INFERENCIA VISUAL PARA LAS LOGICAS NORMALES ACCESIBILIDAD ENTRE MUNDOS POSIBLES PDF
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INFERENCIA VISUAL PARA LAS LOGICAS NORMALES ACCESIBILIDAD ENTRE MUNDOS POSIBLES Manuel Sierra Aristizábal 0 Inferencia visual para las lógicas normales Inferencia visual para las lógicas normales Accesibilidad entre mundos posibles Primera edición: Diciembre de 2001 Manuel Sierra Aristizábal Fondo Editorial Universidad EAFIT ISBN: 958-9041-98-1 1 Manuel Sierra A. INDICE Página Introducción 4 Capítulo 1 Sintaxis y semántica 1.1 Fórmulas 7 1.2 Marcos y modelos 8 1.3 Valuaciones, tautologías, verdad y validez 9 1.4 Forzamiento lineal 10 1.5 Diagramas semánticos 29 1.6 Condiciones sobre la relación de accesibilidad 42 Capítulo 2 Sistemas deductivos 2.1 Lógicas 51 2.2 Consecuencia tautológica 51 2.3 Ejercicios 52 Capítulo 3 Lógicas Normales 3.1 Lógicas Normales 54 3.2 Consecuencias 54 3.3 Ejercicios 82 2 Inferencia visual para las lógicas normales Capítulo 4 Algunas lógicas estándar 4.1 Lógicas estándar 83 4.2 Ejercicios 83 4.3 Sistema T 84 4.4 Consecuencias en T 84 4.5 Sistema S4 85 4.6 Consecuencias en S4 85 4.7 Sistema S5 86 4.8 Consecuencias en S5 87 4.9 Sistema B 87 4.10 Consecuencias en B 88 4.11 Modalidades 88 Capítulo 5 Comentarios finales 5.1 Lógicas Deónticas 90 5.2 Lógicas Temporales 92 5.3 Lógicas Condicionales 93 5.4 Lógicas para la Demostrabilidad 94 Apéndice 96 Bibliografía 99 3 Manuel Sierra A. INTRODUCCIÓN En la terminología lógica actual, se dice que la necesidad, la posibilidad, la contingencia y la imposibilidad son modalidades. La rama de la lógica que se ocupa de ellas es la lógica modal. En el simbolismo lógico, las modalidades suelen representarse mediante operadores proposicionales, llamados operadores modales : A : A es necesaria, A : A es posible, A : A es contingente, OA : A es imposible. No ha resultado fácil aclarar el significado de las nociones modales. Pero un hecho importante es que resultan claras las relaciones entre ellas, to- mando como primitiva una cualquiera de ellas, las demás se pueden de- finir en términos de la escogida, es habitual tomar como base el operador necesidad (ver 1.1). Aristóteles escribió sobre modalidades en muchos pasajes de su obra, él estaba consciente de la interdefinibilidad de las nociones modales, des- graciadamente, la teoría Aristotélica del silogismo modal es muy confu- sa. Entre los megáricos contemporáneos de Aristóteles se negaba la diferen- cia entre acto y potencia, y aparentemente esta posición conducía a un rechazo de las distinciones modales. Una generación después, la discu- sión de las modalidades atrajo a los megáricos, y Diodoro Cronos definía 4 Inferencia visual para las lógicas normales lo posible como lo que es o va a ser, lo imposible como lo que siendo falso no será verdadero, lo necesario como lo que siendo verdadero no será falso y lo no necesario como lo que o bien ya es falso o lo será. El pensamiento medieval fue muy rico en discusiones filosóficas sobre modalidades. Los filósofos modernos se han ocupado de las modalidades, pero más en conexión con cuestiones teológicas y metafísicas que en relación con la lógica. En el siglo XX, podemos distinguir 3 etapas : la etapa sintáctica, la etapa semántica y la etapa de la metalógica modal generalizada. La figura más importante de la etapa sintáctica fue C. I. Lewis. La publi- cación del primer volumen de Principia Mathematica de Whitehead y Russell en 1910, influyó mucho sobre su obra, en la lógica proposicional de los Principia son derivables las llamadas paradojas de la implicación material, las más conocidas son : 1. A (B A) : una proposición verdadera es implicada materialmente por cualquier proposición, 2. A (A B) : una proposición falsa implica materialmente cual- quier proposición, 3. (A B) (B A) : dadas dos proposiciones cualquiera, siempre están relacionadas por la implicación material. El punto de partida de las investigaciones de Lewis, fue la observación de que hay una implicación distinta de la material (llamada implicación estricta), más fuerte que ella y con diferentes leyes fórmales (no valen 1, ni 2, ni 3). Lewis descubrió que era posible construir más de un sistema 5 Manuel Sierra A. modal, en 1932 (la primera publicación fue en 1912) se presentan los sis- temas S1, S2, ... , S5. Los 5 sistemas carecían de una semántica sistemá- tica, todos son extensiones de la lógica proposicional clásica (en la pre- sentación de Lewis ninguno lo es de manera explícita), después del pri- mero cada uno es una extensión propia del anterior. Gödel presentó un sistema modal como extensión explícita de la lógica clásica, quitando un axioma, Feys obtuvo el sistema que ahora llamamos T. S4, S5 y T son los tres sistemas más estudiados (ver capítulo 4). La figura más importante de la etapa semántica fue Kripke, en 1959 con Kripke nace la moderna semántica de los mundos posibles, con ésta se pudo disponer de métodos con los cuales se pueden construir semánticas adecuadas para una gran diversidad de sistemas modales. En la etapa de la metalógica modal generalizada, el interés teórico se desplaza del análisis de sistemas modales particulares al estudio de gran- des familias de tales sistemas, esta etapa se inicia con Lemmon y Scott hacia fines de la década de los años 60. Muchas investigaciones recientes sobre lógica modal caen en dos áreas que se denominan: teoría de la completitud y teoría de la correspondencia. En la teoría de la completitud, se clasifican los conjuntos de fórmulas modales, el grupo más estudiado es el de las lógicas normales (ver capí- tulo 3), una pregunta típica de la teoría de la completitud es : ¿Existe pa- ra cada lógica normal una clase de modelos que la caracterice ? La teoría de la correspondencia, surgió a partir de la observación de cier- tas conexiones entre sistemas modales y propiedades de la relación de accesibilidad entre mundos posibles (ver 1.6). 6 Inferencia visual para las lógicas normales ACCESIBILIDAD ENTRE MUNDOS POSIBLES Capítulo 1 SINTAXIS Y SEMÁNTICA 1.1 FÓRMULAS Estas son generadas por algún conjunto de fórmulas atómicas (variables proposicionales), junto con una constante (falso), utilizando los conec- tivos (implicación) y (necesariedad). Posibles lecturas para A: Es necesariamente cierto que A, siempre debe ser cierto que A, debería ser A, es sabido que A, se cree que A, es proba- bleen la aritmética de Peano que A, cuando el programa finalice se tiene A. Introducimos otros conectivos vía definición: A es A No A T es La verdad AB es AB A ó B AB es (A B) A y B AB es (AB)(BA) A equivalente a B AB es (AB) A implica estrictamente a B A es A Posiblemente A OA es A Imposible A A=B es (AB)(BA) A equivalente estrictamente a B 7 Manuel Sierra A. 1.2 MARCOS Y MODELOS Un marco es un par F = (S, ) donde S es un conjunto no vacío (mundos posibles), y es una relación binaria sobre S (relación de accesibilidad). Un modelo sobre un marco F = (S, ) es una terna M = (, S, V) donde V es una función que asigna a cada fórmula atómica A un subcon- junto V(A) de S, V(A) es el conjunto de mundos posibles donde A es verdadera. La relación “A es cierta en el mundo posible s del modelo M”, denotado M╞s A se define : M╞s p sii sV(p), cuando p es una fórmula atómica No M╞s M╞s AB sii M╞s A implica M╞s B M╞s A sii tS, st implica M╞t A como consecuencias tenemos: M╞s A sii No M╞s A M╞s AB sii M╞s A y M╞s B M╞s AB sii M╞s A ó M╞s B M╞s AB sii M╞s AB ó M╞s AB M╞s A sii tS, st y M╞t A M╞s OA sii tS, st implica No M╞t A 8
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