedient hat. Wir danken allen, die seit Erscheinen der Integraltafel Verbesserungsvorschlage gemacht haben. Innsbruck und Wien, Sommer 1973. W. Grobner und N. Hofreiter Inhaltsverzeichnis. Salta 011. Symbole und Bezeichnungen ......... . 1 021. Methoden zur Berechnung bestimmter Integrale . 4 031. Allgemeine Integralformeln . . . . . . . . 6 1. Abschnitt. Rationale Integranden. Ill. Potenzen von ctx+~ . .. . ....... . 10 121. Potenzprodukte von mehreren linearen Ausdriicken. . . . . 11 131. Potenzen eines quadratischen Ausdrucks . . . . . . . . . 13 141. Potenzprodukte von linearen und quadratischen Ausdrucken 15 151. Potenzprodukte von x und axn + b . 18 161. Beliebige Potenzproduktc . . . . . . . . . . . . . . . . 20 17. Orthogonale Polynome. 171. Legcndresche Polynome fUr das Intervall -1:::;; x:::;; 1 23 172. Legendresche Polynome fUr das Intervall a:::;; x :::;; b 24 173. Jacobische oder hypergeometrische Polynome 26 174. Tschebischeffsche Polynome . . . . 26 175. Assoziierte Legendresche Funktionen 28 17 fl. Laguerresche Polynome . 29 177. Hermitesche Polynome . . . . . . 30 2. A bschnitt. Algebraisch irrationale Integranden. n 211. Rationale Funktionen von x und Yax+ b .. . 31 212. Rationale Funktionen von x, Yax+b. YCx+d .. . 32 213. Rationale Funktionen von x, Yaxs+ 2bx +c. . . . . 34 214. Spezialfall: Rationale Funktionen von x und Yx. + as 35 215. Spezialfall: Rationale Funktionen von x und Yx· - al 36 216. Spezialfall: Rationale Funktionen von x und Yal - Xl 37 221. Elliptische Integrale in der Legendreschen kanonischen Form . 39 222. Elliptische Integrale in der Weierstra.Bschen kanonischen Form 43 Vaor 223. Rationale Funktionen von x und + 4~r + 6asx· + 4&.ax + a. 47 3. A b s ch nit t. Elementare transzendente Integranden. JR 311. Integrale der Form (eAx, e""', ... ) dx ...•.... 52 J 312. Integrale der Form e-sx f(x) dx (Laplacetransformation) 55 J 313. Integrale der Form R (x, eAx) dx . 59 J 314. Integrale der Form R [x, ef(x)] dx 64 J 321. Integrale der Form f(log x) dx . . 68 322. Integrale dar Form Jlog [g(x)] dx • 69 323. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen 71 J 324. Integrale der Form f(x) lognx dx . 74 A. f(x) rational ..... . 74 B. f(x) algebraisch irrational 79 C. f(x) transzendent . . . . 81 VI Inhaltsverzeichn is If(X) Seite 325. Integrale der Form log [g(x)] dx. . 83 I 326. Integrale der Form F I x, log [f(x)] I dx 88 327. Exponentialintegral, Integrallogarithmus, Integralsinus, Integralkosinus und verwandte Funktionen 90 If 331. Integrale der Form (sin x, cos x) dx . 94 A. Allgemeine Formeln . . . . . . 94 B. Integrale der Form ISinmx cosnx dx. 95 C. Integrand rational gebrochen . . . . 99 D. Allgemeine Integranden . . . . . . 103 If 332. Integrale der Form (sin ax, cos bx• ... ) dx 106 If 333. Integrale der Form (x, sin ax, cos bx) dx . 116 I A. Integrale der Form xksinmax cosnbx dx 116 B. Allgemeine Integranden . . . . . . . . 124 IF 334. Integrale der Form [x, sin f(x), cos g(x), ... ] dx 131 A. fix), g(x) rational . . . . . . . . . 131 B. Allgemeine Integranden . . . . . . 133 IF 335. Integrale der Form (eaX, sin bx, cos cx) dx 135 IF 336. Integrale der Form (x, eax, sin bx, cos cx) dx 138 I 337. Integrale der Form F [x, ef(x), sin g(x), cos h(x)J dx. . 143 IF 338. Integrale der Form [x, log f(x), sin g(x), cos h(x)] dx . 146 IF 341. Integrale der Form (x, Arc sin x, Arc cos x) dx 152 IF 342. Integrale der Form (x, Arc tg x, Arc ctg x) dx . 155 I 351. Integrale der Form R (e'J..x, <Sin ax, ~ofbx) dx 160 I 352. Integrale der Form R (x, <Sin ax, ~ofbx) dx. 163 IF 353. Integrale der Form [f(x), <Sin ax, ~orbx] dx. 164 361. Integrale von Area-Funktionen 165 A. 21r <Sin X 165 B. 21r ~or x . 166 C. 2Ir:£9 x . 166 D. 21r ~tg x Jf 167 371. Grenzwerte: lim (k, x) dx. 168 k-..oo 4. Abschnitt. Eulersche Integrale. 411. Gammafunktion ..... . 169 421. Potenzprodukte von linearen Ausdriicken mit allgemeinen Exponenten 174 431. Potenzprodukte von zweigliedrigen Ausdriicken mit allgemeinen Exponenten 179 441. Potenzprodukte von mehrgliedrigen Ausdriicken mit allgemeinen Exponenten 183 5. A bschnitt. Integrale von Zylinderfunktionen. 511. Zylinderfunktionen (Besselsche Funktionen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 512. Modifizierte Zylinderfunktionen (Besselsche Funktionen mit rein imaginarem Argument) . 192 513. Verwandte Funktionen . . . . . . . 195 I 521. Integrale der Form F [x, 3v (x)] dx 196 IF 531. Integrale der Form [x, eX, logx, 3 (x)] dx . 198 v IF 541. Integrale der Form [x, sin x, cos x, 3v (X)] dx 200 IF 551. Integrale der Form [x, 3 (x), 3fL (x)] dx. . 202 v 011 -1- 011. Symbole und Bezeichnuhgen. -1) Dos Symbol (m\diY) bedeutet : It) (m,d.,v) = m(m+d)(m+2d) ... (m+(v-1)d) ) y=1,2) ... (m.,djO)=1 ; (mid,-y)= (m-d)(m-2d1 ... (m-vd) ) 1,2, ... ')r= Aligemein gilt: dv:r(~+"') (m.d.Y)= . ) , r(a) Bemerkenswert sind folgende Beziehungen: (mj-djY)= (m-(Y-1)dj d.,v) = (-1)Y'(-mjd j v) ) 11'=0)1,2) ... rCrn).(m;1·, v) = r(m+V') 11'= 0, ±1, ±2) ... (1;1.,v-)=(v,-1; v) =1"1 1"=0)1,2) ... § 2) bedeutet den Cauchyscnen Hauptwert: a) Singularitat des Integranden fOr :J..=r:I.. (a<o( < b): b .E b jf(J<)d+ fu { ~i(.x)dll J~(ll)d.X+ = n m d* b) Singulares Verhalten am Ronde des Interva/les: a. 00 _ ~~(.)()d~=~ JJ(:>e)dx. -a. -00 Bemerkung: Wir lassen C weg wenn das Integral. als (eigentliches ode,.. J uneigentliches) Integral im Riemannschen Sinn eXlstiert. (1) Wir schreiben w(mn deH' Zusatz C nur fur gewisse Parometerwerte in Frage kommt) furandere jedoch nicht. V 3) bedeutet im Reel/en immer die positive Wurzel. lj)~.x bedeutet immer den naturlichen Logaritnmus. 5) F(<P,k) E(!f,k) 1f(cpJ~)k) bedeuten die Legendreschen Normolintegrale Die entsprecnenden volls+andigen Integrale sind: (1241.1). K(k)=F(~)k) E(k)=E(1)k) TT(~)k)=lT(~)~)k). *) In der Cilteren Literatur findet sicn dawr die Bezeichnung mY/d ~.Foktorie/le von Kramp"). -2- 011 6) Weitere Funktionszeichen: €i(.x) Exponentialintegra I CS2r.1, 1312.3); -fL(.x) I ntegrollogarithmus (321.2) I 321.5). ) <p (.x) Fehleri ntegral (I 313.1)j £2(:X) Dilogarithmus ( 323.1 ) I 322.7) j ei(.)() Integralkosinus (321.3) I 333.60). J ~(.~) Integralsinus ('32r.Li}I 33 3. 5b)j ~ ex) ) $ (:x) Fresnelsche Integrole (1336.1); B(K)"') Betafunktion oder Eulersches Integral 1.Gattung (~11.q); r(z) Gammafunktion oder Eulersches Integral 2.6attung (~11.1); V(z) Psifunktion (l f11.6)j I 00 :F(oL,/J,rj:X) = (OC;1iV) (!3.,1.,Y') .xV', 1.)(1<1) r+O)-1,-2) ... y.(t;1.,Y') "V'=o Hypergeometrische Reine; Reihe von Pochhammer- Kummer, at(z) Realteil der komplexen Zahl z; OJUtz Argument (Amplitude) der komplexen Zahl z) (Houptwert ~ -Jr < ~z < Jr); [oL] diejenige gonze Zahl n) welche n<o(.< n+1 erfOllt. 7') Bezeichnungen der Zylinderfunktionen siehe 511-513. I I ;J(:J.) 8) 1(:x) = <t(.x) +0 (.xo{) bedeutet ~(.)() <c < 00. t 9) =0,511215665... Eulersche Konstante . (J.j11:10). ~ (-1))" , ) ~ =L (2V'+1)2. = O)9159b 559~... Catalansche Konstante (323.9b); 11'=0 BY' Bernou II ische Zahlen: (1323.gb]; 1 -1 1 -1' -1 5 Bo=1) B1=-"2) B2="6 J BJ,=- 30) B6= 42 ) B8=-30' B1o= 66) ) b) ~1!l = - 2~~6 B1~ = Bib: - 3~1J ) . . . -3- 011 Ey- Eulerscne Zan\en : (1333.11b). • J Eo=E1=1) E =5, E=61} Elt=138S, Es=50521) E,=2102165, 2 3 Er=199 360981) E8 = 19 391 512145) ... 10) Bei komplexen Integralen wird der Integrationsweg gelegentlich durch ioo j{ ) hinzugefugte Pfeile prQzisiert} z.B. bedeutet (Lt11.1n daB der Inte- -ioo grationsweg links um den im Ursprung gelegenen Pol des Integran den herumgefuhr+ werden soil. 11) Literoturverweise: (D) Vorlesungen iiber bestimmte lntegrale von Dirichlet) (B.d. H) .l3ierens de Haan) Tables d'jntegrales definies) Amsterdam 1858 (-1861)) (MO) Magnus,Oberheffinger, Formeln und Satze fur die speziel len Funktionen der mathematischen Physik) Berl in 1943 j (W) Watson) Theory of Bessel-Functions, Cambridge1922 (1944)j • (WW) Whittaker) Watson) Modern Analysis) Cambridge 1927: 021 -~- 021. Methoden zur Berechnung bestimmter Integra Ie. 1) Wenn man das unbestimmte Integral kennt: b j~,)()d.x = F(b)-F(a) mit F'(.x)={C.x). a. 2) Auswertung bestimmter Integrale mit Hilfe ihrer Definition als Grenz WQrte von Summen: b n L )~(.)()d.x ~ {(~Y')Ll:xy. ::: a. ,")/'::1 , n~ Beispiel: Jfi"N"l'-!( 1-2cJ..c:m,.x +~)d'x = fn-u+OnO Jn TL~ I~IVoI-( ,1-2Cia:Y.l ')1n'.11 " + (X2) = o ~o JT 1n-f1 (ct-ei tn! ) (o.-e- .l na) } Jr oc'ln 1 =tiJm_ilVl-{ =fim't-Pnn. - (0(-1)= n ~oo n ~ .J.~o n-+OO V) """''(f ex + 1 1cx.1>1) _ { JT~ r:J.'l fur -l (322.14). 0 lot.I <1, 11 3) Partielle Integration (031.2). ita) Substitution neuer Variablen ( 031.3); llb) Aigebraische Umformungen des Integranden) insbesondere Partial bruch- zerlegung. 5) Differentiation nach einem Parameter punter dem Integralzeichen:~) b b ~ =J [.pf(P) . )()d.x ) dJ = ..p(p b).db _ ..P(p a). da + Sof(oPpJ 'x) d.x , dp -f ) dpf dp I a. b ~ = J'Q~~.)()d.)() wenn a. und b von p nicht abhongen. a. 6) Integration nach einem Parameter punter dem Integralzeichen: it) b ~ b f!, S ~ = 5~{p,~)d.x, ::Jdp = )d:.c S~( p,:.c)d p. a. ex. G\. c:t 1) Reihenentwicklung des Integranden und gliedweise Integration: *) ... 00"S. x Be.isp.ie l: Jr""I"\1o) .( .)(+1 )d-:.xx = ~L (-1 )Y-1 --:Vy-1:- d.x =1] [2'- . o y,,1 0 ~) Hinsichtlich der Bedingungen unter denen diese Operationen zu J lossig sind) vergleiche die einschlagigen Lehrbucner.
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