Ingenieur-Mathematik: Erster Band Differential- und Integralrechnung PDF
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Ingenieur-Mathematik Von Dr. Robert Sauer Professor an der •reohnischen Hochschule München Erster Band Differential- und Integralrechnung Dritte erweiterte Auflage Mit 179 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1964 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung <les Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder nur andere Art zu vervielfältigen Librnry or Congress Cntnlog C'ntalog Card Kumber 60-20059 @ Springe•·-Verlag ßcrlin Hcidclbcrg 1959, 1961 and 1964 Urspriinglich erchienen bei Springer-Verlag 01-10., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1964 Sollcoverreprint ofthe bardeover 3rd edition 1964 ISBN 978-3-662-00647-4 ISBN 978-3-662-00646-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-00646-7 Vorwort zur dritten Auflage Während die zweite Auflage ein bis auf Berichtigung von Druck fehlern unveränderter Nachdruck der ersten Auflage war, unterscheidet sich die dritte von den vorangehenden neben einigen geringfügigen Abweichungen vom alten Text durch die Hinzunahme eines weiteren Kapitels. In diesem neu hinzukommenden III. Kapitel wird eine kurze Einführung in die lineare Algebra und den Matrizenkalkül gegeben. Mehrfache Anregungen, insbesondere auch aus Ingenieurkreisen, haben mich zu dieser Erweiterung des Buches veranlaßt. Da man in allen Zweigen des Ingenieurwesens letzten Endes immer wieder auf Systeme algebraischer linearer Gleichungen geführt wird, ist in der Tat eine gewisse Vertrautheit mit der Theorie und Praxis der Auflösung dieser Gleichungen und infolgedessen auch mit dem Matrizenkalkül für den Ingenieur von großer Wichtigkeit. Dies gilt erst recht, wenn der Inge nieur sich für seine Aufgaben heutzutage mehr und mehr moderner Rechenautomaten bedienen muß. Infolge der Hinzunahme des III. Kapitels ist der frühere § 24 in Weg fall gekommen. Dadurch sind Umnumerierungen der Paragraphen und Gleichungen notwendig geworden. Bei einer Neuauflage des II. Ban des werden ebenfalls Umnumerierungen (auch der Kapitel) vorgenom men werden müssen. Was die allgemeine Tendenz des Buches betrifft, hat sich gegenüber den früheren Auflagen nichts geändert. Ich darf daher auf das Vorwort zur ersten Auflage verweisen. Wiederum habe ich vielen meiner Mitarbeiter für die kritische Durch sicht des Manuskripts, wichtige Verbesserungsvorschläge und insbe sondere für die Sorgfalt und sehr beträchtliche Mühe bei der Überar beitung und Ergänzung des Sachverzeichnisses zu danken. Vor allem richtet sich dieser Dank ,an die Herren Dr. H. HuBER und G. ScHMIDT sowie an Herrn Dr. R. BULIRSCH und Herrn C. v. CoNTA. Herzlich danke ich ferner allen Kollegen, die mir Kritik und wertvolle Ratschläge zuteil werden ließen, und schließlich dem Springer-Verlag, der auch das neue Buch in der üblichen vorzüglichen Ausstattung herausgebracht hat und zwar trotz der Vergrößerung des Umfanges zu einem auch für unsere Studierenden erschwinglichen Preis. München, Herbst 1963 Robert Sauer Vorwort zur ersten Auflage Die vorliegende "Ingenieur-Mathematik" soll den Studierenden an den Technischen Hochschulen zum Gebrauch neben den Vorlesungen, nicht an Stelle der Vorlesungen dienen. Ihr Inhalt entspricht im großen und ganzen der mathematischen Kursvorlesung, welche die Studierenden der Abteilungen für Maschinenbau, Elektrotechnik, Bauingenieur- und Vermessungswesen sowie die angehenden Diplom-Physiker und Diplom Mathematiker während der ersten drei oder vier Semester hören. Der erste Band umfaßt die Differential- und Integralrechnung ein schließlich einer Einführung in die Vektorrechnung mit einem Exkurs in die lineare Algebra und die analytische ebene und räumliche Geome trie. Der zweite Band befaßt sich mit Differentialgleichungen und Funktionentheorie sowie den Integralsätzen der Vektoranalysis. Das Hauptziel des Buches ist es, den Studierenden die grundlegenden Begriffe wie Grenzwert, Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit usw. ver ständlich zu machen, und zwar in einer Sprache, die der aufs Anschauliche gerichteten Denkweise des Naturwissenschaftlers und Ingenieurs Rech nung trägt. Dadurch soll der mathematischen Strenge kein Abbruch geschehen. Diese ist auch für die Ausbildung des Ingenieurs unerläßlich, sowohl wegen ihres allgemeinen Bildungswertes als auch wegen des Schadens, der durch unexaktes Umgehen mit mathematischen Begriffen und Methoden bei deren Anwendung auf praktische Probleme entstehen kann. Um den Umfang des Buches knapp zu halten, aber auch aus päd agogischen Gründen, erschien es angebracht, nicht alle Beweise in gleicher Ausführlichkeit darzustellen. Infolgedessen wurden viele Beweise nur skizziert, so daß der Leser angeregt wird, den einen oder anderen Beweis mit allen Einzelheiten sich selbst zurechtzulegen. Numerische und graphische Methoden sind vom Standpunkt der Anwendungen aus ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Die Ver mittlung ihrer Kenntnis gehört zur mathematischen Grundausbildung des Ingenieurs. Infolgedessen wird in diesem Buch der sogenannten "numerischen Mathematik" ein verhältnismäßig breiter Raum gegeben. Dabei müssen wir allerdings, um den Rahmen des Buches nicht zu spren gen, auf die Erörterung der mathematischen Geräte verzichten, obwohl nicht nur die einfacheren älteren Geräte (Planimeter, Analysatoren u. Vorwort zur ersten Auflage V dgl.), sondern auch die großen modernen Maschinen (programmgesteuerte elektronische Rechenanlagen und Integrieranlagen) von großer prakti scher Bedeutung für den Ingenieur sind. Es ist eine gute Tradition der deutschen Technischen Hochschulen, daß die mathematische Grundvorlesung für Maschinen-, Elektro-, Bau und Vermessungsingenieure gemeinsam gehalten wird. Dadurch wird eine zu früh beginnende Spezialisierung verhindert und dem Studieren den die Gemeinsamkeit der Grundlagen deutlich gemacht. Selbstver ständlich aber ist es nützlich und das Verständnis fördernd, wenn der Übungsstoff weitgehend dem engeren Fachbereich der Studierenden entnommen wird, wenn also die Übungen entsprechend aufgegliedert werden. Im vorliegenden Buch ist bewußt von der Darbietung von Übungsaufgaben Abstand genommen worden, erstens weil es verschie dene umfangreiche Sammlungen guter Übungsaufgaben gibt, und zwei tens weil die Studierenden ohnehin für die obligatorischen Übungen lau fend mit Übungsaufgaben versorgt werden. Das Buch soll ja nicht etwa die Vorlesungen und Übungen ersetzen, sondern lediglich das Verständ nis der Vorlesungen erleichtern. Allen meinen Mitarbeitern danke ich herzlich für ihre weitgehende und aufopfernde Hilfe. Herr Dr. H. J. STETTER und Herr Privatdozent Dr. D. SuscHOWK haben das Manuskript kritisch gelesen und mir viele wertvolle Ratschläge gegeben. Herr H. HuBER und Herr R. ScHÄTZ verwendeten viel Mühe und Arbeit auf die Anfertigung der Figuren, und alle vier genannten Herren unterstützten mich in der freundlichsten Weise beim Lesen der Korrekturen. Herr HuBER hat außerdem mit großer Sorgfalt das Sachverzeichnis angefertigt. Meinen Kollegen Prof. Dr. J. LENSE und Prof. Dr. J. HEINHOLD, sowie insbesondere auch Frau Dr. E. LENSE, danke ich herzlich für das Mitlesen der Bogen korrekturen. Herr Kollege LENSE gab mir viele wichtige Hinweise. Besonderer Dank gebührt dem Springer-Verlag, der meinen Plan so fort aufgriff und mit verständnisvollem Entgegenkommen gefördert hat und nunmehr das Buch in der traditionsgemäß guten Ausstattung er scheinen läßt. München, Herbst 1959 Robert Sauer Inhaltsverzeichnis Einleitung .......•. 1 I. Kapitel Differential- und Integralrechnung für Funktionen von einer Veränder- lichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 1. Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 2. Funktionen von einer Veränderlichen; Stetigkeit . 11 § 3. Spezielle Funktionen; Kurvendiskussion . 17 § 4. Lineare analytische Geometrie der Ebene 29 § 5. Analytische Geometrie der Kegelschnitte 45 § 6. Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . 57 § 7. Grundzüge der Differentialrechnung. . . 68 § 8. Mittelwertsätze der Differentialrechnung. 75 § 9. Numerische und graphische Differentiation; Interpolation . 80 § 10. Grundzüge der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 87 § 11. Graphische und numerische Integration . . . . . . . . . 98 § 12. Logarithmus und Exponentialfunktion; Hyperbelfunktionen . 104 § 13. Rechenschieber und logarithmische Papiere . . . . . 118 § 14. Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 § 15. TAYLOR-Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen . . . 132 § 16. Anwendungen der TAYLOR-Entwicklung für das numerische Rechnen. 140 § 17. Komplexe Zahlen. . . . . . . . . . . . 145 § 18. Elementar integrierbare Funktionenklassen . . . . . . . 156 § 19. Differentialgeometrie der ebenen Kurven . . . . . . . . 161 § 20. Anwendung der Differentialgeometrie auf die Getriebelehre 180 II. Kapitel Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Ver änderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 § 21. Funktionen von mehreren Veränderlichen ... . .... . .... 184 § 22. Graphische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher (Nomo- graphie) . . . . . . . . . . . . . . . . 192 § 23. Vektorrechnung. . . . . . . . . . . . . 196 § 24. Spatprodukt und dreireihige Determinanten 206 § 25. Lineare analytische Geometrie des Raumes 210 § 26. Analytische Geometrie der Flächen 2. Ordnung 220 § 27. Grundzüge der Differentialrechnung bei Funktionen von mehreren Ver- änderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 § 28. TAYLOR-Entwicklung für Funktionen von mehreren Veränderlichen . 230 Inhaltsverzeichnis VII § 29. Anwendung der TAYLOR-Entwicklung bei mehreren Veränderlichen für das numerische Rechnen. . . . . . . . . . . . . . . . . 237 § 30. Allgemeine Abbildungen und allgemeine Koordinatensysteme 241 § 31. Integraldarstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . 248 § 32. Mehrfache Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 § 33. Differentialgeometrie der Kurven und Flächen im Raum . 264 § 34. Anwendungen der Integralrechnung in der Mechanik . 272 III. Kapitel Lineare Algebra 276 § 35. n-reihige Determinanten . 276 § 36. Lineare Gleichungen . . . 281 § 37. Grundzüge des Matrizenkalküls . 288 § 38. Lineare Transformationen 294 Anhang: Beweise . 300 Sachverzeichnis 324 Einleitung Die Mathematik hat zwei Aspekte. Einerseits ist sie, um ihrer selbst willen betrieben, eine Geisteswissenschaft, und zwar wegen der Art ihrer Objekte und Methoden die reinste aller Geisteswissenschaften. Anderer seits ist sie ein unentbehrliches Werkzeug des Naturwissenschaftlers und des Ingenieurs und kann in diesem Sinn zu den Naturwissenschaften gerechnet werden. Je nachdem man den ersten oder zweiten Gesichts punkt hervorheben will, spricht man von "reiner" oder von "angewand ter" Mathematik. Tatsächlich aber sind beide Seiten der Mathematik untrennbar miteinander verbunden, wie das Werk großer Mathematiker wie KARL FRIEDRICH GAUSZ (1777-1855), HENRI PüiNCARE (1854- 1912}, ÜONSTANTIN ÜARATHEODORY (1873-1950) und vieler anderer zeigt. Seit ihren Anfängen wird die mathematische Forschung immer wieder durch Anwendungen angeregt und befruchtet und umgekehrt haben sich mathematische Theorien und Methoden, die zunächst im Bereich der "reinen" Mathematik entstanden waren, häufig später als nützliche Hilfsmittel für Probleme der "angewandten" Mathematik er wiesen. Wenn man die Lebensadern zwischen der reinen und augewand ten Mathematik verkümmern ließe, würde die "reine" Mathematik zu einer "abgewandten" und die "angewandte" zu einer "unreinen" Mathe matik entarten. Die Anwendungen der Mathematik dringen gegenwärtig, vor allem durch die Verwendung großer Rechenautomaten, in immer weitere Lebensbereiche vor. So sind insbesondere in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften neue Disziplinen der augewandten Mathematik ent standen, wie etwa die "Theorie der Spiele", "Operations Research" und "Linear Programming" 1. Vor allem aber werden in den Ingenieurwissenschaften bei dem raschen Fortschritt der modernen Technik immer umfassendere und tiefere mathematische Kenntnisse erforderlich. Dem vorliegenden Buch ist demgegenüber nur ein bescheidenes Ziel gesteckt. Es soll eine Einfüh rung in die Mathematik für den künftigen Ingenieur geben etwa im Um fang der an den deutschen Technischen Hochschulen üblichen "Kurs- 1 Vgl. EDWIN F. BECKENBACH: Modern Mathematics for the Engineer I, II. McGraw.Hill Book Comp., Inc., New York·Toronto.London, 1956 bzw. 1961. 1 Sauer, Ingenieur·M athematik, Bd. I, 3. Auf!. 2 Einleitung vorlesungen über Höhere Mathematik" in den ersten Semestern bis zur Vorprüfung. Der I. Band umfaßt die Differential-und Integralrechnung, die Vektoralgebra und im Zusammenhang damit einen Abriß der analy tischen Geometrie der Ebene und des Raums sowie eine Einführung in die lineare Algebra (Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungen). Der .II. Band handelt von Vektoranalysis, Differentialgleichungen, FouRIER Reihen und der Theorie der analytischen Funktionen unter starker Be rücksichtigung der konformen Abbildungen. Der mit diesen Kenntnissen ausgerüstete Studierende ist dann imstande, in den Semestern nach der Vorprüfung durch Spezialvorlesungen (z. B. Partielle Differential gleichungen, Rand- und Eigenwertprobleme, Integralgleichungen, FOURIER- und LAPLACE-Transformationen, Mathematische Statistik) seine mathematische Ausbildung auf einen den Bedürfnissen der moder nen Technik entsprechenden Stand zu bringen. Numerische und auch graphische Methoden sind vom Standpunkt der Anwendungen aus ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Die Ver mittlung ihrer Kenntnis gehört zur mathematischen Grundausbildung des Ingenieurs. Infolgedessen werden wir in diesem Buch der so genannten "numerischen Mathematik" einen verhältnismäßig breiten Raum geben. Dabei müssen wir allerdings, um den Rahmen des Buches nicht zu sprengen, auf die Erörterung der mathematischen Ge räte verzichten, obwohl nicht nur die einfacheren älteren Geräte (Plani meter, Analysatoren u. dgl.), sondern auch die modernen Rechenauto maten (digitale programmgesteuerte elektronische Rechenanlagen) von großer praktischer Bedeutung für den Ingenieur sind. Für ihr Studium seien einschlägige Fachbücher empfohlen.
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