Ingenieur-Mathematik. Lehrbuch der höheren Mathematik für die technischen Berufe: Erster Band

511 Pages·1913·28.741 MB·German

by  Dr. ing. Dr. phil. Heinz Egerer (auth.)

lngenieur-Matheulatik
Lehrbuch der hoheren Mathematik
fur die technischen Berufe
von
Dr. ing. Dr. phil. Heinz Egerer
Diplom-ing6nieur, Dr. ing. Dr. phil., vorm. Professor fUr Ingenieur,Mechanik und Material-PrUfung
an der Terhnischen Bochschule Drontheim
Erster Band
Niedere Algebra Wld Analysis. - Lineare Gebilde der Ebene und des Raumes
in analytischer und vektorieller Behandlung. - Kegelschnitte
Mit 320 TextabbildWlgen und 575 vollstandig
gel osten Beispielen undAufgaben
Berichtigter Manuldruck 1921
Berlin
Verla g von Jul ius Springer
1913
ISBN-13: 978-3-642-89642-2 e-ISBN-13: 978-3-642-91499-7
DOl: 10.10 07/978-3-642-91499-7
AIle Rechte, insbesondere das der
Ubersetzung in fremde 8prachen, vorbehalten ..
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1913
Vorwort.
Mit vorliegendem Band erscheint ein Werk, dessen prste Anlage
noch aus der Zeit 1900 bis 1910 st-ammt, als ich Repetitorien aus
dem Gebiet der Mathematik und Mechanik fiir die Diplompriifungen
an der Technischen Hochschule Miinchen leitete1), aus einer Zeit, die
mich mit der mathematischen Denkweise unserer Studierenden ver
traut machte, mich aber auch die Schwierigkeiten eines fiir die
technische Praxis notwendigen mathematischen Studiums vollkommen
wiirdigen lieB.
Der endgiiltigen Festsetzung und teilweisen Vollendung des
Werkes habe ich meine Vorlesungen iiber Ingenieur-Mechanik zu
grunde gelegt, die ich die letzten beiden Jahre an der hiesigen
Technischen Hochschule fiir die Studierenden aller Abteilungen gab.
Demzufolge bildet der vorliegende erste Band die Unterlage zur
Statik starrer Korper einschlieBlich der Theorie der eben en und
raumlichen Fachwerke; der demnachst -erscheinende zweite Band
(Differential- und Integralrechnung, Reihen, Gleichungen, Kurven
diskussion) fiir die Elemente der Mechanik starrer und nichtstarrer
Korper; der dritte abschlieBende Band (gewohnliche Differential
gleichungen, Flachen, Raumkurven, partielle Differentialgleichungen,
Wahrscheinlichkeits- und Ausgleichsrechnung, Fouriersche Reihen usw.)
fUr allgemeine Festigkeitsrechnung und allgemeine Dynamik sowie
angewandte Mechanik.
"Ingenieur-Mathematik" habe icb das Werk betitelt und damit
Zweck und Inhaltsumgrenzung angeben wollen sowie die Behandlung
des Stoffes. Man betrachte einmal den Umfang der mathematischen
Ausbildung unserer Bau-, Maschinen - und Elektroingenieure, die
hinter jener der Mathematik-Lehramtskandidaten nicht zuriickbleibt,
1) Inzwischen erschien 1908 im Verlag Oldenburg ein "Repetitorium der
h6heren Mathematik (Lehrsatze, Formeln, Tabellen)".
IV Vorwort.
betrachte femer den Zweck dieser Ausbildung, und man wird zu
geben mussen, daB die Behandlung des Stoffes eine andere sein
muB als die fUr den Mathematiker passende. An vielen mathema
tischen Fragen muB der Ingenieur mit einer kurzen Orientierung
vorbeigleiten, in den meisten Fallen muB seine Ausbildung nur so
weit gehen, daB er imstande ist, an Hand von Spezialwerken sich
fm Bedarfsfall selbst weiterzubilden, in den Elementen selbstverstand
lich muB sein Wissen ein ganz solides sein. Fur ihn ist die Mathe
matik 'nur eine Hilfswissenschaft; die relativ geringe ~"it, die er
auf sie verwenden kann, muB eben dann durch eine mi:iglichst an
schauliche Behandlung des Stoffes ausgeniitzt werden, und das ist
unbedingt die vorwiegend graphische. Sie ist am ehesten imstande,
dem Ingenieur das zu geben, worauf es ihm beim mathematischen
Studium ankommt, namlich in erster Linie das Wesentliche, das
Qualitative eines durch Zahlen gekennzeichneten technischen Vor
ganges zu erkennen und aus der Form!:?l abzulesen, in zweiter Linie
erst das Quantitative.
Entsprechend seinem Zweck als Unterlage fUr die Statik starrer
Ki:irper, die ja nur lineare Probleme bietet, bringt der erste Band
ziemlich ausfUhrlich die Geometrie der liriearen Gebilde. Voraus
geschickt wurde ihr ein Abschnitt "Niedere Algebra und Analysis",
der als Dbergang von der elementaren Mathematik yorbereiten solI
zu den linearen Gebilden und zwar durch die Determinanten und
linearen Gleichungen. \Veiter solI dieser Abschnitt vorbereiten auf
die in der hi:iheren Mathematik so notwendige Strenge der Begriffs
festsetzung. Die Geometrie der Kegelschnitte dient als Unterlage
fUr eine Reihe technisch wichtiger Begriffe, vor aHem aber fur die
in der Mechanik, auch bereits in der Statik, recht haufig auftretende
polare Zuordnung. Eine weitere Anwendung finden die Kegelschnitte
auf die Massenmomente, deren Begriffsfestsetzung und Behandlung
gar nicht friih genug erfolgen kann.
Wir haben bis jetzt kein mathematisches Werk, das den Be
diirfnissen des modemen Ingenieurs gerecht wird. Das zeigt sich
vor aHem auch dadurch, daB in den bekannteren Lehrbiichem die
Vektorenrechnung eritweder gar nicht oder iiberaus stiefniiitterlich
behandelt wird. Man ist ja leider heute oft noch genotigt, den
Gebrauch der Vektoren fiir den Ingenieur nahezu entschuldigen zu
miissen. Und doch ist gerade die Vektorenrechnung dazu berufen,
dem Ingenieur das Wesentliche eines mechanischen V organges am
Vorwort. v
deutlichsten klarzulegen. Grund genug flir mich, die Vektoren
rechnung in breiterer Darstellung zu bringen.
Soweit nicht die Spezialausbildung des Ingenieurs ein tieferes
Eindringen in die Gebiete der allgemeinen Festigkeitslehre und
Dynamik verlangt, bietet der vorliegende Band den geometrischen
Stoff _ einer jeden technischen Ausbildung. Nimmt man von ihm
noch dasjenige hinweg, das in der nachfolgenden Anleitung als ge
gebenenfalls entbehrlicb bezeichnet ist, so bildet der Rest wohl das
unbedingt Notwendige, das meines Erachtens jeder wissen muG, der
technisch arbeitet.
Die "Ingenieur-Mathematik" soll besonders auch dem im Beruf
stehenden Ingenieur zu Hilfe kommen, sei es als Basis flir seine
math~matische Weiterbildung, sei es als Nachschlagewerk. Fur letz
teren Zweck ist besonders gesorgt durch recht zahlreiche Hinweise
auf vorausgehende Formeln. Ein noch folgendes ausfuhrliches alphabe
tisches Verzeichnis wird dem Buch als Nachschlagewerk dienlich sein.
Was und wieviel ich Neues gebracht habe, und welchen Wert
es hat, das zu beurteilen uberlasse ich der Fachki'itik.
Drontheim, den-t. Juni 1912.
Heinz Egerer.
Als kurze
Anleitung zum Studium
des Werkes gebe ieh an, daB es nieht notwendig, fiir viele nieht
einmal ratsam ist, die einzelnen Abschnitte naeheinander zu stu
dieren. leh halte es fur ganz gut, wenn neben dem mehr troekenen
Teil des ersten Absehnittes gleiehzeitig del' zweite in Angriff ge
nommen wird, soweit er sieh nieht auf den ersten stiitzt. Naeh
Absolvierung del' beiden ersten Absehnitte kann man vielleieht
wieder gleiehzeitig an den dritten und vierten gehen.
Die mit einem Stern versehenen Nummern odeI' SehluBteile
einzelnel' Nummern konnen beim ersten Studium ruhig iibersehlagen
werden, bis in einem spiiteren Band auf sie vel'wiesen wird. WeI'
nieht weitergehende mathematisehe Kenntnisse, zum Studium der
allgemeinen Festigkeitslehre und Dynamik etwa, notwendig hat, iiber
sehlagt diese N ummel'll am besten fiir immer.
Dbungen habe ieh in Form von Beispielen und Aufgaben ge
geben und als Beispiele vielfaeh die Entwieklung von Satzen, auf
die spateI' zuriiekgegriffen wil'd. Die Durohreehnung der Beispiele
rate ieh sofort vorzunehmen, die Losung del' Aufgaben kann unter
Umstanden zuriiekstehen bis zu einer Repetition des Stoffes. Die
Losung del' Reispiele sowohl wie del' Aufgaben rate ieh immer mit
dem Stift in del' Hand vorzunehmen: bei Unklarheiten und als
Kontrolle fiir die riehtige Losung maehe man Skizzen.
Eine oft gestellte Frage, welehe Formeln soIl man auswendig
wissen, beantworte ieh dahin: aIle diejenigen, von denen man selbst
wahrnimmt, daB sie oft auftreten und angewandt werden. Man ver
meide einen Ballast von auswendig gelernten Formeln; del' Ingenieur
ist mehr als irgendein anderer Berufsmenseh auf stetes N aehsehlagen
hingewiesen; fiir ihn kommt es nieht darauf an, eine Formel zu
wissen, sondern sie zu verstehert und anzuwenden.
Zum SehluB bemerke ieh noeh, daB ieh mieh, wo es anging, an
die Bezeiehnungen del' "Hiitte" gehalten habe.
Inhaltsverzeichnis.
Erster Ahschnitt.
Niedere Algebra unll Analysis. Seite
Einleitung. 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0
Summe. Produkt. Negative Zahlen. Die Zahlen 0 und 00. Unbestimlllte
Zahlen. Quotient und Teilverhaltnis. Gebroehene Zahlen. 2 bis 13 2
Potenz und Wurzel. Irrationale Zahle·n. Logarithmus. 14 bis 11} 14
0 0 0
Vereinfaehungsregelno 20 2:1
0 0 • 0 0 0 0 0 • 0 0 • • • 0 0 • • • • • 0
Wesen der komplexen Zahlen. Summe, Diffenmz, Produkt, Quotient lrom-
plexer Zahlen. Algebraisehe Operationen mit komplexen. Zahlen.
21 bis 29 . 24
0 •• 0 •• 0 0 0 ••••• 0 • • 0 ••
Nelle Zahlformen. n!. (;). Permutationen, Kombinationen, Variationen.
Binomischer Lehrsatz. 30 his 116 . 40
0 0 • • • 0 • • 0 • • • ••
Deterlllinanten. 37 his 42 o. 51
0.... 0 0 0 • • • • • • 0 • 0 0 0
j,lIgemeine Erorterungen iiber Funktionen und Gleiehungen. Lineare und
nichtlinea.re Aufgaben der Technik. Lineare Gleiehungen. Gleichung
zweiten Grades. 43 bis 54 66
0 • • • 0 • • • • • • • • • 0 0 0 0
Zweiter Abschnitt.
Lineare Gebilde der Ebene in analytischer nnd vektorieller
Behandlung.
Einig(. allgenH'ine BegrifIe. Kllordillaten und Koordinatensystelll. 55 bis 59 99
G,'umetrip auf df> .. ({eraden :\IuH~,onHvstem auf der Geraden. 60 bis 64 106
Punkt lind Punktsyst('lll in "(wht\\'inkligen Koordinaten·. Massensystem in
rler ~:bpne. H5 "i~ {ii ...... 11 a
Vektor. VektorP,IlsuIlHlIP. 6"1 his 70 ....... 119
Strc!'ke. Teilverhiil111i~. Dreieek. Vielp('k. 71 bis a0 • 127
Koonlinatensysteme IIUrl KooJ'(linatentransformation. 75 bis 7!1. 139
Kurven und Kurvengleiehung. GPradengleiehungen. 80 bis S4 . 149
Diskussion der allgemeinE'1l (:eradengleichllng. 85 bis 86 10J
Gerade und Gerade. Gt'rade und ~treeke. Gerade und Punkt.o Geraden-
system und Geradenbiischel. 87 bis 92 171
Elell1ente der linearen Transformation. 93 hi8 100 ... 190
0 0 • • • • •
D ri t tc r A b8 C h ni t t.
Kegelschnitte.
Geometrie auf der Geraden. 101 bis 102 . . 209
0 • • • 0 • • • • • • • •
Elementarsiitze der Kurvendiskussion in ilner Anwendung auf die Kegel-
schnitte. 103 bis lOS ....... 215
0 • • 0 • • 0 • 0 • 0 • •
VIn I nhaltsverzeichni$.
Seite
Kreis. 109 bis 120 . . . . . . . . . . . . . • . . . • . . . . • 238
Geometrische Entstehung der Kegelschnitte. Geometrische Deutung cler
Kegelschuittsgleichuug. 121 bis 135 263
Polare und Polarensatze. 136 bis 1<l2 290
Mittelpunktskegelschnitte.
Ellipse. H3 bis 152 302
Hyperbel. 153 bis 160 317
Parabel. 161 bis 167 . . . . . . 330
Diskussion der aligemeinen Kegelschnittsgleichung S = o. 168 bis 177 348
Spannungskreis. Triigheits- und Zentrifugalmomente. Tragheitskreis und
Tragheitsellipse. Superpositionsprinzip. 178 bis 186 . . . . . . . 373
Vierter Abschnitt.
Lineare Gebilde des Raumes in analytlscher und vektorieller
Behandlung.
Einige Raumbeziehungen. Orientierung im Raum. Raumkoordinaten.
Richtung, Strecke, Gerade. Ebene. 187 bis 197 . . . . . . . . 397
Elementare Produkte und Quotienten mit Vektoren. Arbeit und skalares
Produkt. Das Flach als Vektor. Moment und vektorielles Produkt..
198 bis 205 ........ . . . . . . . . . ... . . . . . . 425
Karper nnd MaRsensystem. 206 bis 209 . . . . . . . . . . . . . . . Hi)
Ebenengleichungen. Ebene und Ebene. Ebene nnd Punkt. Ebenenbiischel.
210 bis 216 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Geradengleichungen. Gerade und Gerade. Gerade und Punkt. 217 bis 224 461)
Gerade und Ebene. Gerade und Punkt. Gerade und Gerade. 225 bis 231 484
Erster Ab~chnitt.
Niedere Algebrq, und' Analysis.
Einleitung.
1. Algebra als Teil der hOheren Mathematik ist die Lehre von
der AuflOsung gewisser Gleichungen, die man deswegenalgebraische
Gleichungen nennt, siehe Nr. 47. Inder Elementar-Mathematik
ist sie di6 Entwicklung a11e1: jener Rechnungsregeln, die fUr diese
Auflosung notwendig sind.
Analysis ist die Entwicklung aller mathe~atischen Rechnungs
regeIn ausschlieBlich der reingeometrischen, faBt also in sich die
Algebra.als Bestandteil, soweit diese in der Elementar~Mathematik
gedeutet ist.
Die Analysis geht von gegebenen GroBen aus und.bildet neue
GruBen, indem sie die gegebenen in ganz bestimmter Weise verkniipft.
Solche Verkniipfungenoder Operationen, auch Rechnungsopera
tionen genannt, sind etwa: die Summe .gegebener GruBen, deren
Produkt usw.
Die Anwendung allgemeiner Vberlegungen auf diese genau be
stimmten Operationen fiihrt auf RegeIn, wie diese Operatlonen ein
facher zu bilden sind, aufsogenannte Rechnungsregeln, auch
Gesetze, Satze oder Formeln genannt, deren Zweck ist, vorliegende
Operationen in der einfachsten ForQl dUrchzufUhren bzw. das Resultat
in der einfachsten Form dartustellen.
Die GruBen, die die Analysis verkniipft, sind verschiedenartiger
Natur. So beschaftigt sich die Vektor-Analysis mit Vektoren, siehe
Nr. 68, es gibt eine Analysis der reeHen Zahlen, ,eine Analysis der
komplexenZahlen usw. Die Analysis d~r gewohnlichen Zahlen 1,2,
3, ... ist die. Arithmetik. Diese erweitert sich zur Buchstaben
arithmetik oder de"Algebra "im elementaren Sinn, wenn sie' mit
solchen GruBen operiert, die genau oder mit Annii.herung auf die
gewohnlichen Zahlen zuriickzufiihre,n sind und darum auch kurzweg
Egerer, Iogenleur-Mathematlk. I. 1
2 Niedere Algebra uud AnaJysis ..
Zahlen genannt werden. Uber die Elementaroperationen der Arith
metik: Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz, Wurzel, Loga
>ithmus, kommt diese niedere Algebra nicht hinaus. Rie wird zur
eigentlichen Analysis, wenn sie auBer diesen Elementaroperationen
noch aIle moglichen neuen Operationen und ZahlengroBen definiert.
Sie heiBt speziell oft niedere Analysis, lI:uch algebraische Analy
sis, wenn sie die Differential- und Integral-Rechnung aus dem Kreis
ihrer Betrachtung ausschlieBt, und oft hohere Analysis, wenn sit'
vorwiegend mit diesen beiden Rechnungsarten arbeitet.
Eine I,GroBe~' ist jedes wirkliche oder §9dachte Objekt. Diese
GroBen werden abkiirzend meist rlurch Buchstaben bezeichnet.
Sie heiBen "algebraische GroBen", wemi auf sie die Definitionen
und Sitze der Algebra angewandt werden konnen; in diesem
Fall spricht man von ihnen als von (benannten oder unbenannten)
"Zahlen".
Es sei an dieser Stelle bereits auf die verschiedene Bedeutung
deR Beriffes "algebraisch" aufmerksam gemacht: In der Elementar
Mathematik' steht ,;aIgebraisch" im Gegensatz zu "geometrisch", in
der hoheren Mathematik "algebraisch" im Gegensatz zu "transzen
dent", siehe Nr. 46. Umgekehrt steht in der hOheren Mathematik
"analytisch" in gewissem Gegensatz 'zu "geometrisch", siehe Nr. 55.
Es ist also von nun an "analytisch" zu setzen, wo die Elementar
Math.ematik meist "algebraisch" sagte.
Summe. Pl'Odukt. Negative Zahlen. Die Zahlen 0 und
,00.
Unbestimmte Zahlen. Quotient. Teilverhiiltnis. Gebrochene
Zahlen.
2. Ais naturliche Zahlen,oder in andererSprechweise positive
ganze Zahlen seien bezeichnet die benannten oder unbenanntep.
Zahlen 1, 2, 3, 4, . . ., wo jede nachfolgende Zahl· aus der vorher
gehenden .durch Hinzufuguhg der Einheit hervorgeht. Wie und
wie weit 'diese Reihe sich fortsetzt, werde an anderer 'Stelle unter
sucht. Bezeichnet a bzw: b, c, d, • . . jeweils eine bestimmte natiir
liche Zahl, w ergeht fur die erste Operation, die Addition, dit'!
Definition: a und b addieren heiBt eine neue Zahl
angeben, die so viele Einheiten hat als die gegebenen
Zahl'en a und b zusammen. (a)
Man nennt in'diesem Zusammenhang a und b Summjl.nden.
+
die gesuchte Zahl S umm e und bezeichnet sie mit a b. .
Der Begriff Summe hat somit ebenso wie die noch folgenden:
Produkt, Differenz usw., eine zweifache Bedeutung, insofern er