Information Storage and Retrieval for Probe Storage using Optical Diffraction Patterns

0.41 MB·English

by  Joost van Honschoten

Information Storage and Retrieval for Probe Storage using Optical Diffraction
Patterns
Joost W. van Honschoten ,1 Henri W. de Jong,1,∗
Wabe W. Koelmans,1,† Thomas P. Parnell,2,‡ and Oleg Zaboronski3,§
1MESA+ Research Institute, University of Twente,
P.O. Box 217, 7500 AE, Enschede The Netherlands
2Siglead Europe Ltd., International Digital Laboratory,
University of Warwick, Gibbet Hill Road, Coventry CV4 7AL, UK
3Mathematics Institute, University of Warwick, Gibbet Hill Road, Coventry CV4 7AL, UK
(Dated: January 19, 2013)
A method for fast information retrieval from a probe storage device is considered. It is shown
that information can be stored and retrieved using the optical diffraction patterns obtained by the
illumination of a large array of cantilevers by a monochromatic light source. In thermo-mechanical
2
probe storage, the information is stored as a sequence of indentations on thepolymer medium. To
1
retrieve the information, the array of probes is actuated by applying a bending force to the can-
0
tilevers. Probes positioned overindentations experience deflection bythe depthof theindentation,
2
probesovertheflatmediaremainun-deflected. Thusthearrayofactuatedprobescanbeviewedas
n anirregularopticalgrating,whichcreatesadata-dependentdiffractionpatternwhenilluminatedby
a
laser light. We develop a low complexity modulation scheme, which allows the extraction of infor-
J
mation stored in the pattern of indentations on themedia from Fourier coefficients of theintensity

9 ofthediffractionpattern. Wethenderivealow-complexitymaximum-likelihoodsequencedetection
algorithm for retrieving the user information from the Fourier coefficients. The derivation of both
]
the modulation and the detection schemes is based on the Fraunhofer formula for data-dependent
T
diffractionpatterns. TheapplicabilityofFraunhoferdiffractiontheorytotheopticalset-uprelevant
I
. for probe storage is established both theoretically and experimentally. We confirm the potential of
s
the optical readout technique by demonstrating that the impairment characteristics of probe stor-
c
[ age channels (channel noise, global positioning errors, small indentation depth) do not lead to an
unacceptable increase in data recovery error rates. We also show that for as long as the Fresnel

2 numberF ≤0.1, the optimal channeldetector derived from Fraunhofer diffraction theory does not
v sufferany significant performance degradation.
1
7
8
I. INTRODUCTION deflected and un-deflected cantilevers in the array result
0
in different diffraction patterns, which can therefore be
.
4 Probe based data storage with the information used to store information. Such an approach to read-
0 storedthermo-mechanicallyasindentationsinapolymer back is potentially interesting since it is fast (the inten-
1
mediumisdemonstratedin[1]. Informationiswrittenby sityoflightcanbecapturedalmostinstantaneouslywith
1
: heating the cantilever tip and applying a force to result a photodiode) compared to the thermo-resistive alterna-
v inanindentationbeingcreatedinthemedium. Informa- tive (where we mustwaitforthe thermalsensorto reach
Xi tion retrieval is achieved thermally: the resistance of an equilibrium temperature). One of the disadvantages of
integrated resistive heater is monitored as the tip scans the proposedsolution is the increasedsize of the storage
r
a the surface. This resistance drops naturally with can- device as the optical path to detect cantilever deflection
tilever/medium separation due to the decrease in heat willoccupymorevolumethanintegratedsensors. There-
transfer from the medium to the heater. In order to forethe method ofinformationretrievaldescribedinour
achievethe data ratesrequiredby modernstorageappli- paper targets larger form factors of probe storage, for
cations,aprobestoragesystemwilltypicallyconsistofa example back-up and archival storage.
largearrayofcantileversreadingandwritinginformation
Sensingofcantileverdeflectionbyusingopticaldiffrac-
in parallel.
tionpatternshasbeenintroducedbyManalisetal.[2,3]
In this paper we consider the retrieval of information
By fabricating a cantilever containing interdigitated fin-
using the optical diffraction patterns resulting from illu-
mination of the linear cantilever array with a laser light gersa diffraction gratingis formed. When the cantilever
is bent, alternating fingers are deflected while remaining
source. The main idea is that different combinations of
fingers are held fixed. The work is extended to paral-
lel operation by illuminating multiple interdigital can-
tilevers and capturing the diffraction pattern from each
∗ [email protected] cantilever on a separate detector [4]. Others have fabri-
† [email protected] catedasimilardesignwherethefixedfingersareattached
‡ [email protected] to a frame surrounding the cantilever and the authors
§ [email protected] recognized the potential of sensing in wave-vector space
2
[5]. Recently it has been shown that the intensity of the Laser beam(cid:13) Y(cid:13) Sensor(cid:13)
principle maximum of a diffraction pattern can be used
to detect cantilever deflections [6]. In this case different
natural resonance frequencies are used to address each
R(cid:13)
cantilever. In[7]surfacetopographyhasbeenimagedby
using a digital holographicmicroscope to capture ampli-
tudeandphaseinformationofthelightreflectedfroman
array of cantilevers illuminated with a laser source. w(cid:13) d(cid:13) n-th probe(cid:13) s(cid:13)
X(cid:13)
We present a scheme where the cantilevers themselves r(cid:13)
n(cid:13)
formanopticalgratingandthestateofthe arrayofcan-
tilevers can be retrieved by analyzing the full diffraction
pattern, which is captured by an array of detectors.
In order to retrieve the state of deflection of the can- 0(cid:13) 0(cid:13) 1(cid:13) 0(cid:13) 1(cid:13)
tileversusinglowcomplexitysignalprocessingalgorithms
a special modulation scheme for storing information in-
Recordable Medium(cid:13)
side diffraction patterns is developed. Binary user in-
formation is converted to ternary trits which are then
FIG. 1. Geometry of theoptical readout.
mapped to a sequence of indentations to be recorded on
the medium. We show that by analysing the resulting
diffractionpatternsintheFourierdomainitispossibleto
determine the most-likelysequence oftrits inlinear time
cess (see Figure 1). The value b = 1 corresponds to an
using a fast recursive graph-based detection algorithm n
indentation in the medium, b = 0 - to the absence of
that resembles the Smith-Waterman algorithm used for n
indentation, see [10] for a review of thermo-mechanical
genetic sequence matching [8].
probe storage. During the process of reading, individual
The paper is organised as follows. In Section II the
probes are pressedagainst the polymer surface. As a re-
channelmodelisderivedusingFraunhoferdiffractionthe-
sult, the n-th cantilever can be in two states: deflected
ory. The principle of information storage inside diffrac-
if b = 1 or not deflected if b = 0. Therefore the set
tion patterns using the central trits is explained. The n n
of N reflective cantilevers can be viewed as an irregu-
channel model is then extended to capture the effects
lar optical grating, the irregularity being determined by
of electronics noise in the system, the signal-to-noise ra-
the data string recorded on the medium. If the reflec-
tio is defined which allows us to determine the optimal
tive cantilever array is illuminated by a laser source of
indentation depth. The model is then compared with
wavelength λ then a data-dependent diffraction pattern
experimental diffraction patterns from an array of can-
is created. In the practically relevant case of very long
tilevers and a high level of agreement is observed. Two
cantilevers, the diffraction pattern is two-dimensional -
detectionalgorithmsarepresentedinSectionIII:asimple
the distribution of the reflected electromagnetic field de-
threshold detector and the optimal maximum-likelihood
pends on the diffraction angle θ and distance R to the
sequencedetectorandtheirperformanceiscompared. In
observation point only, see Figure 1.
SectionIVweconsidertheeffectoftheglobalpositioning
errors that characterise highly-parallel probe storage. It The fact that different binary strings lead to differ-
is shown that using the techniques introduced in [9] it is ent diffraction patterns allows one to store information
possible to constructanasymptoticallyoptimaliterative directlyinthepatternsratherthaninindividualindenta-
sequence detector for a large array of probes. We then tions. The simplest map from binary data to diffraction
proceedtostudytheeffectsofsub-optimalpit-depthand patternswouldbeanenumerationofalldistinctpatterns.
modeling noise on the error-rate of the optical data re-
The optical sensors we used in our experiments can
trieval algorithms. In Section V the main results of the
only detect the field’s intensity, but not the phase. The
paper are summarised. In the appendices a derivationof
principalfundamentalquestionweneedtoansweris: how
the channel model using Helmholtz-Kirchhoff diffraction
many bits of information can be stored in the intensity
theory is presented.
of diffraction patterns resulting from 2N possible config-
urations of N cantilevers?
II. CHANNEL MODEL Allthelengthscalescharacterisingthearrayaremuch
greaterthan wavelengthλ, see Section IID for details of
A. Storing Information In Diffraction Patterns the experimental set-up. Therefore, we can use Fraun-
hofer diffraction theory to calculate the distribution of
intensity of reflected light, see [11] for a review.
ConsideralineararrayofN reflectivecantileverswith
sensing probes positioned above an area of the medium IntheFraunhoferlimitanycomponentofthereflected
to which binary information string b b ...b has electromagnetic field U can be written as a function of
0 1 N−1
been recorded using the thermo-mechanical write pro- angle parameter q = kθ, where k = 2π/λ is the wave
3
number: T . If N is odd, all orbits have size 2. Therefore the
N
number of distinct diffraction patterns is 2N−1. If N is
N−1
U(q)=C(q) ξ(n)e−iqnd (1) even, the calculation is slightly more difficult as TN has
2N/2 fixed points (strings which are invariant under T )
n=0 N
X as well as orbits of size 2. The final answer is
where d is the cantilevers’ pitch (see Figure 1) and
2N−1 if N is odd,
ξ(n)=e2iksbn (2) ♯ (N)=
distinct patterns

2N−1+2N/2−1 if N is even.
is the additional phase gained at the n-th cantilever de- 
flected by the distance b s, b 0,1 is the n-th bit
n n ∈ { } We conclude that a diffraction pattern createdby an N-
of the information sequence; C(q) is a data-independent
bit binary strings recorded on the medium contains at
complex amplitude, least log 2(N−1) =N 1 bits of information.
2
−
How can we retrieve this information? The most
kw2 sin(qw/2)
C(q)=A , (3) straightforward way would be to enumerate all patterns
0
2πR (qw/2)
r using (N 1)-bit strings. The optimal receiver would
−
where R is the distance to the observation point, w is then compare the pattern generated by the sensors with
the cantilever’swidth, theamplitude A isrelatedtothe all2N−1modelpatternsstoredinitsmemoryandoutput
0
intensity of the laser source and reflective properties of the index of the model pattern which is the most prob-
cantilevers. able transmitted pattern given the received one. This
For the sakeof completeness,we placedthe derivation solution is clearly impractical, as the complexity of the
offormula(1)alongwitha carefulanalysisofapplicabil- optimal receiver grows exponentially with N - the num-
ity conditions in the appendices. ber of probes in the array. The rest of the paper is dedi-
The intensity I(q) = U(q)U(q) of the reflected light catedto the designofmodulationanddetectionschemes
can be written as follows: which would allow low complexity storage and retrieval
of information using diffraction patterns. The greatest
N−1
I(q)= C(q)2 f(n)e−iqnd (4) difficulty we must overcome stems from the non-linear
| | relationship between the information bits and the corre-
n=−X(N−1) sponding intensity pattern.
with coefficients f(n) given by:
N−1−ne2ikstn+p,p if n 0 B. Ternary Modulation Scheme
p=0 ≥
f(n)= (5)
P
f( n) if n<0 The expression (4) for the intensity of the diffraction
−
patternisaproductofdata-independentfunction C(q)2
where  and a band-limited function N−1 f(n)|e−iqnd|.
n=−N+1
t =b b 1,0,+1 . Therefore, to extract the information-dependent coeffi-
n+p,p n+p− p ∈{− } P
cients f(n) from I(q) we need to sample it at finitely
{ }
The variables tn+p,p’s can be viewed as digits of a bal- many points. Given that there is no resonant relation-
anced ternary representation of numbers and will be re- ship between the cantilevers’ width w and the array’s
ferred to as trits. period d, these sampling points can be chosen not to
Using (4), it is very easy to check that the following coincide with zeros of C(q)2. The sequence of sam-
| |
twoinformationstringsleadtothesameintensitypattern ple values I(q ),I(q ),... can be then normalized by
1 2
I(q): 1/C(q )2,1/C(q 2,... using for example a variable
1 2
| | | |
gain amplifier. This remark allows us to assume from
S =b b ...b b
1 0 1 N−2 N−1 now on that C(q)2 = 1 and represent the normalized
S2 =¯bN−1¯bN−2...¯b1¯b0, intensity of re|flecte|d light as
where¯b=1 bistheoperationofbitinversion. Inother
N−1
−
words the transformation of I(q)= f(n)e−iqnd. (6)
T :b ¯b , n=0,1,...N 1 n=X−N+1
N n N−1−n
→ −
Sampling (6) at 2N 1 uniformly spaced sampling
does not change the intensity pattern. An exhaustive −
points
numerical check for N = 1,2,...,10 shows that there is
no other transformation of the information string which 2πm
q = ,
leaves the intensity pattern invariant. m (2N 1)d
Therefore, we can compute the number of distinct −
diffractionpatternscorrespondingto2N binaryinforma- where m = (N 1), (N 2),..., 1,0,1,...,N
− − − − − −
tionstringsasthenumberoforbitsofthetransformation 2,N 1, we get a system of 2N 1 linear equations
− −
4
for 2N 1 information-carryingcoefficients f(n)’s. This
−
system can be solved using a discrete Fourier transform
(DFT, [12]):
N−1
1
f(n)= I(q )einqmd (7)
m
2N 1
− m=−N+1
X
Note that the sampling scheme chosen above is as eco-
nomical as possible according to the Nyquist-Shannon
sampling theorem [13]: the linear sampling frequency is
equal to (2N−1)d - just over twice the maximal linear
2π
frequency contributing to (6): ν = (N−1)d.
max 2π
We conclude that the problem of extracting the data-
dependent coefficients f(n) from the intensity pattern
{ }
I(q) can be solved at the cost O(NlogN) using the Dis- FIG. 2. Optical Channel Flow
crete Fast Fourier Transform algorithm (DFFT).
We are now ready to describe a lossy modulation-
demodulation scheme which would allow us to perform
(t ,t ,...,t )isthenmappedtothebi-
theoperationsInformation Bit patternwritten on stor- N−1,0 N−2,1 N/2−1,N/2
→ narysequencebtoberecordedonthemediumasfollows:
agemedium I(q) Information atacostwhichscales
→ → for n=0,...,N/2 1:
only polynomially with N. −
We firstly note that since the trit t 1,0,1 ,
p,q
t2pn,q =t2p,q andt2pn,q+1 =tp,q foranyintegern.∈T{h−issimp}le (0,1) if tN−1−n,n =−1
remarkallowsustocomputetherealandimaginaryparts (bN−1−n,bn)=(0,0) if tN−1−n,n =0 (13)
of f(n): (1,0) if tN−1−n,n =+1
N−1−n 
(f(n))= 1+(cos(2ks) 1)t2 (8) (Notetheabovemapbetweenternaryinformationstring
ℜ − n+p,p andbinaryindentationsequenceleadstothelossofinfor-
p=0
X (cid:0) (cid:1) mation rate: to store information we use only three out
N−1−n
of possible four configurations of two cantilevers.) At
(f(n))= sin(2ks)t (9)
n+p,p
ℑ the receivingend, the intensity ofthe diffractionpattern
p=0
X can then be measured and the coefficients f(n) recov-
Whiletherealpartisanon-linearfunctionofthetritsthe ered using DFT. The remaining task is to determine the
imaginary part is linear and crucially it can be written sequence t and convert back to binary to return to the
as the sum of the first n central trits user. In the absence of noise the central trits are simply
given by (12). In the presence of noise we must detect
N 1
tN−1−p,p =bN−1−p bp, 0 p − . (10) the sequence of trits - this will be discussed in the next
− ≤ ≤ 2
section. Thefinalstepistoconvertthe ternarysequence
Namely, we have the following elementary observation: back to binary.
A close examination reveals that the computa-
n−1
(f(n))=sin(2ks) t (11) tional cost of our modulation scheme is bounded by
N−1−p,p
ℑ O(Nlog(N)), themostexpensivestepbeing theDiscrete
p=0
X
Fourier Transform. The price for the simplicity of our
We propose to store information in central trits since scheme is the information rate loss mentioned above: we
theycanbeeasilyrecoveredfromtheoutputoftheDFFT cannowonlystore3N/2 uniqueternarysequencesonthe
using equation (11): medium as opposed to 2N binary sequences - this cor-
responds to a rate of log (3)/2 0.79 bits. The loss
(f(n+1)) (f(n)) 2 ≈
t = ℑ ℑ (12) occurs as we ignore the information stored in real parts
N−1−n,n
sin(2ks) − sin(2ks)
of f(n)’s. What we gain however is the ability to store
In what follows we will often use the shorthand nota- and retrieve information optically using low complexity
tion for central trits: t =t . signal processing.
p N−1−p,p
The method of storing and retrieving information in To modify the described scheme to account for the ef-
diffraction patterns is now described with assistance fectsofchannelnoiseweneedto replacestep(12)witha
from Figure 2. Firstly the binary user information can maximum-likelihoodsequencedetector. Toderivesucha
be converted to balanced ternary using a lossless en- detector, we need to specify the model of channel noise,
coder, see e. g. [14]. The ternary sequence t = which is done in the next subsection.
5
C. Noise Model
The experimental characterisationof the optical read-
out channel is yet to be carried out. In this paper we
restrict ourselves to the simplest additive white Gaus-
sian (AWG) model of noise in the system. We expect
the importantsourcesof noiseto be media imperfection,
electronics noise and shot noise. It is a matter for future
investigationto verify whether these canbe modelled by
AWG noise. FIG. 3. Experimental setup of the optical path. A rectan-
Within the AWG noise model, the received signal is gular shaped slit and a cylindrical lens create a line shaped
modeled by adding a noise term to the output of the laser spot on the cantilever array. The array is positioned in
DFFT: for n=1,...,N/2: the back focal plane of the lens. The Fraunhofer diffraction
pattern is projected on the CCD camera.
n−1
R = (f(n))+σW =sin(2ks) t +σW (14)
n n p n
ℑ
p=0
X
where W N/2 is a sequence of independent mean-zero
{ n}n=1
Gaussian random variables with unit variance and σ is
the standard deviation of the electronics noise.
To define signal-to-noise-ratio (SNR), notice that in
the absence of noise, formula (12) is exact. Therefore, it
is sensible to define the SNR in terms of the increments
of the received sequence R as signals:
n
{ }
r =R R =sin(2ks)t +σ(W W ).(15)
n n+1 n n n n−1
− −
SNR measured in decibels is: FIG. 4. Comparison of (4) with the experimental diffraction
patterncreatedbythearrayofN =5undeflectedcantilevers.
sin(2ks)2
SNR =10log (16)
dB 10 3σ2
(cid:18) (cid:19)
Although we ultimately foresee the usage of a one
ItisclearthatinordertomaximiseSNRforafixedσthe
dimensional array of very fast photodiodes to record
indentationdepth s shouldbe chosensothat sin(2ks)=
the diffraction patterns, here we employ a CCD camera
1 - the optimal indentation depth is therefore given by
(Moticam 2300, Motic, Wetzlar, Germany) with a two
dimensional array of CCD elements (2048 x 1536 pix-
s =λ/8.
opt
els) to ease the alignment procedure. The measurement
For a typical wavelengthλ 600 nm, the above formula bandwidth is 111 Hz. The frame rate of the camera is,
gives the optimalindentatio∼n depth of 75 nm. In reality, however, limited to eight frames per second due to the
the indentationdepth in probe storageis about 5 nm. It limiteddatatransferratetothe measurementcomputer.
maybepossibletoincreasetheeffectivedeflectionsizeby A low pass filter is applied to the measured intensity
incorporatingsomekindofmechanicalamplificationinto patterntoeliminatespatialnoisewithfrequencieshigher
the cantilever design. In this paper we will simply iden- than the width of the information band.
tify the smallest indentation depth for which the optical Theexperimentalandtheoreticaldiffractioncurvesare
readout is possible without modifying the cantilevers. shown in Fig. 4. An excellent agreement between the
theory and the experiment is observed: the relative er-
rorderivedusingtheL2-distancebetweenthetheoretical
D. Experimental Verification of the Diffraction and the experimental curves is 3.0 per cent, which is ap-
Model proximately 30.6 decibel.
To verify the accuracy of the channel model we com-
III. DETECTION ALGORITHMS
parethediffractionpatternscomputedwithintheFraun-
hofer theory against experimental diffraction patterns
captured using the setup shown in Figure 3. The ar- A. Threshold Detector
ray consists of N = 5 non-deflected cantilevers of width
w =13.9 µm whose centres are separatedby d=20 µm. In order to derive the maximum-likelihood threshold
It is illuminated with a laser light source of wavelength detector we take the increment of the DFFT outputs as
λ= 635 nm and a power of 3 mW. in (12) and divide by sin(2ks) so the received signal y
n
6
for n=0,...,N/2 1 can be written: walkeroriginatingat0giventhesetofnoisyobservations
−
of the walkers’s position at times 1,2,3,....
Rn+1 Rn √2σ Once the problem ((23)) is solved, the most likely se-
y = =t + W (17)
n n n
sin(2ks) − sin(2ks) sin(2ks) quenceoftritscanbeeasilycomputedfromthesequence
Tˆ since for n=0,...,N/2 1
Then the task of the threshold detector is to examine −
receivedsignalsone-by-oneandforeachyninferthemost tˆn =Tˆn+1 Tˆn (24)
likely recorded trit tˆ : −
n where Tˆ = 0. Again we can invoke Bayes’ Theo-
0
tˆ = argmax Pr(t =ty ) rem and assuming all sequences T are equiprobable the
n n n
|
t∈{−1,0,+1} maximum-likelihood criterion (23) can be expressed:
Applying Bayes’ theorem and assuming all trits are N/2
equiprobable the maximum-likelihood criterion can be Tˆ =argmaxρ(Y T)=argmax ρ(Y T ) (25)
n n
re-written: T | T |
n=1
Y
tˆ = argmax ρ(y t =t) (18) The conditional probability density function ρ(Yn Tn) is
n n n |
t∈{−1,0,+1} | given by:
whereρ(yn t)istheGaussianprobabilitydensityfunction ρ(Y T =T)= 2πσ2 −1/2exp (Yn−T)2 (26)
given by: | n| n vit − 2σ2
(cid:20) vit (cid:21)
(cid:0) (cid:1)
ρ(yn|tn =t)= 2πσt2hd −1/2exp −(y2nσ−2 t)2 (19) Wadhdeitrieveσvnitoi=seσa/pspinea(2riknsg)iinstehqeusattainonda(r2d1d).evSiautbiostnitoufttinhge
(cid:20) thd (cid:21) into (25) we arrive at the following expression for the
(cid:0) (cid:1)
where σ =√2σ/sin(2ks) is the effective standard de- most-likely sequence Tˆ:
thd
viation of noise in formula (17). Thus the maximum-
N/2
likelihoodcriterioncanbereducedtothefollowingslicing Tˆ =argmin (Y T )2 (27)
n n
of the signal: T −
n=1
X
1 if y < 1 Wewillnowdemonstratethatthesolutionto(27)canbe
tˆ = −0 if n1 −y2 +1 (20) computedrecursivelyusingagraph-basedalgorithmthat
n  +1 if +−21 ≤<yn ≤ 2 closely resembles the Smith-Waterman algorithm used
 2 n
for genetic sequence matching [8].
 Consider the graph with N/2+1 time slices indexed
B. Sequence Detector by n = 0,...,N/2. At time slice n we draw 2n + 1
vertices(states)correspondingeverypossiblevalueofthe
variable T (the sum of the first n central trits). Note
The maximum-likelihood sequence detector exam- n
that the time slice zero consists of only the zero state.
ines the whole sequence of received signals Y =
We draw an edge (branch) between the state T and
Y ,...,Y where Y is given by: n−1
1 N/2 n
the state T if T + t = T where t 1,0,+1
n n−1 n
∈ {− }
(cid:0) R(cid:1) σ is a trit. Thus T is connected to at most 3 states on
Y = n =T (t ,...,t )+ W (21) n
n sin(2ks) n 0 n−1 sin(2ks) n the left. If Tn is connected to Tn−1 on the left we say
T L(T ). A path of length n+1 is is a sequence of
n−1 n
where Tn(t0,...,tn−1)∈{−n,...,+n} is the sum of the states∈(T0,T1,...,Tn) suchthatthe statesareconnected
first n central trits: by edges, that is for m = 0,...,n 1, T L(T ).
m m+1
− ∈
n−1 Thus by construction everysequence T=(T1,...,TN/2)
T (t ,...,t )= t (22) canbedrawnasauniquepathoflengthN/2+1through
n 0 n−1 p
the graph starting from the zero state. A sequence of
p=0
X
partial sums of the sequence of 3 central trits is drawn
The sequence detector then determines the most likely
on an example graph in Figure 5.
sequence Tˆ =(Tˆ ,...,Tˆ )
1 N/2 To each state in the graph we assign a metric µ (T )
n n
Tˆ =argmaxPr(TY) (23) associated with the probability of passing through state
T | Tn:
µ (T )=(Y T )2 (28)
The above maximum likelihood problem can be easily n n n− n
placed in a classical context: by construction the cen- Next for every path of length n + 1 through
traltritsareindependentrandomvariablesuniformlydis- the graph (T ,T ,...,T ) we assign a path metric
0 1 n
tributed over the set 1,0,1 . Therefore, the sequence PM (T ,T ,...,T ):
{− } n 0 1 n
of partial sums T ,T ,...,T is a random walk on the
1 2 N/2 n
setofintegernumbers,[15]. Therefore,(23)canbestated PM (T ,T ,...,T )= µ(T ) (29)
n 0 1 n m
as follows: find the most likely trajectory of the random
m=1
X
7
T0 T1 T2 T3 N=10, l =650nm, s=l /8
+3 100
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) Threshold Detection
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1) Sequence Detection
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) 10−1
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)+2(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)+2
0(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)−0(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)11(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)+−−(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)0(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)112(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)+−−0112 TER111111000000F−−−−−−7654320 IG. 6. TER perf5ormaSnNcRe (doBf)dete10ction schemes 15
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)−3 by choosing the state T with the minimum surviving
N/2
path metric:
(t0,t1,t2)=(0,−1,+1)
Tˆ =argminSPM (T ) (33)
N/2 N/2 N/2
FIG.5. Asequenceofpartialsumsof3centraltritsisdrawn TN/2
on thegraph
ThenwetracebackthroughthegraphfromthestateTˆ
N/2
following the path of minimum weight. For n = N/2
−
It can be seen that the maximum likelihood sequence is 1,...,0:
the path through the whole graph of the lowest weight:
Tˆ = argmin SPM (T ) (34)
n n n
Tˆ =argminPM (0,T ,...,T ) (30) Tn∈L(Tˆn+1)
N/2 1 N/2
T
To summarise we now describe the detection algorithm
in full:
Now we set about constructing the recursionto find this
maximallylikelypath. LetPn(Tn)be thesetofallpaths Algorithm 1 Maximum-likelihood sequence detector
of length n+1 that end in state Tn then we define the Inputs : Y ,...,Y
1 N/2
surviving path metric at state T to be the minimum
n Outputs : t ,...,t
N−1,0 N/2,N/2−1
weight of all paths that end at state T :
n
SPM (T )= min PM (T ,T ,...,T ) (31) 1: SPM0(0)=0
n n Pn(Tn) n 0 1 n 2: for n=1 to N/2 do
3: for Tn = n to +n do
NmouwstthhaevcerpuacsiasledobtsherrovuagthioonniestohfatthealsltpaatetshsTnen−d1in∈gLin(TTnn) 4: µSPn(MTnn)(Tn)− = minTn−1∈L(Tn)(SPMn−1(Tn−1)) +
so the set Pn(Tn) can be written as the union: 5: end for
6: end for
Pn(Tn)= Pn−1(Tn−1) (32) 7: TˆN/2 =argminTN/2SPMN/2(TN/2)
Tn−1[∈L(Tn) 8: for k =N/2 1 to 0 do
−
The surviving path metric SPM (T ) can be expressed 9: Tˆn = argmin SPMn(Tn)
in terms of the surviving path mnetrincs at the states con- Tn∈L(Tˆn+1)
nected to Tn on the left: 1101:: teˆnnd=fTˆonr+1−Tˆn
SPM (T )= min [SPM (T )]+µ (T )
n n n−1 n−1 n n In Figure 6 the trit error rate (TER) of the threshold
Tn−1∈L(Tn)
detector is compared against the TER of the maximum-
Thusthesurvivingpathmetricscanbecomputedforthe likelihood sequence detector. At low error-rates TER =
wholegraphrecursively. Tofindthemostlikelysequence 10−4 we see an SNR gain of around 2.5dB.
we then traceback through the graph following the most The complexity of the sequence detection algorithm
likely path. Firstly we find the most likely final state constructed above is O(N2) which should be compared
8
with the exponential complexity of the exhaustive enu- r(i):
n
meration scheme. One final remark on the matter of
N/2−1
detection is that so far all detection schemes only make 2 2
RR = r(i) (38)
use of the imaginary part of the Fourier coefficients. In- i N n
formationaboutthecentraltritsisalsocontainedwithin nX=0 (cid:16) (cid:17)
the non-linear real part given by (8). It may be possi- As it is easy to see from (37), random variables
ble to use the real part of the coefficients as a non-linear 2
r(i) are not independent. However, they are 1-
parity-check code if some algebraic or geometricalstruc- n
ture can be identified. d(cid:16)epen(cid:17)dent meaning that subsequences r(i)2 r(i)2...r(i)2
0 2 p
andr(i)2r(i)2 ...r(i)2 areindependentforanypand
p+k p+k+1 N/2−1
k > 1. 1-dependent sequences of random variables (and
IV. FURTHER CONSIDERATIONS FOR A
moregenerallyM-dependentsequencesforanyfiniteM)
REAL SYSTEM
belongtotheclassofthesocalledψ-mixingcorrelatedse-
quencesforwhichthestronglawoflargenumberscanbe
A. Global positioning errors
provedusingresultsoftheclassicalpaper[17]. (Thecited
paper established the strong law of large numbers which
Up to this point we have not accounted for the po- is traditionally proved for sequences of independent ran-
sitioning errors that are present in any real probe stor- dom variables to the case of correlatedrandomvariables
age device if the information density is higher than 1 providedthecorrelationsbetweendistantmembersofthe
Tb/in2: to read a series of indentations, the array of sequence decay at least exponentially fast.) Namely, it
probes has to be moved to the correct sampling position can be proved that in the limit N the empirical
→ ∞
with a nanometer precision, which cannot be done with- sum (38) converges almost surely to the corresponding
outincurringpositioningerrors,see[16]formoredetails. expected value:
For anopticalsystemthe effect ofa globalpositioning
2
error is a global reduction in pit depth s. Let us assume RR a.s E r(i) (39)
that the array of N cantilevers at time i suffers a global i −→ n
(cid:20)(cid:16) (cid:17) (cid:21)
GaussianpositioningerrorJ (0,σ2)whereσ isthe
i ∼N J J This mean can be computed explicitly:
standard deviation of jitter noise. Then the imaginary
part of the Fourier transform output for n = 1,...,N/2 E R(i) 2 = 2sin(2ksi) +2σ2 (40)
is: n 3
(cid:20)(cid:16) (cid:17) (cid:21)
n−1 Thus the signal degradation due to jitter can be esti-
Rn(i) =sin(2ksi) tp+σWn, (35) mated by:
p=0
X
3 RR 2σ2
where as before R0(i) = 0 and effective pit depth si is CN =s i2− (41)
given by: (cid:0) (cid:1)
Taking N to infinity this approximation becomes exact:
J2
si =exp −wi2 s. (36) lim CN =sin(2ksi) (42)
(cid:18) (cid:19) N→∞
The pit depth is reducedby amultiplicative factorgiven Thus it is proposed that the detection schemes dis-
by the simplest probe storage impulse response [19] cussed in the previous section can still be used in the
p(J) = exp J2/PW2 where PW is a parameter re- presenceofglobalpositioningerrorsbyreplacingsin(2ks)
−
lated to pulse width. in formulas (17) and (21) with the estimate of sin(2ksi):
Allofthe(cid:0)detectional(cid:1)gorithmsdiscussedsofartakeas CN. In order for this approximation to be accurate we
input the DFFT output divided by sin(2ks), see equa- need a large number of cantilevers. It may not be prac-
tions (17) and (21). Now, in the presence of global posi- tical to perform optical readback on hundreds or even
tioning errors, the signal degradation due to the loss of thousandsofcantilevers(sincetheFresnelnumberwhich
pit depth (jitter) is a hidden random variable. It is pos- governstheaccuracyofFraunhoferapproximationgrows
sible however, to estimate the global signal degradation with N) but it is possible to structure the probe array
using techniques developed in [9]. as a large number of rows where each row consists for a
Considerthefollowingrandomvariabledefinedforn= relatively small number of cantilevers (10 for instance).
0,...,N/2 1 for a fixed time slice i: Each row can then be read-back optically and then the
− estimateofsignaldegradationC canbecomputedusing
N
r(i) =R(i) R(i) =sin(2ks )t +σ(W W ()37) the output of the DFFT from all rows.
n n+1− n i n n+1− n In Figure 7 we show results of numerical simulations
We will show that signal degradation due to jitter can which confirm the effectiveness of the proposed detec-
beestimatedusingtheempiricalaverageofthesquareof tion scheme in the presence of global positioning errors.
9
N=10x400, l =650nm, s=l /8, s =0.1, w=0.5, 106 blocks simulated Technology Wavelength (nm) Optimal pit depth (nm)
J
10−1 CD 780 97.50
DVD 650 81.25
10−2 Blu-ray 405 50.63
10−3 TABLE I.Optimal pit depthsfor common laser sources
R
E
T
10−4 100 SNRfix=22dB, N=10, Sequence detection
CD
DVD
10−5 Threshold Detection [LLN] 10−1 Blu−ray
Sequence Detection [LLN]
Threshold Detection [Genie]
10−6 Sequence Detection [Genie] 10−2
10 11 12 13 14 15
SNR (dB)
ER10−3
T
FIG. 7. Performance of LLN-based detection schemes
10−4
10−5
We havesimulatedacantileverarraywith400rowseach
containing10 cantilevers. One million readswith the ar- 10−6
ray were simulated where at each read the whole array 100 101 102
Pit Depth (nm)
suffersaglobalGaussianpositioningerrorwithstandard
deviation σ = 0.1PW. The two detection schemes dis-
J
FIG. 8. Performance degradation dueto small pit depth
cussed in the previous section have been evaluated using
the estimate(41)(LLNdetectors)andcomparedagainst
the same detection schemes but with perfect knowledge
of the signal degradationdue to jitter sin(2ks ) (“genie”
i B. Small pit depth
detectors). We see that TER is practically the same in
both cases.
InsectionIICitwasshownthattheoptimalpitdepth
We conclude with one final remark on the subject of
is given by s = λ/8. In Table I the optimal pit depth is
theeffectofpositioningerrorsforopticalstorage. Forthe
givenforstandardlasersources. Thethermo-mechanical
thermo-mechanical read-back channel the loss of signal
write process produces indentations of depth less than
strength due to weak jitter (σ << PW) can be exam-
J
10 nm - far smaller than the optimal pit depth even for
ined by expanding the impulse response into it’s Taylor
the latest Blu-ray laser sources. It is thus necessary to
series around J =0:
investigate how the performance of the optimal channel
J2 J2 degrades as pit-depth becomes smaller than optimal.
p(J)=exp =1 +O J3 In order to determine how the channel performance
−PW2 − PW2
(cid:18) (cid:19) degradesforsmallsub-optimalpit depthwemustfix the
(cid:0) (cid:1)
levelofnoise. Forthepurposeofthisinitialinvestigation
We seethatthe signalstrengthdecaysasJ2. Foroptical
weassumethatifpitdepthisoptimalthesignal-to-noise
read-backthesignaldecays(assumingoptimalpitdepth)
ratioisfairlyhigh(greaterthan20dB). Thisisconsistent
can be found by computing the Taylor series:
with the pre-high pass filter noise levels of up to 14 dB
observedinthe laboratory[18]althoughofcourseinany
sin π exp( J2/PW2) =1 π2 J4+O(J5) realsystemitisboundtobelower. InFigure8wefixthe
2 − − 8PW4 noise strength so that for optimal pit depth the SNR is
(cid:16) (cid:17) (cid:18) (cid:19) 22dBandthenplottheTERperformanceofthesequence
Thus we find that for an optical read-back system the detector as a function of nanometer-scale pit depth for
jitter noisestrengthisofthe orderof(J/PW)4, whichis various standard laser source technologies. We observe
muchsmallerthan(J/PW)2 -thestrengthofjitternoise thatforaBlu-raylasersourcetriterrorratesoftheorder
in the thermo-mechanical readout scheme. The physi- 10−4 can be achieved at pit depths of around 10 nm.
cal reason for a greater resilience of the optical readout This initial experimentsuggests thatit may indeed be
scheme to the global jitter is that to the leading order possible to retrieve information at a low error-rate from
positioningerrorschangethephaseofthediffractionpat- aprobestoragesystemwithsmallindentationsoptically.
ternleavingthe information-carryingintensityinvariant. Thenextexperimentwouldbetomeasurethenoiselevels
10
N=10, l =650nm, d=12m m, a=2.5m m,s=l /8 theopticaldataretrievaltechniquesderivedinthispaper
100 we must ensure the Fresnel number F <0.1.
Threshold Detector (Kirchhoff integral formula)
Threshold Detector (Fraunhofer Limit)
Sequence Detector (Kirchhoff integral formula)
Sequence Detector (Fraunhofer Limit)
10−1 V. CONCLUSIONS
Thepaperdevelopsaschemeforstoringandretrieving
ER10−2 information in the thermo-mechanical probe storage de-
T
viceusingdiffractionpatternscreatedbyilluminatingthe
arrayofactuatedprobes. Insteadofrecoveringtheinfor-
mation independently by individual probes, we propose
10−3
to retrieve information stored in parallel, by analyzing
the diffraction patterns created by groups of N >> 1
probes. The scheme we developed is slightly reminis-
10−4 centofpartialresponsechannelequalizationusedinhard
10−2 10−1 100
Fresnel number drivesinthesensethatinsteadoftryingtoavoiddiffrac-
tion, we detect the most likely information sequence to
FIG.9. ChannelperformancedegradesastheFresnelnumber give rise to the observeddiffraction pattern. The optical
increases. readout scheme offers several advantages, over a more
traditionalthermo-mechanicalmethod ofreadingthe in-
formation off the probe storage device: firstly, optical
sensing is generally faster than thermo-resistive sensing
forasystemwithcantileversdeflectedbyindentationsof due to long equilibration times for the latter; secondly,
a small depth and determine the achievable trit error each bit of information stored in a diffraction pattern is
rate. effectively spread over a region of storage medium, thus
making the scheme more resilient to strong instances
of media or electronics noise influencing an individual
C. The effect of modelling errors probe; thirdly, there is evidence that the scheme devel-
opedinthepaperoffersabetterprotectionofinformation
So far all signal processing algorithms have been de- against global positioning errors - the main contributor
rived working in the Fraunhofer limit, that is, when the toperformancedegradationinthenano-scaleprobestor-
Fresnel number (see Appendix D) is much less than one: age.
The principle step which enabled us to construct the
k((N 1)d/2+w/2)2 low complexity optical readout scheme is the design of a
F = − 1, modulation map between user data and the sequence of
V ≪
indentations written on the media. The specialproperty
whereV isthe distancebetweenthe probearrayandthe of this map is a linear relation between user information
sensor, see Fig. 11 for the illustration. As a concluding in the balanced ternary form and the imaginary part of
experiment we study the degradation of channel perfor- the Fourier coefficients of the data-dependence diffrac-
manceiftheobservationpointismovedcloserandcloser tion patterns. The key is that the patterns themselves
to the cantilever array so that we gradually move out of are generated by the array of probes actuated over the
the region of applicability of the Fraunhofer diffraction storage medium modulated in accordance with the user
formula. information.
In Figure 9 we demonstrate how the signal process- Inordertoinvestigatetheperformanceoftheproposed
ing algorithms we have derived degrade with the Fresnel opticalreadoutscheme,achannelmodelhasbeenderived
number. The intensity distribution is computed by nu- for the diffraction pattern obtained when illuminating
mericallyevaluatingtheKirchoffdiffractionformula(D1) the cantilever array of a probe storage device and it is
directly. The resulting pattern is pre-filtered and sent to shownthatthe relative errorbetween the modeland the
the DFFT signal processor as detailed in the section II. diffraction patterns gathered experimentally is less than
Informationis extractedfromthe output ofDFFT using 3%.
the detection algorithms derived in the previous section. It is then shown that by storing ternary informa-
Recallthatallthesealgorithmsarebasedontheassump- tion inside the diffraction patterns it is possible to re-
tion that the Fraunhofer approximation is valid. trieve this information in the Fourier domain using
We observe that if F < 0.1 there is virtually no per- low-complexity detection algorithms. In particular a
formancedegradationbutforF >0.1theTERincreases maximum-likelihood detector has been derived that de-
rapidly: for F = 1 the TER of the sequence detector is termines the most likely sequence of trits by finding
overtwoordersofmagnitudehigherthantheTERwithin the most likely path recursively on a graph. This de-
the Fraunhofer limit. We conclude that in order to use tector out-performs the simple threshold detector by