Informatique pour tous première année Julien Reichert

149 Pages·2017·0.92 MB·French

Informatique pour tous
premiŁre annØe
Reichert
Julien
2018/2019
2
Table des matiŁres
I Cours 7
1 ReprØsentation des nombres 9
1.1 Introduction aux bases numØriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 ReprØsentation des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 ReprØsentation des rØels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 ConsØquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Annexe : technique de conversion de rØels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 L’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
TD 1 : Calculs avec des bases numØriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TD 2 : ReprØsentation des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Algorithmique et programmation I 23
2.1 Bases de la programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Les donnØes et leurs types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 SØquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4 Instructions composØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.6 EntrØes et sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Preuves de programmes et d’algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Preuves de terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Preuves de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 ComplexitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Algorithmes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 Algorithmes sur les listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
4 TABLE DES MATI¨RES
2.4.2 Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3 Calcul approchØ d’une intØgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.4 Recherche d’un motif dans une cha(cid:238)ne de caractŁres . . . . . . 52
2.5 ComplØments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.1 Variables globales et variables locales, etc. . . . . . . . . . . . 54
2.5.2 Fonctions locales, fonctions anonymes . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.3 Exceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Annexe : Turing-complØtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 L’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
TD 3 : Penser la programmation en Python . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
TD 4 : Terminaison, correction et complexitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 IngØniØrie numØrique et simulation 69
3.1 ComplØments de programmation : Python pour les scienti(cid:28)ques . . . 69
3.1.1 Petit dØtour par les bibliothŁques . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.2 La bibliothŁque numpy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.3 La bibliothŁque scipy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 RØsolution de systŁmes linØaires (Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 RØsolution d’Øquations f(x) = 0 (Newton) . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Autour des Øquations di(cid:27)Ørentielles (Euler) . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 L’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Bases de donnØes 89
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 AlgŁbre relationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Bases de donnØes relationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.2 ClØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.3 Le langage SQL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.4 Correspondance avec l’algŁbre relationnelle . . . . . . . . . . . 98
4.3.5 Encore un peu d’architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4 L’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
TD 5 : Une base de donnØes sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Lexique 105
TABLE DES MATI¨RES 5
II Travaux pratiques 109
TP 0 : Introduction 111
TP 1 : Familiarisation avec Python 115
TP 2 : EntrØes et sorties 119
TP 3 : ReprØsentation des nombres - manipulations 123
TP 4 : Gagner un peu d’indØpendance 125
TP 5 : Listes (et boucles) 131
TP 6 : Algorithmes de base 133
TP 7 : Introduction (cid:224) numpy 135
TP 7bis : Introduction (cid:224) Scilab 139
TP 8 : Autour du pivot de Gauss 143
TP 9 : Graphismes 147
TP 10 : Autour de la mØthode de Newton 151
TP 11 : Autour de la mØthode d’Euler 153
TP 12 : Bases de donnØes 157
6 TABLE DES MATI¨RES
PremiŁre partie
Cours
7

Chapitre 1
ReprØsentation des nombres
1.1 Introduction aux bases numØriques
DØ(cid:28)nition
Soit b un entier naturel ≥ 2. On considŁre un ensemble C de b caractŁres, usuel-
lement des chi(cid:27)res (cid:224) partir de 0, en complØtant avec des lettres dans l’ordre alpha-
bØtique, donnØs dans l’ordre croissant.
On reprØsente un entier naturel en base b en Øcrivant des caractŁres de l’ensemble C
en sØquence, en prØcisant la valeur de b pour lever toute ambigu(cid:239)tØ.
La notation proposØe dans ce cours, qui n’est pas uniformisØe, est a a ...a a b,
n−1 n−2 1 0
pour reprØsenter le nombre (cid:80)n a bi. Dans le nombre en question, le caractŁre dit
i=0 i
de poids fort est le plus (cid:224) gauche et le caractŁre dit de poids faible est le plus (cid:224) droite.
Les bases usuelles sont 10 (base dØcimale, utilisØe de fa(cid:231)on naturelle actuellement),
2 (le binaire, fondement de l’informatique) et 16 (les nombres hexadØcimaux, utilisØs
en informatique pour Øviter d’avoir trop de chi(cid:27)res). On trouve Øgalement les bases
8 et 12 de maniŁre cependant moins prononcØe.
Toutes les opØrations arithmØtiques apprises au primaire se font de maniŁre similaire
8 8 8
dans n’importe quelle base. Par exemple, en base 8, 35 +56 = 113 car 5+6, qui
8
correspond au nombre 11, s’Øcrit 13 . On note donc 3 et on retient 1, de mŒme qu’on
a une retenue pour les (cid:19) huitaines (cid:20), qui devient la (cid:19) soixante-quatraine (cid:20).
9
10 CHAPITRE 1. REPR(cid:201)SENTATION DES NOMBRES
Exercice
8 8 8 8
Calculer en base 8 les sommes 146 + 334 et 357 + 464 , ainsi que le produit
8 8
54 ×465 .
La reprØsentation en base b s’Øtend aux entiers relatifs en prØcisant le signe.
Proposition
Soit b un entier naturel ≥ 2. On peut reprØsenter un nombre rationnel en base
b de maniŁre exacte, c’est-(cid:224)-dire avec un nombre (cid:28)ni de caractŁres, si et seulement
si le nombre en question est le quotient d’un entier relatif par une puissance de b.
Une autre formulation : le nombre en question a pour fraction la plus simpli(cid:28)Øe p, oø
q
tous les diviseurs premiers de q sont des diviseurs de b. La reprØsentation comporte
alors Øventuellement une virgule, et on Øcrit a a ...a a ,a a ...a b =
n−1 n−2 1 0 −1 −2 −m
(cid:80)n−1 a bi.
i=−m i
Remarque : En base 10, on retrouve la notion de nombres dØcimaux. Bien entendu,
quelle que soit la valeur de b, un nombre irrationnel aura toujours un nombre in(cid:28)ni
de caractŁres aprŁs la virgule dans sa reprØsentation en base b.
Exemple : Le nombre 13 s’Øcrit de maniŁre exacte dans toute base multiple de 3.
3
Proposition
[Pour la culture] Quelle que soit la valeur de b, tout nombre rationnel r a une
Øcriture en base b ultimement pØriodique, c’est-(cid:224)-dire qu’(cid:224) partir d’un certain rang
(cid:28)ni, un mŒme motif se rØpŁte.
Cettepropositionseprouvesimplement(cid:224)l’aidedupetitthØorŁmedeFermatquandb
estpremier(sinon,c’estdel’arithmØtiqueavancØe).Onpeutl’illustrerenconsidØrant
les fractions 1 en base b. Si p divise b, alors l’Øcriture de 1 est exacte : 1 = 0,ab, oø
p p p
a est le caractŁre correspondant (cid:224) l’entier b, la pØriode Øtant alors de 1 et le motif
p
Øtant 0. Sinon, le petit thØorŁme de Fermat dit que bp−1 est congru (cid:224) 1 modulo p,
donc diviser 1 par p laisse entrevoir une rØpØtition aprŁs p−1 Øtapes. La pØriode est
donc p−1 ou un de ses diviseurs.