Intégrale de Riemann : théorie et pratique : avec exercices corrigés

521 Pages·2009·14.289 MB·French

by  El Amrani, Mohammed

Mathématiques Intégrale de Riemann
Théorie et pratique
avec exercices corriges
Mohammed El Amrani
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Intégrale de Riemann
Théorie et pratique
Intégrale de Riemann
Théorie et pratique
avec exercices corrigés
Mohammed El Amrani
Hermann éditeurs
www.editions-hermann.fr
Isbn 978 27056 6924 9
© 2009, Hermann éditeurs, 6 rue de la Sorbonne 75005 Paris
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à usage privé ou de citation sont régis par la loi du 11 mars 1957.
Table des matières
Avant propos ü
1 Intégrale de Riemann 1
1.1 Intégrale des fonctions en escalier.................................... 2
1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann....................... 6
1.3 Propriétés générales de l’intégrale de Riemann................. 16
1.4 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 .................31
2 Primitives et intégrales 55
2.1 Intégrale indéfinie et primitive.............................................55
2.2 Changement de variable..........................................................62
2.3 Intégration par parties.............................................................65
2.4 Calcul de primitives................................................................69
2.5 Limite uniforme dans les intégrales.......................................80
2.6 Calcul approché d’une intégrale..........................................82
2.7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre....................89
3 Intégrales généralisées 141
3.1 Notion d’intégrale généralisée............................................141
3.2 Propriétés des intégrales généralisées..................................146
3.3 Intégrales généralisées des fonctions positives..................148
3.4 Calcul pratique des intégrales généralisées.........................151
3.5 Intégration des relations de comparaison............................159
3.6 Intégrales semi-convergentes. Règle d’A bel.....................163
3.7 Intégrales généralisées et séries...........................................165
3.8 Cas des fonctions vectorielles...............................................168
Intégration
3.9 Énoncés et solutions des exercices du chapitre.................170
4 Intégrales dépendant d’un paramètre 223
4.1 Intégrales définies dépendant d’un paramètre ..................224
4.2 Intégration sur un intervalle quelconque.........................231
4.3 Convergence monotone, convergence dominée..................247
4.4 Théorèmes de continuité et de dérivabilité........................250
4.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre...................257
5 Intégrales multiples, intégrales curvilignes 319
5.1 Définition de l’intégrale multiple de Riemann.................319
5.2 Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini........................322
5.3 Théorème de changement de variables..............................325
5.4 Intégrales curvilignes...........................................................328
5.5 Énoncés et solutions des exercices du chapitre..................334
6 Problèmes de révision et de synthèse 369
A Rappels d’analyse fondamentale 477
A. 1 Bornes supérieure et inférieure..........................................477
A.2 Continuité et limites de fonctions d’une variable..............479
A.3 Dérivabilité en une variable.................................................487
A.4 Limite et continuité en plusieurs variables.......................494
A.5 Différentielle et dérivées partielles....................................497
Bibliographie 503
Index 505
Avant-propos ni
Avant-propos
S’il est incontestable que l’intégrale de Lebesgue constitue aujourd’hui
l’un des outils les plus performants pour de nombreuses questions théo­
riques en Analyse, il est tout aussi indéniable que l’intégrale de Riemann
est l’outil incontournable dès lors que se pose la question fondamentale
du calcul effectif des intégrales ou de leur approximation.
Le but de cet ouvrage est de présenter de manière claire et détaillée la
construction de l’intégrale de Riemann ainsi que l’essentiel des théo­
rèmes permettant son utilisation pratique. Nous avons essayé d’éviter
tout formalisme inutile, et la rédaction de ce travail a d’abord été guidée
par un souci pédagogique. Nous avons constamment recherché l’équi­
libre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique, et avons
veillé à ce que les concepts et les méthodes proposés soient illustrés de
nombreux exemples.
Chacun des cinq premiers chapitres offre un grand choix d’exercices ju­
dicieusement sélectionnés en vue d’une bonne assimilation des concepts
et d’une réelle maîtrise des techniques. Le chapitre six est lui entière­
ment consacré à des problèmes de révision destinés au travail d’appro­
fondissement et de synthèse en vue des examens et des concours. Enfin,
pour la commodité du lecteur, une annexe regroupe les rappels utiles
pour un accès rapide et efficace au contenu de cet ouvrage.
Tous les exercices et problèmes proposés sont corrigés en détail et nous
avons systématiquement privilégié la solution méthodique et raisonnable
que peut découvrir l’étudiant lui-même, à une éventuelle solution “mi­
raculeuse”. Pour cela, nous avons tenu le plus grand compte des nom­
breuses remarques et suggestions formulées par les étudiants lors des
séances de travaux dirigés et de préparation aux concours pendant les­
quelles un grand nombre de ces exercices et problèmes ont été assidû­
ment et activement recherchés.
Cet ouvrage bénéficie d’une expérience de plusieurs années en théorie
de l’intégration à l’Université d’Angers et, à l’instar de mes collègues
universitaires et professeurs en classes préparatoires, je suis profondé­
IV Intégration
ment convaincu que la maîtrise à la fois conceptuelle et technique de
l’intégrale de Riemann est un atout essentiel pour l’accès aux nombreux
champs d’applications de l’Analyse mathématique ainsi qu’à la prépa­
ration du terrain en vue d’autres théories, notamment celle de Lebesgue.
Le contenu de ce livre couvre le programme d’intégration des classes
préparatoires aux grandes écoles scientifiques ainsi que celui correspon­
dant aux niveaux L1 et L2 des Facultés de Sciences. Par la diversité des
exercices et problèmes qu’il propose, cet ouvrage sera également utile
aux candidats au CAPES et à l’agrégation interne.
Enfin, ce livre est pourvu d’un index détaillé permettant une approche
adaptée aux besoins de chaque lecteur.
C’est avec un grand plaisir que j’adresse mes remerciements à monsieur
Philippe Fauvemier des Édtions Hermann pour sa parfaite disponibilité,
ainsi qu’au Professeur Ivan Lavallée pour ses précieux conseils.
Je dédie ce travail à Frédérique, Karim, Mourad et Nessim.
Chapitre 1
Intégrale de Riemann
Dans une lettre à Leibniz ^ datée du 12 février 1695, Jean Bernoulli ^
écrit : “J’ai été le premier à réfléchir à l’inverse de votre calcul différen­
tiel que j’ai désigné aussi du nom de calcul intégral Mais c’est Rie­
mann ^ qui, dans sa thèse de doctorat soutenue en 1854, élabore la théo­
rie rigoureuse de ce qu’on appelle aujourd’hui l’intégrale de Riemann.
Ses travaux généralisent de façon décisive ceux de Cauchy auteur dans
les années 1820 d’une première théorie essentiellement rigoureuse de
l’intégration des fonctions continues. Les deux grands précurseurs de
la théorie de l’intégration au XVIIIe sont incontestablement Newton
1. LEIBNIZ Gottfried (1646-1716). Mathématicien et philosophe allemand. Dis­
ciple de Descartes. Il inventa le calcul différentiel en 1676, en même temps que Newton.
2. BERNOULLI Jean (1667-1748). Mathématicien et physicien suisse. Contribua
avec son frère Jacques au développement du calcul infínitésimal. Il découvrit le calcul
exponentiel et eut aussi la gloire de former l’illustre mathématicien et physicien suisse :
Leonhard Euler.
3. RIEMANN Bernhard (1826-1866). Mathématicien allemand. Il jeta les bases
de la géométrie différentielle et ouvrit la voie aux géométries non-euclidiennes et à
la théorie de la relativité générale. On lui doit d’importants travaux sur les intégrales,
poursuivant ceux de Cauchy, qui ont donné entre autres ce qu’on appelle aujourd’hui
les intégrales de Riemann.
4. CAUCHY Augustin (1789-1857). Mathématicien français. Il est à l’origine de
l’analyse moderne : on lui doit notamment la théorie des équations différentielles et la
théorie mécanique de l’élasticité.
5. NEWTON Isaac (1642-1727). Physicien anglais. Un des plus grands scienti­
fiques des temps modernes. Apporta des contributions majeures aussi bien en physique
qu’en mathématiques. 11 entama l’étude des fonctions dérivables et de leurs dérivées
1
Intégration
qui développa sous le nom de fluxion une approche systématique de la
réciproque de la dérivation, et Leibniz [K>ur son approche géométrique
fondée sur le calcul d’aire.
Notations : Dans tout ce chapitre, on se placera sur un intervalle com­
pact (c’est-à-dire fermé et borné) [o, b] de R, non vide ni réduit à un
point (—00 < a <b < -hoo). Pour la clarté de l’exposé, nous considé­
rerons essentiellement les fonctions à numérique, c’est-à-dire les fonc­
tions à valeurs réelles. Nous expliquerons la démarche à suivre pour les
fonctions à valeurs complexes, et plus généralement pour les fonctions
à valeurs dans un espace vectoriel normé complet quelconque.
1.1 Intégrale des fonctions en escalier
1.1.1 Espace vectoriel des fonctions en escalier
Définition 1,1.2 On appelle 5uMiV/s/on de l’intervalle compact [a, &]
toute suite finie et strictement croissante de points de [a, h], dont le pre­
mier terme est a, et le dernier b.
Une subdivision de [o, i>] sera notée a := (oq = a, ai, ,an = b).
À chaque subdivision a de [a, 6] nous associerons l’ensemble S consti­
tué par les points de la suite cr.
Si CT et cr' sont deux subdivisions de [a, 6], on dit que a' est plus^ne
que cr si les ensembles S, S' respectivement associés à cr, </, vérifient
l’inclusion S C S'. En d’autres termes, la subdivision cr' est plus fine
que cr si tous les éléments de cr appartiennent à çr'. On note cr U cr'
la subdivision cr" dont l’ensemble associé est la réunion des ensembles
associés à cr et cr'.
Définition 1.1.3 Une fonction / : [a, 6] —> R est dite en escalier s’il
existe une subdivision (oq, ..., o„) de [a, b] et des éléments Ai,..., A„
et rédigea un compte rendu sur les fondements du calcul infinitésimal. Newton a fondé
l’analyse moderne. En géométrie, il classifia les cubiques et en donna des tracés corrects
avec asymptotes, inflexions et points de rebroussement. En physique, ses contributions
sont immenses, notamment en optique et en mécanique, avec la mise en place de sa
théorie de l’attraction universelle.