Ingenieur Analysis 2 PDF
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Springer-Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Budapest Hongkong London Mailand Paris Santa Clara Singapur Tokio Christian Blatter Ingenieur Analysis 2 Zweite Auflage Mit 241 Abbildungen und 127 Aufgaben i Springer Professor Dr. Christian Blatter ETH Zurich Departement Mathematik CH-8092 Zurich Schweiz e-mail: [email protected] Blaltfr. Chrisllan: lngenieur-Analysis I Christian Blatter. - Berlin; Heidelberg ; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong ; London ; Mailand ; Paris; Santa Clara; Singapur ; Tokio: Springer. Fliihu 1m Veri. de. F.chvcT1'lnc. Zurich 2. - 2. Auf\. - 1996 ISBN·!3: 978-J-S40-60438-9 Mathematics Subject Classification (1991): OOAOS. O().OI, OOA06, 26-01, 26A06, 268]5,26820 ISBN-13: 978-3-540-60438-9 e-1SBN-13: 978-3-642-610554 DOl: 10.10071978-3-642-61055-4 I. Aunage vdfVeriag, ZOrich Diestl Work ist urheberrcchtlich geschliltl. Die dadurch begrlindeten Rechte. inwelondeT1' die dc. Obtrseltung, des Nachd.ucks,dtl Vo.tragl, dtr Ent nahmt 'IOn Abbildungen und Tabtlltn,dt. Funk· sondungder MI!<rove.filmungod .. dOT VcrvielflltlsunSluf anderen Wtstn und dc. Sptich. . ung In Daltn"tr.~ilungl.nl.g.n, bltib.n, luch btl nur .unugsweiso. Vt~nung, 'IO~h.lttn. Eim: v ••· vielflltigung ditscs Wt.UI ode. von Ttiltn diesol Wt'UI ill auch im Einulf.1I nu. in den Gnnun de. ~sotJ.!lcbtn ~11imm"ng.n dtJ Urbtbt"fCbl$gt$HltJ d .. Bundelrtpuhlik ~utschlalld YOm 9. xpttmbc. 1965 in dc. ;"lftil:l gtlt.ndtn FaS$Ung .uLilliS-Sit i11lfllndloit"lch 'T'liilunglpRlchliS- 7.uwiderhand]ungtn unter1ie~n den St ••f tM:ltimmungtn des Urhcb-e"fChl"estI.U$. o Springt.-Vt.lag Berlin Heidelbe.g 1996 Slit: Rtproduktion,fenigr Vorlag. vom Auto. SPIN 105t9360 4413143·5432 I 0 -Gtd.uck! auf siurtf.citm Pap it. Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Das ganze Werk (zwei Bande) ist eingeteilt in sechs Kapitel, undjedes Kapitel ist weiter unterteilt in Abschnitte. Formeln, die spater nocheinmal benotigt werden, sind abschnittweise mit mageren Ziffern numeriert. Innerhalb eines Abschnitts wird ohne Angabe der Abschnittnummer auf Formel (1) zuriick verwiesen; 3.4.(2) hingegen bezeichnet die Formel (2) des Abschnitts 3.4. Neu eingefiihrte Begriffe sind am Ort ihrer Definition halbfett gesetzt; eine weitergehende Warnung ("Achtung, jetzt kommt eine Definition") erfolgt nicht. Definitionen lassen sich yom Sachverzeichnis her jederzeit wieder auffinden. Satze (Theoreme) sind kapitelweise numeriert; die halbfette Signatur (4.3) bezeichnet den dritten Satz in Kapitel 4. Satze werden im allgemeinen ange sagt; jedenfalls sind sie erkenntlich an der vorangestellten Signatur und am durchlaufenden Schriigdruck des Textes. Die beiden Winkel I und ~ bezeichnen den Beginn und das Ende eines Beweises. Eingekreiste Ziffern numerieren abschnittweise die erlauternden Beispiele und Anwendungen. Der Kreis 0 markiert das Ende eines Beispiels. Jeder Abschnitt wird abgeschlossen durch eine Serie von Ubungsaufgaben. Aufgaben, die zu einem wesentlichen Teil mit einem System wie Maple oder Mathematica behandelt werden konnen (und sollen!), sind mit dem Zeichen @ versehen. Inhaltsverzeichnis Ingenieur-Analysis 1 Kapitel 1. Grundstrukturen 1 1.1. Logik . . . .. 1 1.2. Mengen . . . , 10 1.3. Natiirliche Zahlen 15 1.4. Reelle Zahlen. . 22 1.5. Koordinaten in der Ebene und im Raum 32 1.6. Vektoralgebra 43 1.7. Komplexe Zahlen . 64 Kapitel 2. Funktionen 77 2.1. Erscheinungsformen 77 2.2. Eigenschaften von Funktionen 105 2.3. Grenzwerte. . . . . . 124 2.4. Folgen und Reihen 138 2.5. Die Exponentialfunktion 157 Kapitel 3. Differentialrechnung 169 3.1. Grundbegriffe, Rechenregeln 169 3.2. Extrema . . . . . . . . . 180 3.3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 190 3.4. Taylor-Approximation . . 200 3.5. Differentialgleichungen I . 220 3.6. Differentialgleichungen II 236 Sachverzeichnis . . . . . . . 258 Inhaltsverzeichnis Ingenieur-Analysis 2 Kapitel 4. Integralrechnung 1 4.1. Der Integralbegriff 1 4.2. Hauptsatze. . . . 27 4.3. Technik des Integrierens 36 4.4. Uneigentliche Integrale 68 4.5. Mehrfache Integrale . . 77 4.6. Differentialgleichungen III 102 Kapitel 5. Mehrdimensionale Differentialrechnung 127 5.1. Grundbegriffe .............. . 127 5.2. H6here partielle Ableitungen, Taylorsche Formel 152 5.3. Implizite Funktionen 164 5.4. Die Funktionalmatrix . . . 178 5.5. Extrema . . . . . . . . . 193 5.6. Kurvenscharen in der Ebene 214 Kapitel 6. Vektoranalysis . . . 234 6.1. Vektorfelder, Linienintegrale 234 6.2. Die Greensche Formel fUr ebene Bereiche 254 6.3. Der Satz von GauE 275 6.4. Der Satz von Stokes 299 Sachverzeichnis . . . . 316 4. Integralrechnung 4.1. Der Integralbegriff Die "Integralrechnung" besteht eigentlich aus zwei Teilen: einem begrifHichen Teil und einem Kalkiil. In diesem ersten Abschnitt geht es urn eine allgemein verwendbare Auffassung des Integrals als Grenzwert von Riemannschen Sum men, und im zweiten Abschnitt beweisen wir den Hauptsatz der Infinitesimal rechnung, der die Integralberechnung in eine sozusagen algebraische Aufgabe verwandelt. Daraus ergibt sich dann ein Kalkiil, eben die "Technik des Inte grierens". Diesen Kalkiil behandeln wir in den Abschnitten 4.3-4.5, und in Abschnitt 4.6 wenden wir das bis dahin Gelernte auf Differentialgleichungen an. Der Integralbegriff stiitzt sich ganz wesentlich auf die Volumenmessung im ]Rn, n 2: 1. Wir beginnen daher mit einigen Feststellungen betreffend das "n-dimensionale MaB", von den Mathematikern Lebesgue-MaB genannt. Ohne das weiter zu hinterfragen, gehen wir davon aus, daB jeder verniinftige Bereich (Menge) B c ]Rn ein wohlbestimmtes (n-dimensionales) MaB oder Volumen J.l(B) 2: 0 besitzt. Wie man dieses Volumen im Einzelfall berech net, werden wir noch sehen; fUr "einfache Korper" stehen uns natiirlich die Formeln der Elementargeometrie zur VerfUgung. z o o a b x 1 Fig. 4.1.1 Bsp: (Fig. 4.1.1-2) J.l([a, b]) = J.l(]a, b[) = b - a , D { (x, Y) E]R2 I x2 + y2 < I} =} J.L(D) = 7l' , 2 4. Integralrechnung 1 => IL(B) = 6' 3 1L([al,btl X [a2,b2] X [a3,b3j) = II(bi - ai) . i=l Fig. 4.1.2 Das MaE IL besitzt folgende charakteristischen Eigenschaften: - Monotonie: Additivitiit: Fur beliebige Mengen BI, B2 gilt (Fig. 4.1.3). Sind BI und B2 disjunkt, so hat man sogar Fig. 4.1.3 4.1. Der Integralbegriff 3 Bewegungsinvarianz: Wird B durch eine Bewegung des]Rn (Translation, Drehung, ... ) in eine neue Lage B' gebracht, so ist f.l(B') = f.l(B). Ist Be ]Rn und f.l(B) = 0, so nennt man Beine (n-dimensionale) Nullmenge. Nullmengen konnen bei der Integration vernachHiBigt werden. Endlich viele Punkte bilden immer eine Nullmenge. Eine verniinftige ebene Kurve ist eine zweidimensionale Nullmenge. Wird diese Kurve aber als "eindimen sionales Objekt" aufgefaBt, so hat sie eine durchaus interessante positive Lange. Analog ist eine verniinftige Flache im ]R3 eine dreidimensionale Null menge; als "zweidimensionales Objekt" aufgefaBt hat sie aber einen posi tiven Flacheninhalt. Allgemein ist der Rand aB eines verniinftigen Bereiches B c ]Rn eine n-dimensionale Nullmenge, und es kommt fUr das MaB dieses Bereiches nicht darauf an, ob aB einbezogen ist oder nicht. CD Wir zeigen, daB sich der Einheitskreis aD c ]R2 durch endlich viele Rechtecke beliebig kleiner Gesamtflache iiberdecken liiBt. - Betrachte fUr ein beliebiges n 2 2 das Rechteck R der Figur 4.1.4. Es gilt 2 (1 - f.l(R) = sin ~ cos~) = 4sin ~ sin2 .!!.... n n n 2n ~ 4 . ~ . (.!!....) 2 7r3 n 2n n3 . Da n derartige Rechtecke den Einheitskreis aD iiberdecken, ist 0 und das kann nur dann fUr beliebige n zutreffen, wenn f.l(aD) = 0 ist. R 1 Fig. 4.1.4
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